江苏省镇江市石狮中学高二数学理月考试题含解析

江苏省镇江市石狮中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知过定点的直线与抛物线交于两点，且，为坐标原点，则该直线的方程为A、

B、

C、

D、参考答案：A略2.某人朝正东方向走后，向右转然后朝新方向走结果他离出发点恰好那么的值为（

）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．

B.

C.或

D.

参考答案：C3.已知下列命题：①二次函数有最大值；②正项等差数列的公差大于零；③函数的图象关于原点对称．其中真命题的个数为A.0 B.1C2 D.3参考答案：B【分析】根据命题真假的判断条件，按涉及到的知识进行判断，对于①，没有给出a的值，结合二次函数的图象，判断二次函数的最值与a的取值关系，从而判断该命题的真假；对于②，举特例，例如递减的每项为正的等差数列，根据公差的值做出判断；对于③，根据幂函数的性质判断图象是否关于原点对称.【详解】解：①假命题，反例：当，抛物线开口向上，有最小值；②假命题，反例：若数列为递减数列，如数列20，17,14,11,8,5,2，它的公差是-3；③真命题，是奇函数，所以其图象关于原点对称.故选B.【点睛】本题主要考查命题真假的判断，需根据所学的知识进行判断，相对不难.4.函数，则不等式的解集是 A． B． C．[1，ln3] D．参考答案：A5.将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C6.等于()

A.

-3iB．－i

C．i

D．－i参考答案：A7.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（）A．50 B．40 C．25 D．20参考答案：C【考点】系统抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据系统抽样的定义，即可得到结论．【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本，∴样本数据间隔为1000÷40=25．故选：C．【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用，比较基础．8.某几何体的三视图如图表1所示,则该几何体的体积为(

)A．

B． C．

D．参考答案：A9.设，则（

）A．

B.

C.D.

参考答案：C10.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，PA⊥平面ABC，则四面体P-ABC中共有（

）个直角三角形A.4

B.3

C.2

D.1参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.关于平面向量a，b，c.有下列三个命题：①若a·b=a·c，则b=c.②若a=（1,k），b=（—2，6），a//b，则k=—3.③非零向量a和b满足，则a与a+b的夹角为60°.其中真命题的序号为__________.（写出所有真命题的序号）参考答案：②12.已知函数f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是2x﹣3y+1=0，则f（1）+f′（1）=

．参考答案：【考点】导数的运算；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由切线的方程找出切线的斜率，根据导函数在x=1的值等于斜率，得到x=1时，f′（1）的值，又切点在切线方程上，所以把x=1代入切线方程，求出的y的值即为f（1），把求出的f（1）和f′（1）相加即可得到所求式子的值．【解答】解：由切线方程2x﹣3y+1=0，得到斜率k=，即f′（1）=，又切点在切线方程上，所以把x=1代入切线方程得：2﹣3y+1=0，解得y=1即f（1）=1，则f（1）+f′（1）=+1=．故答案为：13.设、、为三条不同的直线，、、为三个不同的平面，则①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则；⑤若，，，，则．以上命题正确的有________________参考答案：②④【分析】利用线线，线面，面面的位置关系以及性质对命题逐个进行判断即可得到答案.【详解】①若，，，则或相交；②若，，，由线面垂直的判定定理可得：；③若，，，则与相交平行或为异面直线，因此不正确；④若，，，由线面平行的判定定理及其性质定理可得：；⑤若，，，，则与不一定垂直．综上可得：②④正确．故答案为：②④．【点睛】本题考查线线，线面，面面的位置关系的判断，考查有关性质定理和判定定理的应用，属于基础题.14.设等差数列的前项和为，已知，，则

参考答案：15.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为，则椭圆的离心率为

．参考答案：﹣1

【考点】椭圆的简单性质．【分析】由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，且直线PF的斜率为，则∠PFO=60°，∴△FPO为等边三角形，边长为c，则P（﹣c，c），代入椭圆方程：+=1，由b2=a2﹣c2，e=，则e4﹣8e2+4=0，解得：e2=4±2，由0＜e＜1，解得：e=﹣1，椭圆的离心率﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．16.点A（﹣2，3）关于直线l：3x﹣y﹣1=0的对称点坐标是． 参考答案：（4，1）【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程． 【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆． 【分析】设所求对称点的坐标为（a，b），由对称性可得，解方程组可得． 【解答】解：设所求对称点的坐标为（a，b）， 则，解得， ∴所求对称点的坐标为（4，1）， 故答案为：（4，1）． 【点评】本题考查点与直线的对称性，涉及中点公式和直线的垂直关系，属基础题． 17.下列四种说法：①命题“x∈R，使得x2＋1＞3x”的否定是“x∈R，都有x2＋1≤3x”；②“m=－2”是“直线(m＋2)x＋my＋1=0与直线（m－2）x＋(m＋2)y－3=0相互垂直”的必要不充分条件；③在区间[－2，2]上任意取两个实数a，b，则关系x的二次方程x2＋2ax－b2＋1=0的两根都为实数的概率为；④过点（，1）且与函数y=图象相切的直线方程是4x＋y－3=0.其中所有正确说法的序号是

。参考答案：①③三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xoy中，设抛物线C：y2=4x（1）求抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标；（2）设命题p：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于点A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB若为定值，则kAB为定值．判断命题p的真假，并证明；（3）写出（2）中命题p的逆命题，并判断真假（不要求证明）．参考答案：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，kAB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴kAB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，由此能求出抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，由此能证明当+为定值时，kAB为定值．（3）把命题p的题设和结论互换，能求出逆命题，命题p的逆命题是真命题．解答：解：（1）设抛物线C上一点的横坐标为x，由题意，根据抛物线定义，得x+1=5，解得x=4，∴抛物线C上到焦点距离等于5的点的横坐标为4．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，则，，∵点A，B在抛物线C上，∴，即，代入上式，化简得：===，kAB==，∴+为定值时，y1+y2为定值，∴kAB为定值．（3）命题p的逆命题：过抛物线C上一点M（1，2）作两条不同的直线，分别交抛物线C于A，B，设直线MA，MB，AB的斜率均存在且分别记为kMA，kMB，kAB，若kAB为定值，则+为定值．命题p的逆命题是真命题．点评：本题考查抛物线上点的横坐标的求法，考查直线的斜率为定值的证明，考查命题的逆命题的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．19.如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．20.（本题10分）已知函数

（1）求证：；

（2）当时，求证：。参考答案：解：（1）

令，则（2分）

由得，

由得，

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减（4分）

所以

故，即（5分）

（2）要证

只需证明

只需证明

即证明（8分）

因为，所以

由（1）可得，成立，

所以原不等式成立。（10分）21.已知都是实数，且.

(1)求不等式的解集；（2）若对满足条件的所有实数都成立，求实数的取值范围.

参考答案：解：（1）

……2分由得或解得或所以不等式的解集为………4分（2）………………6分的解为或的解为所求实数的范围为

…………8分

略22.已知函数f（x）=x﹣lnx，g（x）=x3+x2（x﹣lnx）﹣16x．（1）求f（x）的单调区间及极值；（2）求证：g（x）＞﹣20．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间，令导函数小于0得到函数的递减区间；（2）求出g（x）≥x3+x2﹣16x，（x＞0），设h（x）=x3+x2﹣16x，（x＞0），根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而证出结论即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=1﹣=，（x＞0），由f′（x）=0得x