湖南省常德市联校中学高二数学理模拟试题含解析

湖南省常德市联校中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数a、b满足，则的最小值是（

）

A．18

B．6

C．2

D．2参考答案：C2.函数=3+xlnx的单调递增区间为（

）A.（0，） B.（0，e）C.（，+∞） D.（e，+∞）参考答案：C【分析】先求函数的定义域，然后利用函数的导数求得函数的单调递增区间.【详解】函数的定义域为，，令，解得，故选C.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查利用导数求函数的单调递增区间的方法，属于基础题.3.如果原命题的结构是“p且q”的形式，那么否命题的结构形式为（

）A．?p且?q B．?p或?q

C．?p或q

D．?q或p参考答案：B4.下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是（）A.30 B.31 C.32 D.34参考答案：B每个图形中火柴棒的根数构成一个等差数列，首项为4，公差为3.其数列依次为4,7,10,13,…,所以第10个图形中火柴棒的根数为.5.

下列有关命题的说法正确的是命题“若，则”的否命题为：“若，则”“”是“”的必要不充分条件命题“存在,使得”的否定是：“对任意,均有”命题“若，则”的逆否命题为真命题参考答案：D6.椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C略7.已知复数，是的共轭复数，且则a、b的值分别为(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C8.若复数,则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B9.如图，F1、F2是椭圆与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则C2的离心率是（

）A. B. C. D.参考答案：D【详解】试题分析：由椭圆与双曲线的定义可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a为双曲线的长轴长)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四边形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考点：椭圆的几何性质．10.与椭圆共焦点,离心率互为倒数的双曲线方程是 A． B．

C． D．参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆C的参数方程为（为参数）,则圆C的面积为__________;圆心C到直线的距离为__________.参考答案：；.【分析】化圆的参数方程为普通方程，求出圆的圆心坐标与半径，则圆的面积可求；再由点到直线的距离公式求圆心C到直线l：3x﹣4y＝0的距离．【详解】由圆C，可得（x﹣2）2+y2＝1，∴圆C的圆心坐标为（2，0），半径为1，则圆C的面积为π×12＝π；圆心C（2，0）到直线l：3x﹣4y＝0的距离为d．故答案为：π；．

12.如图,正方形ACDE与△ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与FG所成的角的余弦值为______参考答案：略13.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93①这种抽样方法是一种分层抽样；②这种抽样方法是一种系统抽样；③这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差；④该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数，则以上说法一定正确的是

．参考答案：③【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计．【分析】若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，由题目看不出是系统抽样，求出这五名男生成绩的平均数、方差和这五名女生成绩的平均数、方差，由此能求出结果．【解答】解：若抽样方法是分层抽样，男生、女生分别抽取6人、4人，所以①错；由题目看不出是系统抽样，所以②错；这五名男生成绩的平均数，男=（86+94+88+92+90）=90，这五名女生成绩的平均数女=（88+93+93+88+93）=91，故这五名男生成绩的方差为=（42+42+22+22+02）=8，这五名女生成绩的方差为=（32+22+22+32+22）=6，故③正确，④错．故答案为：③．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样、系统抽样、平均数、方差的性质的合理运用．14.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为

．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题．【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积．【解答】解：根据题意，圆锥的底面面积为π，则其底面半径是1，底面周长为2π，又，∴圆锥的母线为2，则圆锥的高，所以圆锥的体积××π=．故答案为．【点评】本题是基础题，考查圆锥的有关计算，圆锥的侧面积，体积的求法，考查计算能力．15.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值．(12分)参考答案：(1)f(5)＝41.(2)因为f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，由上式规律，所以得出f(n＋1)－f(n)＝4n.因为f(n＋1)－f(n)＝4n?f(n＋1)＝f(n)＋4n?f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＝……＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4＝2n2－2n＋1.16.数列{an}满足，则{an}的前60项和为________．参考答案：1830略17.如图所示的长方体中，AB=AD=，=，则二面角的大小为_______;参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C．（1）求C的方程及其离心率；（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由=得x0=x，y0=y，即可得到椭圆的方程及其离心率；（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为，故求△AOB面积的最大值的问题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由=得x0=x，y0=y…..因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即=1，其离心率e=．…..（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由已知，得．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0，∴x1+x2=，x1x2=∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+≤4，当且仅当9k2=，即k=时等号成立，此时|AB|=2．当k=0时，|AB|=．综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值=19.已知函数（1）求的单调递减区间；（2）若，证明：.参考答案：（1）减区间为

（2）由（1）知，当时，当时，时即令，则，当时；当时综上可知，当时，有。20.已知是函数的一个极值点,(1)求函数的解析式；(2)若曲线与直线有三个交点,求实数的取值范围.参考答案：解:(1)∵,∴.∴由题意可得,故.∴函数的解析式为.(2)令函数,则.

令可得或,又易知是函数的极大值点,是函数的极小值点.∴函数的极大值为,极小值为.

故当,即时,曲线与直线有三个交点.略21.（本小题满分14分）在直四棱柱中，，底面是边长为的正方形，、分别是棱、的中点.(Ⅰ)求证：直线平面(Ⅱ)求二面角的大小；.参考答案：解析：(Ⅰ)证明:取的中点，连接分别是棱中点∴∥，，

∴四边形为平行四边形，∴……………9分又，∴，平面

……………11分

∵，∴平面平面∵，∴直线平面

……………13分（或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线平面，亦可。）(Ⅱ)以D为坐标原点，DA、D