江苏省南京市湖滨中学高二数学理知识点试题含解析

江苏省南京市湖滨中学高二数学理知识点试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的什么位置？A．正三角形的顶点

B．正三角形的中心

C.正三角形各边的中点

D．无法确定参考答案：B绘制正三棱锥的内切球效果如图所示，很明显切点在面内而不在边上，则选项AC错误，由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：四面都为正三角形的正四面体的内切球切于四个面的正三角形的中心.本题选择B选项.

2.同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值为（

）A.20 B.25 C.30 D.40参考答案：B【分析】先求得抛掷一次的得到2枚正面向上，3枚反面向上的概率，再利用二项分布可得结果.【详解】由题，抛掷一次恰好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率为：因为5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的概率是一样的，且各次试验是相互独立的，所以服从二项分布则故选B【点睛】本题咔嚓了二项分布，掌握二项分布是解题的关键，属于中档题.3.已知函数，则（

）A.16 B.8 C.2cos2 D.－2cos2参考答案：A【分析】先将被积函数变形，然后根据定积分基本性质和微积分基本定理，计算即可.【详解】，故选：A【点睛】计算定积分的步骤：①先将被积函数变形为基本初等函数的和、差等形式；②根据定积分的基本性质，变形；③分别利用求导公式的逆运算，找到相应的的原始函数；④利用微积分基本定理分别求出各个定积分的值，然后求代数和(差)。4.有50件产品编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的编号为A．5，10，15，20，25

B．5，15，20，35，40C．5，11，17，23，29

D．10，20，30，40，50

参考答案：D略5.将函数的图象向右平移个单位长度后,得到函数f(x)的图象,则函数f(x)的单调增区间为（

）A. B.C. D.参考答案：D【分析】求出图象变换的函数解析式，再结合正弦函数的单调性可得出结论．【详解】由题意，，∴，故选D．【点睛】本题考查三角函数的平移变换，考查三角函数的单调性．解题时可结合正弦函数的单调性求单调区间．6.设是函数定义域内的两个变量，且，若，那么，下列不等式恒成立的是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D7.点，在平面上的射影的坐标是（

）．A． B． C． D．参考答案：A点在平面上的射影和点的坐标相同，坐标相同，坐标为，∴坐标为，故选．8.下列命题中的假命题是A.

B.

C.

D.（改编题）参考答案：C9.若复数是虚数单位）是纯虚数，则复数的共轭复数是(

)

A．

B．

C．

D．参考答案：C10.函数的零点个数是

(

)A.0

B.1

C.2

D.3参考答案：C考点：函数的零点个数的判定.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则=___参考答案：12.一种报警器的可靠性为％，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到

▲

．参考答案：13.对任意都能被14整除，则最小的自然数a＝

参考答案：a＝5略14.（4分）已知函数f（x）=，对任意的x∈[0，1]恒有f（x+a）≤f（x）成立，则实数a的取值范围是_________．参考答案：15.下列四个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4；③“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．上述命题中真命题的序号为

．参考答案：③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”；②，曲线kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R）是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2；③，当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直时，或﹣2；④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=上，故，可得双曲线的离心率；【解答】解：对于①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”，故错；对于②，已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2，故错；对于③，∵当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直时，或﹣2，故正确；对于④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=上，故，则该双曲线的离心率的值为=．故正确；故答案为：③④16.底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正三棱锥的底面边长为2m，高为1m，我们易出求棱锥的侧高，进而求出棱侧面积和底面面积即可求出棱锥的全面积．【解答】解：如图所示，正三棱锥S﹣ABC，O为顶点S在底面BCD内的射影，则O为正△ABC的垂心，过C作CH⊥AB于H，连接SH．则SO⊥HC，且，在Rt△SHO中，．于是，，．所以．故答案为17.圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是

.参考答案：4cm三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）如图，中心在原点的椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，焦距为，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在过的直线与椭圆交于，两个不同点，使以为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，

…………………1分

…………………2分

…………………3分所以，椭圆的方程为：

…………………4分（Ⅱ）法一：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知.①当直线的斜率不存在时，、分别为椭圆短轴的端点，不符合题意

…5分②当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为：由得：

………6分令，得：

…………………7分设，则

………………8分又，

…………………9分

…………………10分

……………………11分直线的方程为：，即或所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：或

…………12分（Ⅱ）法二：假设存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，依题意可知，设直线的方程为：

………5分由得：

…6分令，得：

……7分设，则

……………8分又

……9分

……10分

……11分所求直线的方程为：，即或所以，存在过的直线与椭圆交于、两个不同点，使以为直径的圆过原点，其方程为：或

…………………12分19.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求实数a的取值范围．（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（Ⅱ）a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立；根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）问题转化为y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，根据函数的单调性求出b的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=1+lnx，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，故f（x）min=f（）=ln=﹣；（Ⅱ）∵f（x）=xlnx，当x≥1时，f（x）≥ax﹣1恒成立?xlnx≥ax﹣1（x≥1）恒成立?a≤lnx+（x≥1）恒成立，令g（x）=lnx+，则a≤g（x）min（x≥1）恒成立；∵g′（x）=﹣=，∴当x≥1时，f′（x）≥0，∴g（x）在．（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，即y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，由（Ⅰ）0＜x＜时，f（x）＜0，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，f（x）min=f（）=ln=﹣；故﹣＜b＜0时，满足y=b和y=f（x）在（0，+∞）有两个不同的交点，即若关于x的方程f（x）=b恰有两个不相等的实数根，则﹣＜b＜0．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，动点P到两点、的距离之和等于4．设点P的轨迹为C．(I)求曲线C的方程；(II)设直线与C交于A、B两点，若，求的值．参考答案：（Ⅰ）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦距，长半轴为2的椭圆.它的短半轴故曲线C的方程为.

4分（Ⅱ）设，其坐标满足，消去y并整理得—3=0，(*)

6分故若即则，

10分化简得所以满足(*)中，故为所求.

12分21.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.(1)证明：平面平面；(2)求棱与所成角的大小；(3)若点为的中点，求二面角的平面角的余弦值.

参考答案：(1)解：面，，又面平面平面

…………4分(2)解：如图建立空间直角坐标系，，，，，与所成角为

…………9分(3)解：，令，，可得面的一个法向量为，

版权所有略22.微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人.若规定:每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中都是青年人.(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出并完成2×2列联表：

青年人中年人合计经常使用微信

不经常使用微信

合计

(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？(3)采用分层抽样的方法从“经常使用微信”的人中抽取6人，从这6人中任选2人，求选出的2人均是青年人的概率.附：0.0100.0016.63510.828.参考答案：解：(1)由已知可得，该公司员工中使用微信的有人，经常使用微信的有人，其中青年人有人，使用微信的人中青年人有人．所以列联表为：