湖南省长沙市百灵鸟艺术学校高二数学理联考试题含解析

湖南省长沙市百灵鸟艺术学校高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在同一坐标系中，将曲线y＝2sin3x变为曲线y＝sinx的伸缩变换是(

)．A．

B．

C．

D．参考答案：B2.已知命题p：，则命题p的否定是A．B．C．D．参考答案：C略3.已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，给出四个命题：

①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中正确的命题是．①② ．②③

．①④

．②④参考答案：4.已知某个几何体的三视图如下，可知这个几何体的体积是（

）

A

B

C4000

D

8000参考答案：B5..在区间[－1,1]上任取两数x和y，组成有序实数对(x，y)，记事件A为“”，则P(A)为()A. B. C.π D.2π参考答案：A如图,集合S={(x,y)|-1≤x≤1,-1≤y≤1},则S中每个元素与随机事件的结果一一对应,而事件A所对应的事件(x,y)与圆面x2+y2≤1内的点一一对应,∴P(A)=.故答案为：A.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC的形状为（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形参考答案：A【考点】三角形的形状判断．【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可判断三角形的形状．【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B=C．三角形是等腰三角形．故选：A．7.已知的外接圆的圆心为O，半径为1，若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为（

）A．

B．

C.3

D．参考答案：A8.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（

）A、[，]

B、[，3]

C、[-1，]

D、[，3]参考答案：D9.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．【解答】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，∵条件成立时，保存最大值的变量X=C故选A．10.设为虚数单位，且则的共轭复数在复平面内对应的点在(

)

A．第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来（n＝1，2，3，…），则第n﹣2（n≥3，n∈N*）个图形中共有_____个顶点．参考答案：【分析】可分别计算当n＝1、2、3、4时顶点的个数，利用数学归纳法可得第n﹣2个图形的顶点个数.【详解】解：由已知中的图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4（个），n＝2时，顶点共有20＝4×5（个），n＝3时，顶点共有30＝5×6（个），n＝4时，顶点共有42＝6×7（个），…由此我们可以推断：第n个图形共有顶点（n+2）（n+3）个，∴第n﹣2个图形共有顶点n（n+1）个．故答案为：n（n+1）.【点睛】本题主要考察数序归纳法的应用，依据图像找出规律是解题的关键.12.不等式的解集是________.参考答案：略13.设a，b，c为单位向量，a、b的夹角为，则（a+b+c）·c的最大值为

．

参考答案：14.原创)一大学生毕业找工作,在面试考核中,他共有三次答题机会(每次问题不同).假设他能正确回答每题的概率均为,规定有两次回答正确即通过面试,那么该生“通过面试”的概率为

.参考答案：略15.m为任意实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5必过定点________．参考答案：(9，－4)16.在数列中，，且，则

.参考答案：易知，，，，，所以.17.已知m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，则当x2的系数最小时展开式中x7的系数为

．参考答案：156【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，可得m+n=19．则当x2的系数==n2﹣19n+171=+．可得n=10或9时，x2的系数取得最小值．可得f（x）=（1+x）9+（1+x）10．再利用通项公式即可得出．【解答】解：m，n∈N*，f（x）=（1+x）m+（1+x）n展开式中x的系数为19，∴m+n=19．则当x2的系数====n2﹣19n+171=+．∴n=10或9时，x2的系数最小为：81．∴f（x）=（1+x）9+（1+x）10．展开式中x7的系数==156．故答案为：156．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题16分）已知椭圆C1：上的点满足到两焦点的距离之和为4，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。

(1)求双曲线C2的方程；

(2)若以椭圆的右顶点为圆心，该椭圆的焦距为半径作一个圆，一条过点P（1，1）直线与该圆相交，交点为A、B，求弦AB最小时直线AB的方程，求求此时弦AB的长。参考答案：解析：（1）由题意知m=2，则C1的方程为

………………3分设双曲线C2的方程为，则故C2的方程为

………………8分（2）圆方程为，根据圆的性质知：当时，弦最小，

……………12分所以，得，所以直线AB的方程为，即y=x。

………………14分圆心M到直线AB的距离为，半径为，所以AB=

………………16分19.已知直线经过两点，.（1）求直线的方程；（2）圆的圆心在直线上，且过点和，求圆的方程.参考答案：(1)(2)设圆心为,则解得

20.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有500ml和700ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号甲样式乙样式丙样式500ml20003000700ml300045005000按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机地抽取100个，其中有甲样式的杯子25个。（1）求的值。（2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有一个500ml的杯子的概率。参考答案：（1）设在该厂丙样式的杯子中抽取了x个，由题意得 ………3分

所以在乙样式的杯子中抽取了个………4分

所以该厂乙样式的的杯子有………5分

…………6分（2）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，其中500ml的杯子有个……8分

即抽取的5个样本中有2个500ml的杯子分别记作；3个700ml杯子分别记作。

则从中任取2个杯子的所有基本事件为，,,,,,，,,共10个，………10分其中至少有一个500ml的杯子的基本事件有，，，，，，共7个。………11分所以从这个样本中任取2个杯子，至少有1个500ml的杯子的概率为。……12分21.某工厂生产一种汽车的元件，该元件是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C三道工序加工的元件合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工都合格的元件为一等品；恰有两道工序加工合格的元件为二等品；其它的为废品，不进入市场．（Ⅰ）生产一个元件，求该元件为二等品的概率；（Ⅱ）若从该工厂生产的这种元件中任意取出3个元件进行检测，求至少有2个元件是一等品的概率.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先分为互斥的三个事件，再根据独立事件的概率求解；（Ⅱ）分为2个元件是一等品和3个元件是一等品两种情况求解.【详解】解：（Ⅰ）不妨设元件经三道工序加工合格的事件分别为.所以,,.,,.

设事件为“生产一个元件，该元件为二等品”.由已知是相互独立事件.根据事件的独立性、互斥事件的概率运算公式，

所以生产一个元件，该元件为二等品的概率为.

（Ⅱ）生产一个元件，该元件为一等品的概率为.

设事件为“任意取出3个元件进行检测，至少有2个元件是一等品”，则

.所以至少有2个元件是一等品的概率为.【点睛】本题考查独立事件与互斥事件的概率，考查计算能力与转化能力，属于基础题.22.已函数是定义在上的奇函数,在上.（1）求函数的解析式;并判断在上的单调