陕西省咸阳市后稷中学高二数学理摸底试卷含解析

陕西省咸阳市后稷中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数Z与点Z对应，为两个给定的复数，，则决定的Z的轨迹是（

）A过的直线

B.线段的中垂线C.双曲线的一支

D.以Z为端点的圆参考答案：B2.在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于(

)A．4 B． C．4 D．参考答案：A【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先求得A，进而利用正弦定理求得b的值．【解答】解：A=180°﹣B﹣C=45°，由正弦定理知=，∴b===4，故选A．【点评】本题主要考查了正弦定理的运用．考查了学生对基础公式的熟练应用．3.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是（

）A．

B．

C．6

D．

参考答案：C略4.用数学归纳法证明12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…+22+12═时，由n=k的假设到证明n=k+1时，等式左边应添加的式子是（）A．（k+1）2+2k2 B．（k+1）2+k2C．（k+1）2 D．参考答案：B【考点】数学归纳法．【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n=k与n=k+1时的结论，即可得到答案．【解答】解：根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，由于n=k，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12n=k+1时，左边=12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…+22+12比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2故选B．5.直线（t为参数）上与点A（﹣2，3）的距离等于的点的坐标是（）A．（﹣4，5） B．（﹣3，4） C．（﹣3，4）或（﹣1，2） D．（﹣4，5）或（0，1）参考答案：C【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】由题意可得：=，解得t即可得出．【解答】解：由题意可得：=，化为：t2=，解得t=．当t=时，x=﹣2﹣=﹣3，y=3+=4，可得点（﹣3，4）；当t=﹣时，x=﹣2+=﹣1，y=31=2，可得点（﹣1，2）．综上可得：满足条件的点的坐标为：（﹣3，4）；或（﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查了参数方程的应用、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，则下列命题中的假命题是（

）A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；B.四边形AECF是正方形；C.点A到平面BCE的距离为；D.该八面体的顶点在同一个球面上.参考答案：C：因为八面体的各条棱长均为1,四边形ABCD为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是,而象AE与CE所成的角为,A正确；四边形AECF各边长均为1，，所以四边形AECF是正方形；，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h,由，所以，解得，故C错误；7.若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（

）A．(－∞,－2]

B．

C.

D．(－2,+∞)参考答案：D若函数在区间内存在单调递增区间,则在区间有解，故的最小值，又在上是单调递增函数，所以,所以实数的取值范围是，故选D.

8.实轴长为4，且焦点为（±5，0）的双曲线的标准方式为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，可以设要求双曲线的标准方程为﹣=1，又由其实轴长分析可得a的值，代入双曲线的方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（±5，0），在x轴上，且c=5，则设其标准方程为﹣=1，又由其实轴长为4，则2a=4，即a=2，代入双曲线的方程可得：﹣=1，故选：A．9.已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导函数f′（x）＜，则f（x）＜+的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|＜﹣1} C．{x|x＜﹣1或x＞1} D．{x|x＞1}参考答案：D【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件，构造函数g（x）=f（x）﹣﹣，求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣﹣，则函数的g（x）的导数g′（x）=f′（x）﹣，∵f（x）的导函数f′（x）＜，∴g′（x）=f′（x）﹣＜0，则函数g（x）单调递减，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）﹣﹣=1﹣1=0，则不等式f（x）＜+，等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），则x＞1，即f（x）＜+的解集{x|x＞1}，故选：D10.已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|?|PF2|=（）A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：B【考点】双曲线的定义；余弦定理．【分析】解法1，利用余弦定理及双曲线的定义，解方程求|PF1|?|PF2|的值．解法2，由焦点三角形面积公式和另一种方法求得的三角形面积相等，解出|PF1|?|PF2|的值．【解答】解：法1．由双曲线方程得a=1，b=1，c=，由余弦定理得cos∠F1PF2=

∴|PF1|?|PF2|=4．法2；

由焦点三角形面积公式得：∴|PF1|?|PF2|=4；故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为=x+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力为

．参考答案：9.5【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据得=7，=5.5，利用样本点的中心（，）在线性归回方程对应的直线上，求出，可得线性回归方程，x=12代入，即可得出结论．【解答】解：由表中数据得=7，=5.5，由（，）在直线=x+，得=﹣，即线性回归方程为=x﹣．所以当x=12时，=×12﹣=9.5，即他的识图能力为9.5．故答案为：9.5．12.已知为椭圆上一点，为椭圆长轴上一点，为坐标原点.给出下列结论：1

存在点，使得为等边三角形；2

不存在点，使得为等边三角形；③存在点，使得；④不存在点，使得.其中，所有正确结论的序号是__________.参考答案：①④13.若A={1,4,x},B={1,x2}且A∩B=B，则x=____________.参考答案：0，2或-214.已知x，y满足不等式组，则目标函数z=2x+y的最大值为．参考答案：6【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】6解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，2），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6．即目标函数z=2x+y的最大值为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.一物体A以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）在一直线上运动，在此直线上物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方8m处以v=8t（t的单位：s，v的单位：m/s）的速度与A同向运动，设ns后两物体相遇，则n的值为________.参考答案：416.函数的值域是_____________参考答案：

是的增函数，当时，略17.已知双曲线的左右焦点分别为，过作垂直一渐进线于点，则=______参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）已知数列…,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明。参考答案：

（2）假设当n=k(k)时猜想成立，即

那么，====所以，当n=k+1时猜想也成立。根据（1）和（2），可知猜想对任何n都成立。19.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．参考答案：【分析】（I）先根据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出9个矩形的面积即频率，再根据直方图的总频率为1求出a的值；（II）根据已知中的频率分布直方图先求出月均用水量不低于3吨的频率，结合样本容量为30万，进而得解．（Ⅲ）根据频率分布直方图，求出使直方图中左右两边频率相等对应的横坐标的值．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5，0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x=0.5，解得x=0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．【点评】本题用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．20.已知函数是R上的奇函数，当时取得极值。（1）求的单调区间和极大值；（2）证明对任意，，不等式恒成立．（14分）

参考答案：解:（1）由奇函数的定义，应有，即

∴因此，

由条件为的极值，必有，故解得，……5分因此，，当时，，故在单调区间上是增函数当时，，故在单调区间上是减函数当时，，故在单调区间上是增函数所以，在处取得极大值，极大值为

（2）由（1）知，是减函数，且在上的最大值在上的最小值所以，对任意的，，恒有．略21.已知抛物线C：，直线l：与C交于A、B两点，O为坐标原点．（1）当直线l过抛物线C的焦点F时，求︱AB︱；（2）是否存在直线l使得直线OA⊥OB？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：：⑴∵F(，0)

∴l：，

由消去y得：

………2分设A（x1,y1）、B（x2,y2），则x1＋x2＝9

………3分∴︱AB︱＝x1＋x2＋1＝10

………5分⑵∵OA⊥OB

∴x1·x2＋y1·y2＝0由消去y得：x2＋4（b－2）x＋4b2＝0

………7分由Δ＝16（b－2）2－16b2＞0得：b＜1

………8分又x1＋x2＝4(2－b)

x1·x2＝4b2

………9分………10分∴x1·x2＋y1·y2＝4b2＋4b＝0b＝0(舍)或b＝－1

………11分∴l：即

………12分22.设函数f（x）=（x+a）ex，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线与直线ex﹣y=0平行．（1）求a的值；（2）求y=f（x）的单调区间．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据两直线平行的条件，求出曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率k，求出函数f（x）的导函数f′（x），令x=1，f′（1）=k，求出a；（2）将（1）中的a代入原式，求出f（x）的导函数f′（x），令f′（x）＞0，得出y=f（x）