中考数学复习指导：运用网格正方形解题举例

运用网格正方形解题举例把正方形均匀地分成一个一个的小方格，从而形成“网格正方形”，同学们对于这种图形都很熟悉，在数学学习中，正方形网格能发挥很大的作用，现举例如下：一、比较大小例1比较＋2＋与6的大小．解析如图1，由数字6想到可以构造出边长为6的正方形，并分成网格状．由勾股定理找出线段根据线段公理“两点之间，线段最短”AB＋BC＋CD＞6，即＋2＋>6．点评，从数字的特征（含根号的无理数）联想到与这些数字相关的图形——直角三角形，这样来构造方网格，促使数向形转化．二、设计方案例一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？解析一般同学都能想到过正方形的对称中心作两条互相垂直的直线．若借用网格正方形，把草地平分成16块均等的小正方形，再作面积等于4的图形，经过旋转或轴对称，便得到形状各异的符合题意的方案（图略）．点评用方网格将面积数量化，从定量的角度快速找出各种各样的方案，可有效防止思维定势，从而拓展解题思路，如果借用更密的网格就以得到更多的方案，大家再试试看．三、巧求面积例3已知△ABC的三边长分别为，，，，求这个三角形的面积．解析解题的通法是作高，将三角形分成两个直角三角形，再运用勾股定理构造方程求解，但计算量大，由三角形的三边都是无理数，想到构造正方形网格，画出符合条件的三角形，用割补法解题能起到事半功倍的效果．如图2，构造正方形网格，每个小正方形边长为1．由勾股定理，知点评由“数”建立网格正方形，再通过“形”简捷地解决问题，起到数形结合，互不可分的效果．四、求值例4计算13＋23＋33＋…＋503的值．解析直接计算显然不可取，利用数形结合法——构造正方形网格，可使计算简捷易行．如图3所示的正方形，左上方第一层小网格个数12＝13，左上方第一、二层的小网格总个数为 点评此处利用网格正方形形象而直观地计算出较为复杂的算式，体现了数与形之间的和谐统一．也印证了德国数学家希尔伯特的一句名言：“算术是写下来的图形，几何是画下来的公式”．五、确定直线例5六个面上分别标有1,1,2,3,3,5六个数字的均匀立方体的表面展开图，如图5所示，掷这个立方体一次，记朝上一面的数为平面直角坐标系中某个点的横坐标，朝下一面的数为该点的纵坐标．按照这样的规定，每掷一次该小立方体，就得到平面内一个点的坐标．已知小敏前两次掷得的两个点能确定一条直线L，且这条直线L经过点P(4，7)，那么，他第三次掷得点也在直线L上的概率是()．（A） （B） （C） （D）解析根据图4的表面展开图，想象出立方体模型．易知相对的三组面的数字对应为：表面展开图中左边的1与右边的1对应，由上向下第二个3与5对应，顶上的3与2对应．投掷立方体得到平面内点的坐标有6种可能：(1，1)、(1，1)、(3，5)、(5，3)、(3，2)、(2，3)．再看这些点是否在某条直线上，找出直线L是解题的关键．因为P(4，7)在直线L上，由“两点确定一条直线”，只须再找出另一点即可，建立如图5的网格，把六个点逐一描出，很直观地看出点(1，1)、(2，3)、(3，5)、(4，7)都在同一直线上，即这条直线为L，故第三次掷得的点在直线L上的概率P＝＝，选A．点评此处借用网格正方形描点，可直观看出这些点是否在同一条直线上，避免了繁琐的计算，为准确计算概率扫清了思维障碍．六、妙求角度例6已知α、β均为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．解析如果用初中的三角函数的知识来解决问题，比较困难．由锐角三角函数的定义，构造出∠α,∠β，放置在正方形网格中，并把这两个角集中在一处，找出全等三角形，问题得以解决．如图6的正方形网格中，每个小正方形边长都为1，若∠ABF＝α，∠C