第6章 部分相干理论

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

《傅里叶光学•第2版》电子教案

周哲海吕乃光编著机械工业出版社第六章部分相干理论本章主要内容1、光场相干性的一般概念2、互相干函数3、相干度的测量4、傅里叶变换光谱学5、准单色光的干涉6、准单色光的传播和衍射7、范西特-泽尼克定理1、光场相干性的一般概念在讨论光的传播、衍射等现象时，常常假定照明光是点光源产生的单色光，但实际的热光源总是由大量独立的基元辐射体（原子）组成的。对每一个辐射体来说，光辐射产生的时间、持续的时间间隔以及随时间变换的方式都是无规则的。光源发出的光波正是所有这些辐射体发出的光的组合。所以，我们所用的都是具有有限谱宽的并在空间有限扩展的光源，并非严格单色点光源。考察光场相干性，实质上是考察光场中具有时间延迟的空间两点光振动之间的相关程度，它就既包含时间效应，又包含空间效应。前者是指时间相干性，源于光源的有限谱宽；后者是指空间相干性，源于光源的有限大小。1、光场相干性的一般概念1.1时间相干性可通过迈克尔逊干涉仪的干涉实验认识时间相干性。下图为迈克尔逊干涉仪的光路简图。点光源S发出的光经透镜准直，用滤色片F选择一定宽度的谱线照明干涉仪。反射镜M1和M2垂直。固定M2，移动M1，逐渐增加光程差时，干涉条纹对比下降，最后条纹消失。1、光场相干性的一般概念假定光源发出的光是由一个个有限长度的波列所组成，并将波列在真空中传播的长度称为相干长度。单个波列持续的时间称为相干时间。通常用相干长度和相干时间来衡量时间相干性的好坏。当时间延迟远大于，或光程差远大于，观察不到干涉条纹。

相干时间和光源谱宽之间的关系为式中为谱线宽度，上式称为时间相干性的反比公式。谱线越窄，相干时间和相干长度就越长，时间相干性越好。可以得到

式中为平均波长。公式给出了描述时间相干性的诸物理量之间的关系。

1、光场相干性的一般概念1.2空间相干性可通过杨氏干涉实验认识空间相干性。下图所示的杨氏干涉实验装置，扩展光源照明不透明屏上的两个针孔P1和P2，在远离它的观察屏上P点附近观察两束光波叠加的结果。对于固定的两个针孔，当光源宽度大到一定程度后，干涉条纹消失，此时对应的光源宽度称作临界宽度，其中，

是P1和P2点对光源中心的张角，称为干涉孔径角。只有光源宽度小于bc时，P1和P2点的光振动才存在相关性，观察屏上才会出现干涉条纹。1、光场相干性的一般概念从另一角度考虑，当选定光源尺寸b，两个针孔的距离d越小，干涉条纹越清晰，随着d增大，干涉条纹对比度也下降，直至条纹消失。最大允许间隔为其中，

是扩展光源对P1P2连线中点的张角，dc称为横向相干宽度。当确定以后，距离超过dc的空间两点，它们的光振动不存在相关性。综上所述上述公式称为空间相干性的反比公式。1、光场相干性的一般概念总结一下：实际光源总是具有有限频带宽度的扩展光源，其辐射光场的相干性应包含时间相干性和空间相干性的双重影响。只是对于光谱线很窄的扩展光源，空间相干性是主要的；对于有限谱宽的尺寸很小的光源，时间相干性是主要的。2、互相干函数相对时间延迟为

的P1、P2点的光振动，即两个时空点的光振动的相关函数称为光场的互相干函数表示，其中，<>代表时间平均运算。当P1、P2点重合时，该点光振动的自相关函数称为光场自相干函数，将归一化后，有

称为复相干度。

2、互相干函数从P1和P2发出的次级子波在空间某一点P产生的合振动光强为上式正是平稳光场的普遍的干涉定律。它表明两束光在P点叠加所引起的光强度与每束光在P点的强度以及复相干度实部的值有关。上式可进一步写为其中，是P1和P2点光振动之间的位相差，为两个单色光波的平均频率。

2、互相干函数复相干度的模的物理意义a)当取最大值1时，P点的强度与频率为的两个单色光波在该的P1和取最小值0时，干涉项为零，P点强度为两束光波在P点产生时，P1和P2点的光振动是部分相干的，表示它们的相干度。

点叠加所产生的干涉结果相同，这种情况下，相对时延为b)当P2点的光振动是相干的。光强的简单相加，所以P1和P2点的光振动是非相干的。c)当

互相干函数和复相干度是两个十分重要的物理量，它们表示时空中两个不同点的光振动的关联程度。

3、相干度的测量光场的相干性质，即两个时空点的光振动的相干度，可以通过实验由干涉条纹的对比度V(P)来确定，上式表明，只要测定出两束光各自在P点产生的光强以及干涉条纹的对比度，就可以得到。若两个光波在P点的强度相等，即时，复相干度的模就等于干涉条纹的对比度，即

3、相干度的测量3.1时间相干性的测量归一化的自相干函数定义为复时间相干度γ11(),它描述P1点相对时延为的光振动的关联程度，即光场的时间相干性。而且即，复时间相干度的模就等于观察点附近干涉条纹的对比度，它们都随着时延变化。

1）当时，，干涉条纹最清晰，V=1；

2）随着的逐渐增大，减小，干涉条纹对比度下降；当足够大时，趋于零，输出光强变为均匀常数，干涉现象消失。

3、相干度的测量3.2空间相干性的测量复空间相干度为它描述在同一时刻t，光场中两点P1和P2的空间相干性，它的模可通过测量零光程差附近干涉条纹的对比度确定。

4、傅里叶变换光谱学在讨论时间相干性测量的迈克尔逊干涉实验中，P点光强随反射镜M1位移发生变化，即记录下这一光强变化，就得到干涉图。回顾：干涉图上干涉条纹对比度的变化决定于复时间相干度的模，显然这一变化的根本原因正在于光源特定的光谱分布。由实验获得的干涉图来确定一个未知光源的光谱分布，或者说由于干涉条纹的强度分布反推出光源的时间功率谱信息正是傅里叶变换光谱学的任务。4、傅里叶变换光谱学可导出对于干涉图的强度分布作余弦傅里叶变换，得结果得到光源的功率谱及其镜像。该式表明，在干涉图的强度分布中包含着光源光谱分布的信息，只要作余弦傅里叶变换就可以提取这一信息。傅里叶变换光谱仪就是根据这一原理设计的。

与采用棱镜光谱仪、F-B干涉仪、光栅干涉仪的传统光谱技术相比，傅里叶变换光谱仪可以使用扩展光源，增大入射光束口径，可获得很大的辐射通量。并由于同时能记录全部光谱成分，光能输出要大得多，因而也具有更高的灵敏度和信噪比。另外，傅里叶变换光谱仪的分辨率要高得多，它决定于可动反射镜的最大移动距离。4、傅里叶变换光谱学当测出光源的功率谱后，就可以由它确定相干时间和有效谱宽等描述时间相干性的物理量的大小。

对功率谱密度函数作归一化，得则归一化的自相干函数为该式指出复时间想干度与光源归一化功率谱密度之间的傅里叶变换关系。5、准单色光的干涉准单色光条件是指：1）光的谱线很窄，有效谱宽远小于平均频率，即2）光路中从光源到干涉区域所涉及到的最大光程差远小于光的相干长度，或者。

互强度定义为P1和P2两点在相对时延的情况下光振动的互相关，即

定义复空间相干度或，即

5、准单色光的干涉若在准单色光近似下，辐射场的干涉定律为其中，，和都是与时延无关的量。

如果和在观察区域内近似不变，则该区域干涉条纹具有几乎恒定的对比度和相位，条纹对比度为若两束光强度相等，即，则

测量出干涉条纹的对比度就可以确定复空间相干度的模。

5、准单色光的干涉干涉条纹最大值出现在测量出干涉条纹极大值的位置就可以确定复空间相干度的相位。

以上分析表明，准单色场的特点类似于频率为的干涉条纹的对比度和位置分别决定于复空间相干度的模的严格单色场，区别在于准单色光和位相。下图给出相干、部分相干、非相干三种情况下的强度分布。

a)相干叠加b)部分相干叠加

c)非相干叠加5、准单色光的干涉在描述光场相干性的物理量和中，既包含时间效应也包含空间效应。只有在准单色场中才有可能把空间相干性效应分离出来。下表列出了描述光场相干性的各种参数。

6、准单色光的传播和衍射6.1互强度的传播在准单色条件下，互相干函数可表达为其中，是互强度，它与变量无关。

由波动方程可得到互强度满足的两个亥姆霍兹方程，式中和分别是对P1和P2点的空间直角坐标的拉普拉斯算符。上式是准单色场中描述空间相干性传播的基本规律。

6、准单色光的传播和衍射互强度传播的普遍公式为互强度的传播其中，为系统透射函数，为倾斜因子，为平均波数。

如右图，自由空间的准单色场中互强度传播公式为6、准单色光的传播和衍射见图，若和重合为一点时，可得到上的强度分布为

上式表明点的光强等于上每一对点所做的贡献之和。

每一对点产生的响应为贡献依赖于这两点的强度以及相应的复空间相干度。

，每一对点的上式可看作是部分相干场中强度传播的惠更斯—菲涅耳原理。6、准单色光的传播和衍射6.2部分相干光的衍射参看上图，远场条件下部分相干光的衍射公式为上式表明，衍射图样的强度分布是孔径自相关函数与入射光波复空间相干度的乘积的二维傅里叶变换。

7、范西特—泽尼克定理如下图所示，一扩展的准单色平面光源照明平面屏幕上和两点。假定仅是平面的一部分，它与屏幕平面平行，距离为z。则和两点的复空间相干度为

光源7、范西特—泽尼克定理由准单色扩展光源的强度分布可确定光场中和相干度，上式称为范西特-泽尼克定理。在傍轴近似下，该定理的最终表达式为，

两点的复空间式中，，和分别表示和两点到原点的距离。

公式表明当光源本身线度以及观察区域线度都比两者距离z小很多时，观察区域上复空间相干度正比于光强强度分布的归一化傅里叶变换。7、范西特—泽尼克定理对于直径为b的均匀亮度的准单色圆形光源，辐射光强分布为可推导出式中，式中，，是光源对Q1、Q2两点连线中心点的张角，即光源的角直径；，等于Q1、Q2两点之间的距离，如下图。

7、范西特—泽尼克定理相对变化的曲线。当

=3.833时，为第一个零极小，下图给出相应孔距为若取

=1时，。它对理想值1偏离12%，可认为是最大允许偏离，此时

以dc为直径的圆面积Ac称为相干面积。本章小结1）实际光源总是具有有限频带宽度的扩展光源，其辐射光场的相干性应包含时间相干性和空间相干性的双重影响。只是对于光谱线很窄的扩展光源，空间相干性是主要