2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷（附答案）

2023年辽宁省本溪市、铁岭市、辽阳市中考数学试卷

1.2的绝对值是（）

A.jB.-2C.-ɪD.2

2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.如图所示，该几何体的俯视图是（）

A∙ΔB∙O'HD∙ΓΠ

4.下列运算正确的是（）

A.a+2a2=3Q3B.α7÷α4=a3

C.（α—2）2=a2—4D.（3b）2=6b2

5.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的10名运动员的成绩如下表所示:

成绩∕τn1.401.501.601.701.80

人数/名13231

则这10名运动员成绩的中位数是（）

A.1.50τnB.1.55mC.1.60mD.1.65m

6.如图，直线CQ,所被射线。4,08所截,。。〃肥,若乙1=108°,

则42的度数为（）

A.52°

B.62°

C.72°

D.82°

7.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（）

A.了解某种灯泡的使用寿命B.了解一批冷饮的质量是否合格

C.了解全国八年级学生的视力情况D.了解某班同学中哪个月份出生的人数最多

8.某校八年级学生去距离学校120h”的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后,

另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达.已知快车的速度是慢车速度的1∙5倍，求慢车的

速度.设慢车的速度是XknI",所列方程正确的是（）

1

A∙k+1=市B∙-Γ-=I^C.笳=口D.而

9.如图，在RtAABC中，ZT=90°,AB=5,BC=3,以点4为圆

心，适当长为半径作弧，分别交AB,4C于点E,F,分别以点E,F

为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在NBaC的内部相交于点G,

作射线AG,交BC于点。，则8。的长为（）

A.IB.ɪC.?D.I

5433

10.如图，在Rt△4BC中，∆ACB=90°,∆A=30o,AB=3cm.

动点尸从点A出发，以ICnι∕s的速度沿射线4B匀速运动，到点

B停止运动，同时动点。从点A出发，以CCM/s的速度沿射

线AC匀速运动.当点尸停止运动时，点Q也随之停止运动.在

PQ的右侧以PQ为边作菱形PQMN,点N在射线AB上.设点P的运动时间为X（S）,菱形PQMN

与AABC的重叠部分的面积为y（cτ∏2）,则能大致反映y与X之间函数关系的图象是（）

11.截止到2023年4月底，我国5G网络覆盖全国所有地级（以上）市、县城城区，5G移动

电话用户达到634000000户，将数据634000000用科学记数法表示为

12.分解因式：m3-4m2+4m=.

13.如图，等边三角形ABC是由9个大小相等的等边三角形构成,

随机地往AABC内投一粒米，落在阴影区域的概率为.

B

14.若关于尤的一元二次方程χ2-X+k+1=0有两个实数根，则A的取值范围是

15.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是

0(0,0),4(1,0),B(2,3),C(-l,2),若四边形O4B'C'与四边形OABC

关于原点。位似，且四边形OA'B'C'的面积是四边形OABC面积的4

倍，则第一象限内点夕的坐标为.

16.如图,矩形ABCO的边AB平行于X轴,反比例函数y=^(x>0)

的图象经过点B,。,对角线CA的延长线经过原点。,且4C=2A0,

若矩形ABC。的面积是8,则Z的值为.

17.如图，在三角形纸片ABC中，ABAC,∆B=20°,点

。是边BC上的动点，将三角形纸片沿AO对折，使点8落在

点B'处，当B'DJ,BC时，4BA0的度数为.

18.如图，线段ZB=8,点C是线段AB上的动点，将线段BC

绕点B顺时针旋转120。得到线段8力，连接CD在AB的上方作

RtADCE,使NDCE=90°,NE=30。，点F为。E的中点，连接

AF,当A尸最小时，ABCC的面积为.

19.先化简，再求值：(篝-1)+岩，其中％=3.

20.6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学

生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：4(优秀)；B(良好

)；C(中)；D(合格).并将统计结果绘制成如图两幅统计图.

环保知识竞赛学生成绩条形统计图环保知识竞赛学生成绩扇形统计图

,人数

⅛L©

°ABC宕等级

请根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次抽样调查的学生共有名；

(2)补全条形统计图；

(3)该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得8等级的学生有多少名？

(4)在这次竞赛中，九年一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主

任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求

所选2人恰好是一男一女的概率.

21.某礼品店经销A,B两种礼品盒，第一次购进A种礼品盒10盒，B种礼品盒15盒，共

花费2800元；第二次购进A种礼品盒6盒，B种礼品盒5盒，共花费1200元.

Q)求购进A,B两种礼品盒的单价分别是多少元；

(2)若该礼品店准备再次购进两种礼品盒共40盒，总费用不超过4500元，那么至少购进月种

礼品盒多少盒？

22.暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要登顶600机高的山峰，由山底A处

先步行300m到达B处，再由8处乘坐登山缆车到达山顶。处.已知点A,B,D,E,尸在同

一平面内，山坡AB的坡角为30。，缆车行驶路线8。与水平面的夹角为53。(换乘登山缆车的

时间忽略不计).

(1)求登山缆车上升的高度OE;

(2)若步行速度为30m∕min,登山缆车的速度为60τn∕min,求从山底A处到达山顶。处大约

需要多少分钟(结果精确到0.1min).

(参考数据:sin53o≈0.80,cos53o≈0.60,tan53o≈1.33)

23.商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y(台)与销售单

价x(元)之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对

应数据如下表所示：

销售单价元)•••506070•••

月销量y(台)・・・908070.・・

(1)求y与X之间的函数关系式；

(2)当护眼灯销售单价定为多少元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润

为多少元？

24.如图，AB是O。的直径，点C,E在0。上，∆CAB=2∆EAB,点尸在线段4B的延长

线上，且"FE=∆ABC.

(1)求证：EF与。。相切：

(2)若8F=1,sinZ∙4FE="求BC的长.

25.在Rt△4BC中，∆ACB=90o,C4=CB,点。为AB的中点，点D在直线AB上(不与

点A,B重合),连接CD,线段CD绕点C逆时针旋转90。,得到线段CE,过点B作直线11BC,

过点E作EFl/,垂足为点F,直线EF交直线OC于点G.

图1图2

(1)如图1,当点。与点。重合时，请直接写出线段AO与线段EF的数量关系；

(2)如图2,当点。在线段AB上时，求证：CG+BD=Cbj

(3)连接。E,ACDE的面积记为Si，AABC的面积记为S2,当EF：BC=1：3时，请直接写

出3的值.

i2

26.如图，抛物线y=-+bx+c与X轴交于点4和点8(4,0),与y轴交于点C(0,4),点

E在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E在第一象限内，过点E作EF〃y轴，交BC于点凡作轴，交抛物线于点H,

点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH,当矩形EFGH的周长为11时,

求线段EH的长；

(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OEMW是正方形时，请直接写出点N的坐

标.

答案和解析

1.【答案】。

【解析】解：2>0,|2|=2,

故选：Do

计算绝对值要根据绝对值的定义求解。第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉

这个绝对值的符号.

本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2的绝对值是2。

2.【答案】A

【解析】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；

以原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A.

根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可.

本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

3.【答案】C

【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：

m∙

故选：C.

根据俯视图是从上面看到的图形判定即可.

本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图.

4.【答案】B

【解析】解：Aa和2a2不能合并了，故本选项不符合题意：

B.α7÷α4=α3,故本选项符合题意；

C.(a-2)2=a2-4a+4,故本选项不符合题意；

Zλ(3b)2=9b2,故本选项不符合题意；

故选：B.

先根据合并同类项法则，同底数哥的除法，完全平方公式和累的乘方与积的乘方进行计算，再得

出选项即可.

本题考查了合并同类项法则，同底数塞的除法，完全平方公式和累的乘方与积的乘方等知识点，

能熟记合并同类项法则，同底数幕的除法，完全平方公式和幕的乘方与积的乘方法则是解此题的

关键.

5.【答案】C

【解析】解：中位数是按从小到大排列后第5,第6两个数的平均数作为中位数，

故这组数据的中位数×(1.60+1.60)=1.60.

故选：C.

根据中位数的定义，结合图表信息解答.

本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的

顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据

的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

6.【答案】C

【解析】解：如图:

•••CD//EF,

：.z2+Z3=180°,

•••Nl=43,

41+42=180°,

∙.∙Zl=108°,

Λ42=72°,

故选：C.

根据两直线平行，同旁内角互补，得出N2+43=180。，由Nl=N3,得出/1+43=180。，即可

得答案.

本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补，是解答此题的关键.

7.【答案】D

【解析】解：A、了解某种灯泡的使用寿命，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意;

8、了解一批冷饮的质量是否合格，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意：

C、了解全国八年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查方式，故此选项不符合题意；

。、了解某班同学中哪个月份出生的人数最多，适宜采用全面调查方式，故此选项符合题意;

故选：D.

普查和抽样调查的选择.调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具

体问题具体分析，普查结果准确，所以要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择

普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常

有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.

此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较

多，而抽样调查得到的调查结果比较近似.

8.【答案】B

【解析】解：设慢车的速度为Xkm/九，

根据题意可列方程为：工型-I=溶.

X1.5x

故选：B.

此题求速度，有路程，所以要根据时间来列等量关系.因为他们同时到达目的地，所以此题等量

关系为：慢车所用时间-1=快车所用时间.

本题考查由实际问题抽象出分式方程，正确利用等量关系列出方程是解题关键.

9.【答案】D

【解析】解：作DMIaB于M,

由题意知平分ZBAC,

•••DCJ.AC,

.∙.CD=DM,

VNC=90°,AB=5,BC=3,

.∙.AC=√AB2-BC2=4-

v∆4BC的面积=△4CO的面积+∆48。的面积，

Ill

・・・加C∙BC=^AC∙CD+^AB∙MD,

.∙.4×3=4CD+5CD,

ʌCD=小

45

∙.BD=BC-CD=3-^=^.

故选：D.

由角平分线的性质定理推出CD=M。，由勾股定理求出AC的长，由AABC的面积=AACD的面积

+AABD的面积，得至物C∙BC=*C∙CD+*B∙MD,因此4x3=4CD+5CC,即可求出CO

的长，得到。B的长.

本题考查勾股定理，角平分线的性质，作图-基本作图，三角形的面积，关键是由角平分线的性质

得到C。=MD,由三角形面积公式得到TaC∙BC=^AC-CD+^AB-MD.

10.【答案】A

【解析】解：作PD1AC于点。，作QE14B于点E,

AD=AP∙cos30o=-y-x»

.∙.AD=DQ=^AQ,

∙∙∙PD是线段A。的垂直平分线，

.∙.∆PQA=∆A=30°,

・∙・Z-QPE=60o,PQ=AP=%,

.∙.QE=1AQ=3X，PQ=PN=MN=QM=x,

当点M运动到直线BC上时，

.∙.AP=PN=BN=^AB=1,x=1；

当点P运动到与点B重合时,

:,AP=AB=3,%=3；

二当O<X≤1时，y-=.X-ɪX=ɪX2,

当l<x≤∣时，如图，作尸GlyIB于点G,交QW于点R,

FS=3x-3,FR=?(3久一3)，

√3ɪ/ɔ6CSn、7√32,9日9√3

y=-xz2--(,3x-3)∙—(3x-3)=--—xz+—x~—>

1∙、口”、口23√3,9≠^3

,y二5,z(3o-X)∙∙y(3_x)=-Xz-—X+

综上，y与X之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下

的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线,

只有选项A符合题意，

故选：A.

先证明菱形尸QMN是边长为X,一个角为60。的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解.

本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性

质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键.

11.【答案】6.34×IO8

【解析】解：634000000=6.34X100000000=6.34XIO8,

故答案为：6.34×IO8.

将634000000写成6.34X100000000,进而写成6.34X1()8即可.

本题考查用科学记数法表示较大的数，将634000000写成6.34X100000000,再写成6.34X1()8是

正确解答的关键.

12.【答案】m(m-2)2

【解析】解：τn3—4m2+4m

=Tn(Tn2—4m+4)

=m(m-2)2.

故答案为：m(m-2)2.

先提取公因式m,再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解.

本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再

用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止.

13.【答案】I

【解析】解：•••总面积为9个大小相等的等边三角形的面积，其中阴影区域面积为5个大小相等的

等边三角形的面积，

随机地往4力BC内投一粒米，落在阴影区域的概率为今

故答案为：

根据几何概率的求法：落在阴影区域的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求

事件(4);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件G4)发生的概率.

14.【答案】k≤-'

4

【解析】解：根据题意得Zl=(-1)2-4×(fc+l)≥0,

解得k<一*

故答案为：k≤~l

根据根的判别式的意义得到4=(-1)2-4(k+1)≥O,然后解不等式即可.

本题考查了根的判别式：一元二次方程α/+bx+c=O(a≠0)的根与ZI=b2-4ac有如下关系：

当4>。时，方程有两个不相等的实数根；当4=O时，方程有两个相等的实数根；当4<O时，方

程无实数根.

15.【答案】(4,6)

【解析】解：•••四边形OAB'C'与四边形04BC关于原点。位似，且四边形。4'B'C'的面积是四边形

OABC面积的4倍，

.∙.四边形04B'C'与四边形OABC的位似比是2：1,

•••点8(2,3),

・•・第一象限内点B'的坐标为(4,6).

故答案为：(4,6).

根据四边形。AB'C'的面积是四边形OABC面积的4倍，可得四边形(M'B'C'与四边形OABC的位

似比是2：1,进而得出各对应点位置，进而得第一象限内点B'的坐标.

本题考查作图-位似变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

16.【答案】6

【解析】解：如图，延长CO交y轴于E,连接0。,

矩形ABCD的面积是8,

SAADC=4，

AC=2A0,

SbADO=2,

∙.∙AD//OE,

.∙∙∆ACD(^∆,OCE,

ʌAD：OE=AC：OC=2：3,

∙'∙SbODE=3,

由几何意义得，煤=3,

k>0,

二Zc=6,

故答案为：6.

根据矩形面积求出△/!OC面积，再利用04AC=I:2,求出AAOO面积，利用相似求出AO与

OE的比，求出AODE面积，即可利用几何意义求出k.

本题考查了反比例函数性质的应用，几何意义及三角形面积与底、高的关系的应用是解题关键.

17.【答案】35。

【解析】解：AB=AC,NB=20。，

ʌZ.C=乙B—20°>

.∙.Z.BAC=180o-NB-NC=140°,

当B'D1BC时，则Na4B'=90"-NC=70°,

4BAB'=Z.BAC-∆CAB'=70°,

•••将三角形纸片沿AD对折，使点3落在点8'处,

乙BAD=∆B'AD=^∆BAB'=ɪ×70°=35。,

故答案为：35。.

由AB=AC,得NC=NB=20。，则NB4C=14(Γ,当B'D1BC时，贝此C4B'=90--NC=70。，

所以NB4B'=ΛBAC-∆CAB'=70°,则4BAD=∆B'AD=^∆BAB'=35°,于是得到问题的答案.

此题重点考查等腰三角形的性质、轴对称的性质、三角形内角和定理等知识，求得4848'=70。是

解题的关键.

18.1答案】V^^3

【解析】解：连接CF,则CF=DF=EF,

V乙EDC=90°-NE=60°,

乙FCD=60°.

•••乙DCB=Xl80°-120°)=30°,

乙FCB=4FCD+乙DCB=60°+30°=90°,

・•.△4CF是直角三角形.

设BC=X,则Ae=8-X,BC=BD=X,CD=CF=Cx，由勾股定理得：

AF=√√1C2+FC2=J(8-x)2+(CX)2=2√(x-2)2+12.

当X=2时，AF有最小值.

ʌBC=BD=2,乙CBD=120°,

SABCD=aX2X2X―2-V3.

故答案为：，3.

连接CF,证明ACF为直角三角形,根据勾股定理列出4尸2=CF2+设BC=x,则AC=8-x,

建立关于X的二次函数关系式，求出X=2时，A尸最小，再求出顶角是120。的三角形8C。的面积

即可.

本题考查了旋转背景下的二次函数最值问题，顶角为120。的等腰三角形面积的计算，建立二次函

数关系式是本题的突破口.

19.【答案】解：原式=(E—匕|)上+2譬-2)

、x-2x-27x+1

X+1(%+2)(%—2)

~x—2%+1

=%+2,

当％=3时，原式=3÷2=5.

【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把X的值代入进行计算即可.

本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键.

20.【答案】60

【解析】(1)调查的学生共有=藕=60(名)；

故答案为：60；

(2)C合格的人数=60-24-18-3=15(名),

环保知识竞赛学生成绩条形统计图

答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名;

(4)画树状图如下：

开始

男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1

二一共有12中等可能的情况，其中一男一女的情况有8种，

所选2人恰好是一男一女的概率为。=|.

(1)由优秀的人数除以所占百分比即可；

(2)求出C合格的人数，补全条形统计图即可；

(3)由该校共有学生人数乘以“良好”以上的学生所占的比例即可；

(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的两人恰好是一男一女的结果有6种，再由

概率公式求解即可.

此题考查的是用树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步

或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=

所求情况数与总情况数之比.

21.【答案】解：(1)设购买每盒A种礼品盒要X元，每盒8种礼品盒要y元，由题意得,

(10%+15y=2800

[6x+5y=1200

AZB(X=100

解2得：[y=120,

答：购买每盒A种礼品盒要10。元，每盒8种礼品盒要120元:

(2)设需要购买，”个A种礼品盒，则购买(40-m)个8种礼品盒，由题意得，

IOOm+120(40-m)≤4500,

解得：m≥15,

答：最少需要购买15个A种礼品盒.

【解析】(1)设购买每盒A种礼品盒要X元，每盒B种礼品盒要y元，由题意即可得出关于X,y

的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)设该公司需要购买s个A种礼品盒，则购买(40-m)个B种礼品盒，由题意即可得出关于，"

的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论.

此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关健描

述语，进而找到所求的量的数量关系，列出方程组和不等式.

22.【答案】解：(1)如图，过点B作BMJ.4F于点由题意可知,

∆A=30°,4DBE=53°,DF=600m,AB=300m,

在Rt△ABM中，NA=30。，AB=300m,

.∙.BM=^AB=150m=EF,

.∙.DE=DF-EF=600-150=450(m),

答：登山缆车上升的高度。E为450，〃：

(2)在RtABDE中，NDBE=53。，DE=450m,

DE

・••BD=—：----Ccrt

SIn乙DBE

450

《丽

=562.5(m),

••・需要的时间t=t步行+t缆车

_300562.5

=讨+-δu-

≈19.4(min),

答：从山底A处到达山顶。处大约需要19.4分钟.

【解析】(1)根据直角三角形的边角关系求出BM,进而求出。E即可；

(2)利用直角三角形的边角关系，求出8。的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可.

本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提.

23.【答案】解：(1)设月销量y(台)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系式为y=kx+b,

把(50,90)和(60,80)代入得二流黑，

解得g：；：。,

y=—%÷140；

(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为卬元，

根据题意得，W=(x-40)y=(x-40)(—X+140)-—x2+180x—5600——(x-90)2+2500,

二当护眼灯销售单价定为90元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2500

元.

【解析】(1)设月销量y(台)与销售单价双元)之间满足一次函数关系式为y=kx+b,把(50,90)和

(60,80)代入解方程组即可得到结论；(2)设每月出售这种护眼灯所获的利润为W元，根据题意得

到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论.

本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计

算.

24.【答案】（1）证明：如图，连接OE,

OA=OE,

Z.OAE=Z.OEA,

：.乙FoE=∆OAE+∆OEA=2/.0AE,

∙.∙Z.CAB=2∆EAB,

ʌ/.CAB=乙FOE>

又Z.AFE=Z.ABC,

ʌ/.CAB+Z-ABC—乙FOE+Z-AFE,

•••4B是。。的直径，

•••4ACB=90°,

.∙./.CAB+∆ABC=90°=4FOE+∆AFE,

乙OEF=90",

即。E1EF,

∙.∙OE是半径，

EF是。。的切线；

(2)解：在RtZiEOF中，设半径为，-，即0E=0B=r,则0F=r+l,

4厂厂4OEr

•・•SlnzTlZ7E=7=777=-TT，

5OFr+1

・•・r=4,

：•AB=2r=8,

在RtZk4BCψ,Sin乙ABC=%=sinzλ尸E=SAB=8,

AB5

432

Λ½c=I×8=y,

.∙.BC=√AB2-AC2=y.

【解析】(1)根据圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理可得。ElEF即可；

(2)根据锐角三角函数可求出半径，进而得到AB的长，再根据直角三角形的边角关系求出AC,由

勾股定理求出BC即可.

本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数的定义以及勾股定理，掌握切线的判定

方法，锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提.

25.【答案】(1)解：AD=CEF，理由如下:

连接BE,如图：

∙.∙∆ACB=90o,CA=CB,

.∙.∆A=45",

••・线段CD绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,

ʌCD=CE,Z.DCE=90°,

4BCE=90°-乙BCD=∆ACD,

.∙.^BCE^^ACD{SAS),

.∙.BE=AD,NA=∆CBE=45°,

•••直线］1BC,

乙EBF=45",

；.△BEF是等腰直角三角形，

.∙.BE=V~2EF,

.∙.AD=yΓ2EFi

(2)证明：如图,

V∆ACB=90o,CA=CB,。为AB的中点，

・•・Z.COB=90°,AB=yΓ2BCf

•：乙BFG=90°,

・・・Z.G=360o-∆COB-乙OBF-乙BFG=45o=z½,

•・・8。，直线/,EFL直线/,

・•・BCllGF,

・∙・Z-CEG=Z.BCE,

・・乙乙

•BCE=90°-BCD=∆ACDf

：.∆CEG=Z-ACD,

VCE=CD,

∙M"G^DS(44S),

：,CG—AD,

VAD+BD=AB,

∙∙CG+BD=yJ~~2BC:

(3)解：由M：BC=1：3,设E∕7=m,则BC=4C3m,

当。在线段AB上时，延长AC交G尸于K,如图：

由(2)知ACEG02kDC4

・•・GE=AC=3m,

•・•乙CBF=乙BFE=乙BCK=90°,

・・・四边形BCKF是矩形，

ʌKF=BC=3m,(CKG=90°,

:,KE=KF-EF=2m,

：・GK=GE—KE=m,

v∆G=45o,

ʌCK=GK=m,

ʌCE2=CK2+KE2=m2+(2m)2=5m2,

11r2

2rn

・・・S1=^CD-CE=^CE=詈，

∙.∙AC=BC=3m,

.∙.S2=IAC-BC=

.∙.^1=5.

S29'

当。在射线AA上时，延长EG交AC于7,如图:

:∙FG=EG-EF=2m,

VTF=BC=3τn,

TG=TF—FG=m,

VZ-ACB=90o,CA=CB,。为AB的中点，

・•.∆AOC=45°,

•・•BCI∣EF,

・・・∆ETC=90°,

CT=TG=m,

：,CE2=CT2+TE2=m2+(τn+3τn)2=17m2,

_17m2

"Sl=-'

.∙Λ=1Z.

S29，

综上所述，自的值为5或卷.

【解析Kl)连接BE，由NAeB=9(Γ,C4=CB,得NA=45°,根据线段CD绕点C逆时针旋转90。，

得到线段CE,有CD=CE,乙DCE=90°,可得△BCE^4ACD(SAS),从而BE=AD,∆A=乙CBE=

45。，知△BEF是等腰直角三角形，BE=-EF,故AD=，2EF;

(2)由乙4CB=90。，CA=CB,。为A8的中点，得/COB=90。，AB=CBC,证明ACEGZA

DCA(AAS),得CG=40,根据4。+8。=AB,即得CG+BD=SBC;

(3)由EF：BC=1：3,设EF=m,则BC=AC=3m,分两种情况：当。在线段AB上时，延长

AC交GF于K,由小CFGΔDCA,E=AC=3m,而四边形BCKF是矩形,有KF=BC=3m,

乙CKG=90。，根据勾股定理可得CE?=CK2+KE2=m2+(2m)2=5m2,故Sl=：CD∙CE=

lcf2=5^,s=^.=2^,即得当。在射线射上时，延长EG交AC于T,同

22'2ACBC2ɔzy

理可得3=V-

'2V

本题考查等腰直角三角形中的旋转问题，涉及三角形全等的判定于性质，矩形的判定与性质，三

角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用.

26.【答案】解：⑴T抛物线y=-1x2+b