人教版数学九年级下《第26章反比例函数》教案

第二十六章反比例函数

本/章/整/体/说/课

*教学目标

知识写技能.

1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念.

2.能用待定系数法求反比例函数的解析式.

3.会用描点法画反比例函数图象.

4.掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题.

5.理解反比例函数中比例系数%的几何意义.

6.能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义

和性质解决相关的实际问题.

■过程写方法1

1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间

的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.

2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特

殊到一般的数学方法.

3.通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数

学应用意识.

4.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

「情⅞⅜¾.⅛≡∏

2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的

方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.

3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法解决实际问题的

经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.

a教材分析

函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本

形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概

念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数

是一种简单而又重要的函数,作为重要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥

了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.

本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对反比例

函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出一般反比例函数的图象特征和性

质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安

排,力图加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数

形结合思想贯穿本章内容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体

把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限’解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数

的性质.

本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,以及函数图象的

间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数

与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.

«教学重难点

【重点】

L通过对实际问题情景的分析,确定反比例函数的解析式.

2.会用描点法画反比例函数图象,并能从图象中认识反比例函数的性质.

3.能用反比例函数性质解决简单的实际问题.

【难点】

L能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.

2.应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.

«教学建议

初中阶段从量变的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变化而变化.根据

学生的知识基础,一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础,另一方面要进一步深化对函数内涵的

理解和掌握.

反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数,因此,教学中要处理好新旧知识的联系,通过复习相关内容，

类比前边所学函数的内容结构和思路,为全章的学习做好铺垫,尽量减少学生接受新知识的困难.

在教学中,要重视反比例函数与已学函数,特别是与正比例函数的对比,教学时应引导从以下方面对比思

考:函数解析式与函数图象的异同、常数为对函数图象的分布、增减性、变化趋势等性质的影响、自变量X

的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.

渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及

待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.

«课时划分

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数（1课时）3课时

26.1.2反比例函数的图象和性质（2课时）

26.2实际问题与反比例函数2课时

单元概括整合1课时

课/时/教/学/详/案

26.1反比例函数

教学目标

嘤口识肯技能

1.了解反比例函数概念,能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式.

2.会画反比例函数图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质.

3.初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.

4.能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.

,过程一常

1.从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间

的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.

2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.

3.经历观察、分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进一步体会数学建模思想.

「情感态度写侨宿通*

2.让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能

自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.

3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强学生应用数学解决实际问题的意识.

C）教学重难点

【重点】

L理解反比例函数的概念.

2.画反比例函数图象,理解反比例函数的性质.

3.利用反比例函数的性质解决有关问题.

【难点】

1.理解反比例函数的意义.

2.通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.

3.灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.

26.1.1反比例函数

一整体设计

Q）教学目标

♦知识写技能.

1.理解并掌握反比例函数定义.

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.

,过程一常

1.让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.

2.用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结

能力.

3.经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.

τ

Γ情懿度与俗⅛则

L通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.

《教学重难点

【重点】

L理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.

2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【难点】

经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.

教学准备

【教师准备】多媒体课件1~7.

【学生准备】预习教材P1~3.

旧教学过程

fΓ新课导入

导入一：

【课件1】同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.

(1)如果速度V一定,那么路程S与时间f是什么关系？

(S=〃,是正比例函数)

(2)如果时间f一定,那么路程S与速度/又是什么关系呢？

(S=〃是正比例函数)

(3)如果路程s一定,那么速度V和时间f又是什么关系呢？

【思考】以上关系是函数吗？这个函数是不是我们前边学过的函数？

【导入语】问题(1)(2)中的函数是一次函数(正比例函数),(3)中的函数不是前边学过的函数,这类函数就

是本章要研究的反比例函数.

［设计意图］通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时

的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.

导入二：

【课件2］我们知道,导体中的电流/与导体的电阻/?、导体两端的电压〃之间满足关系式U=IR、当

U=22QV时：

(1)你能用含有/?的代数式表示/吗?

(2)利用写出的关系式完成下表:__________________________________________

RÆI20406080Ioo

1/A

当/?越来越大时,/怎样变化？当/?越来越小呢？

(3)变量/是/?的函数吗？为什么？

［设计意图］从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激

发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学

生从学科综合的角度进行学习.

导入三：

【复习提问】

(1)什么是函数？什么是一次函数、二次函数？

(2)一次函数、二次函数的学习过程是怎样的？

【课件3】出示以往研究函数的基本思路：

【师生活动】学生思考回答,教师点拨.

［设计意剧通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆

学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本

内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.

区新知构建

［过渡语］函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理解定义的基础上，

研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.

思路一

L感知反比例函数

【出示课件4】

(1)京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度«单位:km/h)随此次列车的全程运行时间4单位:h)

的变化而变化；

(2)某住宅小区要种植一块面积为IoOom2的矩形草坪,草坪的长乂单位：m)随宽X单位:m)的变化而变化;

(3)已知北京市的总面积为1∙68χ104km2,人均占有面积W单位*m24)随全市总人口。单位:人)的变化

而变化.

教师引导学生针对上面三个事例思考：

(1)每个事例中的两个变量是什么？

(2)当一个量变化时,另一个量陨着怎样变化？

(3)有几个值与变化的量相对应？这种变化说明变量之间是什么关系？

(4)题目中的等量关系是什么？如果是函数关系,其解析式是什么？

(5)所列出的函数关系式有什么特点？

［设计意图］通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解

析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备洞时激发学生学习的欲望，

实现了让学生感知反比例函数的目的.

【学生活动】独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数

解析式.

【参考答案】⑴Q(2)片⑶S=.

2.反比例函数的概念

［过渡语］刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来让我们一起研究这

类函数的特征吧.

观察前面的三个函数关系式,思考：

(1)这三个函数是一次函数或二次函数吗？

(2)这三个函数与前边学过的函数有什么不同？你能说出它们的共同特征吗？

(3)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗？

(4)你能给这类函数下一个定义吗？

【师生活动】学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.

教师引导学生从两个方面思考:与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是

整式还是分式;三个函数关系式中的《值有什么特点.

【总结(出示课件5)】

一般地,形如产(彳为常数,依0)的函数,叫做反比例函数,其中X是自变量/是函数.自变量X的取值范围是

不等于0的一切实数.

思考乂1)你身边哪些量之间存在着反比例函数关系？

(2)在反比例函数产中,*,x,y可以取任意实数吗？

(3)反比例函数片中,自变量X的指数是1吗？为什么？

(4)反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗？

【师生活动】学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数

概念的有关特点：

反比例函数片等号右边是分式形式.

反比例函数中,比例系数代0,自变量Λ≠0,函数值y*=0.

反比例函数的三种表示形式:片,λ∕=A;片XK.

［设计意图］通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反

比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.

思路二

L认识新的函数一反比例函数

【出示课件6】下列五个事例：

(1)某住宅小区要种植一块面积为IOoOm2的矩形草坪,草坪的长乂单位：m)与宽M单位:m)有何关系？

(2)物理学中电流Λ电阻R、电压〃之间满足关系式gR当Lf=220V时内与/有何关系？当属10Ω

时,/与"有何关系？

(3)京沪线铁路全程为1463km,某次列车的平均速度«单位:km/h)与此次列车的全程运行时间［单位:h)

有何关系？

(4)用IOm长的篱笆围成矩形的小花园.

①如果花园的长为ym,宽为xm,那么y与24)与全市总人口。单位:人)有何关系？

教师引导学生针对上面五个事例思考：

(1)每个事例中的两个变量是什么？

(2)当一个量变化时,另一个量随着怎样变化？这种变化说明变量之间是什么关系？

(3)题目中的等量关系是什么？如果是函数关系,其解析式是什么？

(4)所列出的函数关系式有什么特点？

［设计意图］问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学

生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学

生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.

【总结】经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.

⑴片.(2)R=;/=.(3)ι=.(4)①尸5-x.②尸5*λ2.(5)S=.

2.反比例函数的概念

［过渡语］刚才同学们列出了相关的7个函数关系式,接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧.

(1)反比例函数的一般形式

【出示课件7】思考下列问题：

【问题1】哪些是正比例函数、一次函数、二次函数？

【问题2］哪些函数与问题1中的函数不同？能给这类函数下定义吗？

【问题3］你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗？

【问题4】上述函数中的常数%分别是多少？

【问题提示】上述情景中给出七个函数,其中第一、二、三、四个及第七个函数不是以往学习过的函

数.通常情况下,我们用y表示函数,用A■表示常量,用X表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为

y=-

(2)理解反比例函数概念

【问题1】反比例函数的一般式片的等号右边是什么式子？

(提示:分式,其他的函数都是单项式或多项式)

【问题2】反比例函数产的比例系数久自变量X取值有什么要求？

(提示:都是不能为。的实数)

【问题3】反比例函数解析式还可以写成其他形式吗？

(提示:两个变量的乘积为定值;自变量X的指数为-1)

［设计意图］通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数学语言表达反比

例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围(实际问题中自变量取值有所不同),是否掌握判断反比例函数

的标准和方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.

3.例题讲解

［过渡语］我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.

例1下列函数:⑴尸⑵尸(3)尸(4)尸乂5)Ay=2;(6)产.其中是反比例函数的是(填序号),它们

的比例系数分别是

(解析)根据反比例函数概念进行判断,易得(1),(2),(4),(5)是反比例函数,其中4分别为5,0.4,,2.

【答案)(1)(2)(4)(5)5,0.4,,2

例2若片(32)乂卦3是反比例函数,则a的值为

【师生活动】学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.

(解析)根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:(1)常数性0;(2)自变量X的指数为-1.由

题意可得同-3=-1,且a2*0,解得a=-2.故填-2.

［设计意图］通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑这

一易错点.

眄≡1(教材例1)已知y是X的反比例函数,并且当Λ=2时,片6.

(1)写出y关于X的函数解析式；

(2)当x=4时,求y的值.

【师生活动】师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠

正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.

(解析)类比一次函数、二次函数求解析式的方法一待定系数法,设出函数解析式,将一对X/的值

代入,求出待定系数4.

解：(1)设所求函数解析式为y=.

因为当户2时,产6,所以有6=.

解得依12.因此所求函数解析式为产.

(2)把Λ=4代入尸得:

片=3.

［设计意图］通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析

式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用，

提高学生的归纳能力.

［知识拓展］(1)反比例函数产(件0)等号右边分式的分母不能是多项式,只能是X的一次单项式,如尸,尸

等都是反比例函数,但片中/就不是X的反比例函数.

(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成X产刈依0),尸质I(HO)的

形式.

叵课堂小结

L反比例函数定义:形如尸(4为常数,且依0)的函数叫做反比例函数.

2.反比例函数满足的条件：

(1)函数右边是分式形式；

(2)自变量的指数是-1;

(3)比例系数不为0.

3.反比例函数的三种表示形式:尸(Λ≠0);Ay=A(A*0);片AXI(A*0).

4.反比例函数自变量的取值范围:Λ≠0.

区检测反馈

L下列函数中,是反比例函数的是()

A.>=2Λ∙+1B.万0.75X

C.y=D.A>=1

解析:A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;C中函数右边分母不是X的单项式,所以A,B,C都不是

反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.

2.反比例函数>≈(∕77÷1)≠1B.∕TT≠-1

C.∕77≠+1D.全体实数

解析:在反比例函数产4+1*0,所以El故选B.

3.若函数尸的值是.

解析:根据反比例函数定义可得2n1=-1,解得“0.故填0.

4.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6h可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积为________；

(2)若每小时排水用Qm3)表示,则排水时间｛h)与Qm3)的函数解析式为.

解析:由题意可得等量关系为:单位时间内的排水量X排水时间=总排水量,所以蓄水池的容积为

8χ6=48(r∩3),故0*48,即t=.

答案:(1)48m3(2)t=

5.已知y与3x成反比例,且当Λ=1时,尸.

(1)写出y与X的函数解析式；

(2)当4时,求y的值；

(3)当产时,求X的直

解:(1)设y与X的函数解析式为尸,

把Λ=1,六代入,

得=,所以k=2,

所以y与X的函数解析式为差.

⑵当六时,尸2.

(3)当万时,=,

解得Λ=.

区板书设计

26.1.1反比例函数

思路一

L感知反比例函数

2反比例函数的概念

思路二

1.认识新的函数一反比例函数

2.反比例函数的概念

3.例题讲解

例1

例2

例3

J6布置作业

一、教材作业

【必做题】

教材第3页练习第1,2题.

【选做题】

教材第3页练习第3题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.下列函数中,不是反比例函数的是（）

A.片-B.尸

C.y=D.3A∕=2

2.下列反比例函数中,当Λ=2时,y的值为-3的是（）

A.y=B.y=-

C.y=-D.尸

3.若尸（尹1）是反比例函数,则a的值为（）

A.1B.-1C.±1D.任意实数

4.若一个矩形的面积为10,则这个矩形的长与宽之间的函数关系是（）

A.正比例函数关系B.反比例函数关系

C.一次函数关系D.不能确定

5.下列函数:①片2*1;②尸・;③∕=A2+8*2;④尸;⑤片;⑥片.其中y是X的反比例函数的有（填序

号）.

6.若反比例函数片,当λ=-1时,片2,则女的值是.

7.已知y是X的反比例函数,且当x=3时,片8,那么当A=4时,尸.

8.若梯形的下底长为X,上底长为下底长的,高为%面积为60,则y与X的函数解析式是(不考虑X

的取值范围).

9.分别写出下列函数的解析式,指出是哪种函数,并确定其自变量的取值范围.

(1)在路程为60km的运动中,速度«单位:km/h)关于运动时间《单位:h)的函数关系式；

(2)某校要在校园中开辟出一块面积为84m2的矩形土地做花圃,这个花圃的长M单位:m)关于宽M单位:m)

的函数关系式；

(3)市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石总量为106米3,某运输公司承办了该项工程运送土

石的任务,运输公司的平均工作量W单位:米3区)与完成运送任务所需要的时间《单位:天)之间的函数关系

式.

10.已知y与X的反比例函数解析式为y=.

(1)请完成下表：

X-3-113

y

(2)求当Λ=-10时函数y的值；

(3)求当y=6时自变量X的值.

【能力提升】

IL将六代入反比例函数尸-中,所得函数值记为九又将Λ=D+1代入原反比例函数中,所得函数值记为分

再将产”+1代入原反比例函数中,所得函数值记为外,…,如此继续下去,则尸.

12.已知一个长方体的体积是IOoCm3,它的长是ycm,宽是5Cm,高是XCm.

(1)写出用高表示长的解析式;(不用写出自变量取值范围)

(2)当产3时,求y的值.

【拓展探究】

13.已知片y+次》与万成正比例,次与X成反比例,且当六1时,尸3;当六-1时,尸1.求当片时y的值.

【答案与解析】

1.C(解析:A,B,D符合反比例函数定义,C函数中的分母不是关于X的单项式,所以不是反比例函数.故选C.)

2.B(解析:把x=2分别代入各选项求出y的值,只有B中y的值为-3.故选B.)

3.A(解析:根据反比例函数的定义彳导a2-2=-1,且a+1*0,解得a2=lH-1,.ιa=1.故选A.)

4.B(解析:题目中的等量关系为:长X宽=矩形面积,所以长X宽=10,即长等于10除以宽,所以长与宽是反比例

函数关系.故选B.)

5.②⑤(解析:①是一次函数,不是反比例函数;③尸总+8x-2是二次函数,不是反比例函数;④的分母中X的指

数是3,不是反比例函数;⑥片中,为0时,是反比例函数,没有此条件则不一定是反比例函数.只有②⑤符合反

比例函数定义.故填②⑤.)

6.-2(解析:把λ=-1,片2代入可得A=(-1)x2=2故填-2.)

7.6(解析:设产,把A=3,>=8代入得A=24,所以y与X之间的函数解析式为片,把Λ=4代入得尸6.故填6.)

8.%（解析:根据梯形的面积公式可得看60,化简得片.故填片.）

9.解:⑴%,是反比例函数,>0.⑵片,是反比例函数,Λ>0.（3）IA,是反比例函数Q0.

10.^:（1）-1-331⑵当片-10时,尸・.（3）当片6时,6二,解得六.

11.-（解析:把A=代入得y∣=-,KlJΛ≥=-+1=-,所以及=2,则H=2+1=3,所以a则M=-+1=,所以M=-…观察

/二%,所以三组一循环出现,除3余1,所以尸/=-.）

12.解:⑴尸.⑵当后3时,片.

13.解:设月二发府总二,则片y∣+"=∕rιM+.把片1,片3;片-1,片1代入得解得所以∕=2A2+.当A=时,尸2χ+2=.

旧教学反思

Q成功之处

本课时精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时的内容做了很好

的铺垫.

在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上

得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.

依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设

置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.

一不足之处

在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先

前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候,让学生自我学习和

交流做得不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处

理环节上,第一个例题可以让学生通过交流合作去完成.

一再教设计

因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补

充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调对知识的综合练习.在明确了反

比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比,这样更有利于学生对知识的掌

握.

O教材习题解答

练习（教材第3页）

L⑴*(2)h=⑶片

2.解:尸■,个123中的y是X的反比例函数.

3.解:(1)设函数解析式为片(A≠0),所以4=,A=36,所以函数解析式为片.⑵尸二16.⑶当片6时,6=,解得

一备课资源

QI重点突破

反比例函数与正比例函数的异同.

函数名称正比例函数反比例函数

一般形式%例4*0)片(A*0)

自变量X的取值

任意实数λ≠0

范围

函数y的取值范

任意实数>≠0

围

自变量X的次数1-1

函数y与自变量X

商为定值《价0)积为定值刈依0)

的数量关系

(专教学建议

(1)本节课要学习的内容是反比例函数的概念,通过具体实例中的变量关系的特征,感受反比例函数的特

征和意义,从而形成反比例函数的初步认识,本节课的重点是在实际问题中建立数学模型及用待定系数法求

函数解析式.教师引导学生分析实际问题,并用解析式表示实际问题中的等量关系,从而引出反比例函数的

概念,让学生获得用反比例函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解

并掌握本节课的重点,同时学生通过主动探究,获取了知识,丰富了数学活动的经验,逐步达到学会学习.

(2)对于九年级的学生来说,之前已经学习过一次函数和正比例函数、二次函数,对于函数是刻画变量之间

关系的数学模型思想也有了一定的认识,可以在此基础上用类比的方法继续深入学习反比例函数,所以在学

习本节课内容时,要重视新旧知识之间的联系,如适时复习函数、自变量、函数值、正比例函数、一次函数

及二次函数等有关概念,为学习反比例函数概念做好铺垫.

(勺经典例题

物园已知关于-3),〃为何值时,该函数为一次函数？

(2)当为何值时,该函数为正比例函数？

(3)当m,"为何值时,该函数为反比例函数？

解:(1)由题意可得

解得∕7=1,∕77≠,

所以当/7=1,/77*时该函数为一次函数.

(2)由题意可得

解得/7=1,/77=-1.

所以当/7=1,/77=-1时该函数为正比例函数.

(3)由题意可得

解得/7=3,/77=-3,∕77≠,

所以当/7=3,/77=-3时该函数为反比例函数.

26.1.2反比例函数的图象和性质

Q)教学目标

■知识'与技能L

L能用描点法画出反比例函数片的图象.

2.能根据图象理解和掌握反比例函数片的性质,并能灵活运用解决函数问题.

3.理解反比例函数中比例系数4依0)的几何意义.

4.初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系.

■过程写方制

L经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.

2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.

3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.

嘴⅞僦写侨面铲

1.经历观察、推理、交流等过程,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中的探索性和创

造性.

2.在数学学习过程中,进一步理解变量和常量间的辨证关系,培养严谨的科学态度,感受数学美,并发现学

习的乐趣.

Q教学重难点

【重点】

用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.

【难点】

探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数的几何意义.

第Hl课时

区L整体设计

,教学目标

知识与技i能

1.能用描点法画出反比例函数片的图象.

2.能根据图象理解和掌握反比例函数万的性质.

3.能运用反比例函数的性质解决有关问题.

・过程靠升

L经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程,获得研究函数性质的经验.

2.通过函数图象探究函数性质,进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质.

3.经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程,培养学生观察、探究、归纳及动手能力.

1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动,获得研究问题和合作交流的方法与经验,体验数学活动中

的探索性和创造性.

2.在数学学习过程中,体验与领悟数学发现的成功感,感受数学美,发现学习的乐趣.

G教学重难点

【重点】

用描点法画反比例函数的图象;探索反比例函数的图象特点和性质.

【难点】

探究反比例函数的图象特点和性质的过程.

（①」教学准备

【教师准备】多媒体课件1Y.

【学生准备】在练习本上画两个平面直角坐标系.

旧教学过程

回新课导入

导入一：

【课件1展示】

校园内有一块矩形草坪面积为200m2,它的长M单位：m）与宽）增加时,它的宽M单位：m）将怎样变化？

___

【师生活动】学生思考回答,并观察该反比例函数中V随X的增大而减小,教师引出课题.

［设计意图］由生活实际情景导入新课,让学生体会生活中处处有数学,激发学生学习兴趣,同时通过观察,

思考问题中长y与宽X之间的关系,很自然地由实际问题抽象出本课时学习重点之一的反比例函数图象的

增减性.

导入二：

【复习提问】

(1)以前学习一次函数、二次函数时,是用什么思路和方法研究的？

(先根据函数解析式画出函数的图象,然后观察、分析、归纳得到函数的性质)

(2)一次函数、二次函数的图象分别是什么？

(直线、抛物线)

(3)请你说出一次函数、二次函数的性质是什么.

(一次函数增减性、图象所经过象限;二次函数图象开口方向、对称轴、增减性等)

(4)画函数图象的基本步骤是什么？

(列表、描点、连线)

【导入语】我们可以类比研究一次函数、二次函数性质的方法来研究反比例函数的性质,如果可以,应

先研究什么？

［设计意图］通过复习画函数图象的基本步骤,为本节课的学习做好铺垫,复习通过画函数图象来研究一

次函数、二次函数性质的方法,让学生用类比的方法自然地构建出新知识,降低本节课的学习难度.

g新知构建

［过渡语］这节课我们通过画反比例函数的图象来研究它的一般性质.

一、描点法画反比例函数图象

画函数片与片的图象.

思路一

教师引导,师生共同完成,同时展示画图象的过程.

(1)自变量X的取值范围是什么？函数值y的取值范围是什么？

(2)画函数图象时取哪些X的值列表,使函数图象完整、准确？

(师生共同完成列表)

(3)在平面直角坐标系中描点.

(4)如何用平滑的曲线连接各点？

(5)从左到右连线时,图象与X轴、y轴有没有交点？为什么？

教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接,由自变量X、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴

没有交点,故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同,坐标轴把图象分成两部分.

［设计意图］通过师生合作,经历用描点法画函数图象的过程,培养学生动手操作能力,理解描点法画函数

图象的本质,经历知识的形成,进一步体会数形结合思想,通过课件展示画图的过程,直观形象,学生既感兴趣

又记忆深刻.

思路二

【任务】同桌合作,每人在课前准备的平面直角坐标系中画一个函数图象.

【师生活动】学生独立完成列表、描点、连线,画图后,小组合作交流,发现组内成员的画图错误,并帮助

改正,教师在巡视过程中及时发现常见典型错误,进行汇总,在展示完整画图过程后展示典型画图错误.

【课件2展示】

(1)列表:在X的取值范围内列出函数对应值表：

(教师强调:列表时取值不能太少,也不能只取正值)

...-6-4-3-2-112346

...-1-1.5-2-3-66321.51

...-2-3-4-6-12126432

(2)描点.(教师强调:描点时横、纵坐标易混淆)

(3)连线.(教师强调:连线时用平滑曲线,不能画成折线,因为自变量X不等于0,所以画函数图象时,不能将左

右两个图象连接起来)

［设计意图］通过动手操作,让学生自己经历画反比例函数图象的过程,进一步了解用描点法的方法画图

象的基本步骤,培养学生动手操作能力,经历知识的形成过程.通过小组合作交流,培养学生合作精神,在讨论

画图结果时互相纠错的过程中,加深了学生对画函数图象的理解和认识.

二、反比例函数y=(Q0)的性质

［过渡语］通过函数图象可以得到函数的有关性质,让我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧！

思路一

观察教材图26.1-2的函数图象,学生在教师的引导下思考回答：

(1)你能描述反比例函数图象的形状吗？

(教师给出双曲线定义)

(2)反比例函数图象无限延伸后与X轴、y轴有公共点吗？与函数解析式之间有什么关系？

(因为自变量X、函数值y不能等于0,所以函数图象与X轴、y轴没有交点)

(3)函数图象在哪个象限内？该图象关于原点。对称吗？

(在第一、第三象限,关于原点。对称)

(4)观察函数图象,当Λ<0时,随着X的增大J如何变化？当Λ>0时呢?你能根据函数解析式说明理由吗？

(当Λ<0时,随着X的增大/减小;当A>0时,随着>0),以上结论还成立吗？

【师生活动】学生在教师设计的问题下边思考边回答,教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思

考解决问题,对回答有困难的问题,教师要给学生足够的时间思考、交流.

［设计意图］将探究函数的性质设计成问题的形式,使学生在探究过程中有方向和目的,降低学习新知识

的难度,同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法.

【共同总结(课件3展示)】

(1)反比例函数片(QO)的图象是双曲线；

(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；

(3)在每个象限内,y随着X的增大而减小；

(4)两支双曲线向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；

(5)两支双曲线关于坐标原点成中心对称.

思路二

类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法,根据所列表格、函数解析式、所画函数图象,你能得

到哪些结论？看看哪个小组得到的正确结论最多.

【师生活动】学生观察函数图象后先独立思考,再小组合作交流,然后学生展示,教师在巡视过程中及时

帮助有困难的学生,发现学生思考片面时,可以及时提醒学生从图象形状、增减性、对称性等多个角度观察

思考,学生展示后,教师点评,师生共同归纳函数的性质.

【共同总结】(板书)

(1)反比例函数产(QO)的图象是双曲线；

(2)双曲线的两支分别位于第一、第三象限；

(3)在每个象限内,y随着X的增大而减小；

(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；

(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.

［设计意图］通过小组合作交流,归纳反比例函数的性质,学生之间的合作交流,培养了学生合作精神,同时

提高分析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结,让学生体会数学中重要的学习方法——

类比法,同时进一步体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一.

三、反比例函数y=(Z<O)的图象与性质

【导入语】回顾以上探究过程,你能用同样的方法探究函数产(依0)的图象与性质吗？

【师生活动】学生在刚才的平面直角坐标系中画函数片-与尸-的图象.观察函数图象,小组合作交流，

归纳反比例函数片(依0)的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生,引导学生归纳反比例函数的性质.

【共同归纳】(1)反比例函数片(A<0)的图象是双曲线；

(2)双曲线的两支分别位于第二、第四象限；

(3)在每个象限内/随着X的增大而增大；

(4)双曲线两支向两边无限延伸,与坐标轴没有交点；

(5)双曲线两支关于坐标原点成中心对称.

四、归纳反比例函数片(依0)的图象与性质

【课件4展示】

一般地,反比例函数片(HO)的图象是双曲线,它具有以下性质：

(1)当A>0时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,在每个象限内,y随X的增大而减小；

(2)当k<0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限,在每个象限内/随X的增大而增大；

(3)反比例函数图象向两边无限延伸,与两坐标轴没有交点,两支双曲线关于原点成中心对称.

【追加思考】

(1)反比例函数图象的位值及函数的增减性是由谁决定的？

(2)反比例函数的性质“在每个象限内/随X的增大而减小”中,可不可以去掉“在每个象限内”？为什么？

［设计意图］通过归纳反比例函数的性质,培养学生的归纳总结能力,追加问题的思考,强化学生对性质的

理解和掌握,并强化应用性质时的易错点.

五、例题讲解

网I反比例函数片的图象大致是()

(解析)(1)反比例函数解析式尸(依0)中,哪个量决定函数图象的位置？(比例系数k决定函数图象的位

置)⑵已知函数尸中,用哪个代数式表示比例系数A7(A2+1表示比例系数K决定函数图象的位置)(3)你能判

断乃+1的正负吗？(因为A⅛0,所以乃+1>0)(4)你能确定函数图象的位置吗？(由M+1>0得函数图象在第一、

三象限)(5)自变量X的取值范围是什么？(自变量X的取值范围是淤0)故选D.

胆❷若点(-2/),(-1,闹,(1M在反比例函数片的图象上,则下列结论中正确的是()

A.y∣>>5>yjB.yi>yt>y3

C.yi>yrι>yiD.y3,>y2>y↑

〔解析)(1)已知三点的横、纵坐标分别是什么？(2)函数值/,H,/与已知点的横坐标有什么关系？(点

的横坐标和纵坐标满足函数解析式乂3)已知函数解析式和自变量的值,怎样求出对应的函数值？(把点的横

坐标代入函数解析式求出对应的函数值)(4)你能分别求出的值吗？三者的大小关系是什么？(把

XI=-2,Λ≥=-1,Λ3=1分别代入函数解析式求出yι",ys)(5)反比例函数产的图象及增减性是怎样的？(反比例函

数的图象在第一、三象限,在每个象限内y随X的增大而减小)(6)你能根据函数增减性判断/S,人的大小

关系吗？(第三象限图象上的点的纵坐标小于0,且JZ随X的增大而减小;第一象限图象上的点的纵坐标大于

0)

【师生活动】学生独立思考,并回答问题,教师及时点评,然后归纳两种比较函数值大小的方法.

解法1:把三个点的横坐标分别代入尸，

得yι=-,y2=-1,ys=1,..y3>y↑>y2.故选C.

解法2：可以看出点(-2/),(-1,兑)在同一象限，

∙.∙A=1>0;在每个象限向,y随X的增大而减小，

∙,∙-2<-1<0,.∙.>⅛<yι<0,

X∙.∙1>O,.∙.>⅛>O,.∙.j⅛>y∣>>⅛.故选C.

［设计意图］通过例题加深学生对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,体会运用数形结合思想解决

函数问题的方法和技巧,提高学生分析问题、解决问题的能力.例2中用不同思路解决问题,培养学生多角度

思考问题的能力.

［知识拓展］(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两支,它的两个分支是断开的.

(2)当QO时,双曲线的两支分别位于第一、第三象限;当依0时,双曲线的两支分别位于第二、第四象限.

(3)反比例函数片(介0)的图象的两个分支关于原点成中心对称.

(4)反比例函数的图象与X轴、y轴都没有交点,双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远不与坐标轴相

交,这是因为λ≠0,y≠0.

(5)反比例函数图象的位置和函数的增减性都是由比例系数4的符号决定的,反过来,由双曲线的位置或函

数的增减性可以判断4的符号.

(6)反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”,当A>0时,在每一个象限内/随着X的增大而减小，

但不能笼统地说:当/oθ时/随着X的增大而减小.同样,当k<0时,在每一个象限内,y随着X的增大而增大,

也不能笼统地说:当A∙<0时,y随着X的增大而增大.

鼠课堂小结

正比例函数与反比例函数的区别与联系.

函数正比例函数反比例函数

关系式片例Λ≠0)片(A≠0)

与坐标轴没有交点的双曲

图象过原点的直线

线

自变量的

全体实数Λ≠0的全体实数

取值范围

当QO时,图象经过第一、当QO时,图象位于第一、

第三象限第三象限

图象位置

当依0时,图象经过第二、当"0时,图象位于第二、

第四象限第四象限

当A>0时/随X的增大而当A>0时,在每一象限内/

增大随X的增大而减小

性质

当收0时/随X的增大而当A<0时,在每一象限内J

减小随X的增大而增大

巨丝测反馈

L当λ>0时,函数尸■的图象在()

A.第四象限B.第三象限

C.第二象限D.第一象限

解析:•••反比例函数片■中,A=-5<0,∙∙∙此函数的图象位于第二、四象限,当Λ>0时,函数的图象位于第四象限.

故选A.

2.对于反比例函数片,下列说法正确的是()

A.图象经过点(1,・3)

B.图象在第二、四象限

C.λ>0时,y随X的增大而增大

D.A<0时J随X的增大而减小

解析:.•反比例函数片,∙∙RU3,故图象经过点(1,3),故A错误;∙.A>0,∙∙∙图象在第一、三象限,故B错

误;∙∙∙A>O,.∙∙Λ>O时/随X的增大而减小,故C错误;∙∙∙A>O,∙∙∙A<O时,y随X的增大而减小,故D正确.故选D.

3.反比例函数尸的图象如图所示,以下结论：

①常数∕n<-1;

②在每个象限内,y随X的增大而增大；

③若力(1/7),筑2,用在图象上,则Kk,

④若Hx,勿在图象上,贝!19卜x,-勿也在图象上.

其中正确的是()

A.①②B.②③C.③④D.①④

解析:由图象在第一、三象限可得m>0,所以①错误;观察图象可得,在每个象限内,y随X的增