山东省烟台市牟平区某校2023-2024学年高三年级上册限时练习（开学考试）数学试题

21级高三限时练习(2023)若振幅是2,图象上相邻最高点和最低点的距离是5,且过点(1,2),则3和φ的值分别

为()

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.只有一项是符合题目要求的.

A.π,—B.2^,—C.π,-2LD.2π,∙JL

1.设集合A=WX2+3x-4>0},β={x∈Z∣0<∣x∣≤2},则(CRA)HB=()

6363

A.{-l,1}B.{-2,-1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,1,2}7.已知定义在R上的函数/(x)满足f(l・x)=∕(l+x),且fCr-D是偶函数，当IWX

2.已知复数Z=CoSθ+isinθG为虚数单位)，贝I」()≤3时，f(χ)=2*4，贝∣J∕(log240)=()

A.∣zI=√2B.?=1C.z∙W=lD.Zd为纯虚数

A.ɪB・9C.-ɪlD.3

z

244

3.设等比数列{“〃}的公比为外则“q>l”是"数列SQ为递增数列”的()

8.如图，某几何体由两个相同的圆锥组成，且这两个圆锥有一个共同的底面，若该几何体的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

表面积为12π,体积为V,则W的最大值为()

4.已知向量Z=(2,1)，fe=(2,-2)，向量W在向量E上的投影向量的坐标为()O

ʌ-(2,-2)B.(1,-ɪ)C.(|,|)D.(喙，哆)

2

A∙64产兀2B.20Λ∕3π2C.56J§兀2D.24√3K

5.八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形

二、多项选择题：

ABCDEFGH设其边长为。，中心为。，则下列选项中不正确的是()

f9.已知函数/(x)=sinx-cosx,贝!)()

A.f(X)的最小正周期为IrB.f(X)在［0,今］上单调递增

C.直线X=工是/(x)图象的一条对称轴

4

ʌ-AB*AC=AB∙ADB∙OA*OB+OC*OF=OD.f(X)的图象可由y=Msinx的图象向左平移四个单位长度得到

4

c.而和正是一对相反向量D.IAB-BC+CD+EF-FGI=a10.已知定义在R上的奇函数f(x),V.r,J∈(0,+∞),f(xy)=/(x)+f(ʃ),且当x

6.阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.深圳一高楼平安金>1时，/(x)>0,贝Il()

融中心的阻尼器减震装置，是亚洲最大的阻尼器，被称为“镇楼神器”，由物理学知识可A./(1)=0B./(x)有2个零点

知，某阻尼器模型的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移$(单位；CM)和C./(x)在(-8,0)上为减函数D.不等式A∕(χ-1)Vo的解集是(1,2)

时间〃单位：。的函数关系式为S=ASinC∣∙3t+0)(A>0,ω>0,Iφ11.已知aABC中，内角4,B,C所对的边分别为α,b,c,且c=√7δ,bcosC+ccosB=2,

若点P是边BC上一点，。是AC的中点，点O是aABC所在平面内一点，四.解答题(共6小题)

分)已知在中，角B所对的边分别为b且二,

OA+2OB+3OC=O.则下列说法正确的是()17.(10aAbCA,fCG,tc,。+b

a+ba+c

A.若(标+正)•皮=0,则IAB+ACI=6(1)求角A的大小(2)若A。平分NBAC并交BC于O,且Ao=2,。=3,求AABC的面积.

B.若而在正方向上的投影向量为无，则IPQI的最小值为H18.(12分)在Z∖ABC中，角A,B,C的对边分别是”,*,c,满足B吟，a=3,瓦.前=9，

4

过B作BDJ_AC于点。，点E为线段B。的中点.(1)求c；(2)求就.就的值.

C.若点P为BC的中点，≡2OP+OQ=O

19.(12分)设数列｛α,,｝的前"项和为S,,,已知。1,an,S”成等差数列，且α4=S3+2.

D.若(-p翳,祕=0,则方,(福+菽)为定值18

(1)求｛ɑ,,｝的通项公式；(2)若b=---------------------------------,｛M｝的前"项和为Tn,若对

loa

nl082a2n∣∙Γ822ttl-3

12.已知函数/(X)=Cosx-cos3x,贝U()

任意正整数"，不等式T"<λ恒成立，求入的最小值.

A./(x)的图象关于y轴对称B./(x)的值域是［-2,2］

20.(12分)如图，在正四棱柱ABCD-AlBIC中，AB=2,点E在CCl上，B.CE=IECi

c.f(χ)在［0,二］上单调递增D./ω在io,E上的所有零点之和为22L

62=2.(1)若平面4BE与DICl相交于点F,求。1F；(2)求二面角4-BE-4夹角余

三.填空题(共4小题)

弦值.

13,向量；=(ι,正)，IElm,∣Z+2^∣=2√^W与三夹角的大

为.

14.已知α>8>l,若log/+IOgfra=22∙,ab=ha,贝!∣α+力=_______________.

3

,

15.已知函数f(x)=sin2x+/(2L.)cosx,则/.21.(12分)己知函数/(X)=包-x+α∕"x存在两个极值点Xi,X2.

X

16.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.如图，莱洛(1)求Q的取值范围；(2)求/(xι)t/(T2)-30的最小值.

三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的.已知AB=

22.(12分)函数/(x)=lnχtg(X)=—,其中α>0.(1)若h(x)=/(x)+g(x)在(0,

X

2,点P为窟上一点，则而.(而+而)的最小值为.

+°o)上有两个不同零点，求。的取值范围.(2)若F(x)=——~~ɪ........-(x)在

g(sin(χ-l))

(0,1)上单调递减，求。的取值范围.(3)证明：£sin-^-<ln(n+l)>小依N*.

k=lk+1

2nxlog40-4

(优秀班级)设函数/(x)=-×-+αx-2axtg(x)=^+2ax+-fα∈R.时，f(x)=2'J,则/Qθg240)=n2+-l.=-19.+-l=Al..故选：C.

XγX

eXe工W/4/41644

(1)讨论/Cr)的单调性；(2)若Q∈L1,0),求证：g(x)V4«+3.8.【解答】解：设其中一个圆锥的底面半径为r,高为h,则2兀Γ√r2+h2=12n,则"=专

T

-r2>0,解得Γ2∈(0»6),.∙,V=2X工兀Jh，^2=-^-π2r4(-^∣--r2)=

21级高三限时练习答案39r

226jr3

AjT(36r-r)令±=⅛(。，6),设2=/(力=Aπ2(36L∕),

ɪ.C.2.C.3.D99

则/'(z)=-⅛-π2(36-3t2),若'6(°，2«),f(力>0,若怎(2Λ∕3>6),f,

4.【解答】则Ia∣∙cosG,b>∙-⅛-=⅛γ--⅛-=-^-∙b=(ɪ.^4^)∙β∙

9

∣b∣∣b∣∣b∣8222

(t)<0,Λ∕(∕)max=f(2√3)=四应π,.∙.U的最大值为丝巨兀2.故选：A.

5.【解答】解：A项，由于NABC=NBCD=I35°,明显有ABj_CD,33

gffɪŋ;9.__B___C__.____1___0___._【__解____答___】___解____：___在____八____孙____)="x)∙√(y)中，令x=y=l,得/(1)=/⑴4/(1),

ʌʃ(l)=0,故A正确；又/(x)为K上的奇函数，/(-1)=0,/(O)=0,Λ∕(x)至少

故屈,正-直■标=∑5∙"56=O'A正确；'i'8项，0A,0B+0C,OF=0A,0B+0A,OD

有三个零点，故5错误；设XI,X2∈(0,+∞),且XlVX2,则上>>1，f(―)>0»

=0A∙(OB+OD)=0.B正确；C项，函和谢方向相反，但长度不等，因此不是一对相xlxI

X?XoXo,

反C错误；D,VAB+EF=O>正+而=6二I屈-前+55+而-而I=I而l=a,。正

f(x1)-f(x2)=f(xɪ)-f(----∙X])=f(X[)-[f(----)+f(X1)]=-f(----)<0,

xlxlx1

确.C.

If(Xi)<∕(X2),/(x)在(0,+8)上是增函数，由于/(X)为奇函数，・・・/(x)在(・

6.【解答】A解：由题意可知A=2,2(1)2=2,贝”=6,由，^/兀=兀，

4+5上也是增函数，故错误；由题意，画出的图象如图，

23638,0)C/(X-D

解得ω=π,所以：s=2sin(卷t+中)，由于2sin(2+中)=2,得Qd~+2k兀，

336

(Jtez)；

因为I¢I<A,所以φJL.故选：A.

26

11.【解答］解：如图，设BC的中点为E,连接。E,∙∙“cosC+ccos3=2,由余弦定理可得:

7.【解答】解：/(x)的图象关于X=-I对称，f(-2+x)=∕(-χ),由/(1-/=∕(l+x)

∙∙.∙^-=2,・・・。=2,又α+2布+3羽=0，・•・

可得ʃ(x)关于x=l对称，f(2+x)=/(-χ),则/(-2+x)=/(2+x),所以/(x)

=/(x+4),函数f(X)周期为4.因为5Vlog240V6,则有IVIog240-4V2,当IWXW30A+0C=-2(≡+0C)，ʌ20Q=-2×(2≡)，,羽=-2万，对A选项，V

当Xe［0,3］时，t=cosxC廖∙，1］∙因为，=CoSX在［0,3〕上单调递减，且g

(AB+AC)∙≡=0-ʌ2AE∙BC=O-：.AELliC,又E为中点，ΛBE=IBC=Aa=1,又

620

ω在［善，1］上单调递减，所以/(*)在［0,看］上单调递增，故C正确；对于。：

AB=C=I5，AEWAB2-BE2=Λ∕IO-I.=3,,IAB+ACI=12AEI=6,故A选项正确；

即或；・工=或

对B选项，∙.∙^5⅛混方向上的投影向量为混，.∙.ABLBC,又Q是AC的中点，P在BC/(x)=2sin2xsinx=0,sin2x=0SinX=0.V0≤x≤π,Λ0≤2x≤2π,0ηf=2L

2

上，；.当PQ_LBC时，PQ最小，此时PQ=/ABqφ-,故B选项错误；对C选项，若点或x=n,则f(x)在［0,n］上的所有零点之和为"，故O正确，故选：ACD.

2

P为BC的中点，即P与E点重合，：5=-2m，二员=-2而，二2而+员=6，故C选13.?£_.14.【解答］解：设，=IOg力。，由0>b>l知代入IOga力+Io助α=什工=22,

4t3

即出2-10什3=0,解得1=3或£=』(舍去)，所以IogWr=3,即。=63,因为/=犷，所

项正确；对。选项，(的平分线与垂直,

VIABI+p∙BC=O>:NBAcBc3

以护"=〃，则α=3A=/,解得力=«,。=3瓜,则。+6=4«,

.∙.A48C是以BC为底边的等腰三角形，.'AELBC,又由4选项分析知4E=3,

15.【解答】解尸(x)=2cos2x-f,(-ZL-)sinx,当x=_2L时，f,(-2L)=2cosπ-f'(-2L.)

二根据向量数量积的几何意义知而.标=I彘|2=9,.•.而.(标+正)=AP∙(2AE)=2222

sin∙2L∙,得，(-2L)=-1,.*./(x)=sin2x-cosx,∙.f(-2L)=^l-->="，一1,

223222

16.【解答］解：如图，取BC边的中点E,连接PE,PAf再取AE的中点尸，连接尸凡

2AP∙AE=2×9=18,故"选项正确.故选：ACD.

则说+同=2而，・•・踵•(而+记)=2PE∙PA，根据向量数量积的极化恒等式可得:

12.【解答］解：对于A：f(x)=Cosx-cos3x,则/(■工)=cos(-x)-COS(-3x)=COSΛ*

-cos3x,.∖∕(-x)=/(x),即/(x)是偶函数，故/(X)的图象关于y轴对称，故A正2PEφTk=2(PF2-EF2),又根据题意易得EF=-^E=年连接Cr交AB于点0

确；V/(x)=COSX-COS3x=Cos(2χ-χ)-cos(2x+x)=2sin2xsinx=4sin2xcosx=4cosx

则P与Q重合时，PF取得最小值，且PF取得最小值QF=QC-FC=I-^14Λ=2

(1-cos2x)=-4cos∖+4cosx.令∕=cosx∈［-1,1］,则y=g(0=-4户+4t,则g'(力=

2

-12r+4=-4(3?-1).由3Yr)>O得有∙<∙t<哼，由g'")<0得-l(t<岑■

2_

,222

或1<t<ι∙则gω在［-1,Jl)和(返_,1］上单调递减，在(Nɪ,返■)上ʌ2WPA=2(PF-EF2)^I-⅛=lθ-4V7∙故答案为：10∙^W7∙

33333

单调递增，又g(-1)=g(I)=0,g(萼_)=制茎，g《)=i醇，Λ

g(t)∈［且叵，封1］，即/(x)的值域是［也应，宜应］,故B错误；对于C:

9999

17.【解答】解：(1)因一£_口，则C(α+C)+*(«+Z>)=(α+c)(«+6),整理得:

a+ba+c

222

222

b+c-a=hcf在AABC中，由余弦定理得：COSA二0十。一2ɪɪ,而OVAV五，所以二1_________二1二1(11),

2bc2nlo§2a2rH-l^°δ2a2∏+∙3(2n+l)(2n+3)22n+l2n+3

π

A=----»

3

故T一L++)=工(工^---1—)〈」■,当λ>L时，不等

JT,一%2匕5572n+l2n+372匕2n+3;6ɜ

(2)NBAD=NCAD=——，而A。=2,有SΔBAD+S△CAD=S△ABC>即

6式T〃V入恒成立，故人.hL

ɪetADsι∏2^BAD÷~b*ADsi∏Z^CADz~~hrgιn√zRAC贝Umɪn6

20.【解答】解：(1)在正四棱柱AbCo-AIBIGOI中，连接OIaEFt如图所示：

csin^τ-+bsi∏^？-=⅛^bcsin~5",整理得：b+c=^3^-bc,又。=3,由(1)知，Cb+c)y-

平面AIbE与OICl相交于点尸，CE=2ECι=2t则010=3,CiE=-I-CiC,VDιC∕7AιB,

3

-α2=3bc,即有ɪ(be)2-3bc-9=0,而加>0，解得be=6,

：.EF//D\C建立以D为原点，以DA.

4tΛCIF=ACIDI=XDIF=-2CIDI=A;(2)

3333

SZUBC=^bcsinZBAC=^∙×6×^=3^•

DC.ODl所在直线分别为X轴、y轴、Z轴的空间直角坐标系。-盯z,如图所示：AS=2,

18.【解答】解：(1)Vβ≈∙^->。=3,.Bd=9,'ɑeeosg=3cX.=9,∙*∙c=6.且CE=2ECι=2,贝!]D(O,O,0)，B(2,2,O),E(0,2,2),A(2,O,0)，Ai

(2,0,3)，

(2)Vα=3,c=6,n=2L,Λ⅛2=O2+C2-2accosβ=9+36-2×3×6×-l=27,:・b=

32则筋=(0,2,0),BE=(-2,0,2),不=(0,2,-3),

3√3,

工∙g=2y=0,取X=],则k0,z

∙.∙S∆AbC=LcsinB=Lx3X6X返=会应，.∙.BO=纪MSJ=冽@=3,丁点E为线设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,N),则

2222AC3√3n∙BE=-2x+2z=0

λ,=L・・・平面AbE的一个法向量为：=(1,0,1),设平面的一个法向量为：=Cr,

段BD的中点，ΛBE=It:BDLACt..BE-DA=O,VEA=S+DA=≡+DA，ʌ

2

2n∙BE=-2x+2z=0→

丽.证=BE・(BE+DA)=BE=-∣∙∙HZ),贝心——,,・•・平面BEAI的一个法向量为Ir=(2,3,2),Λ∣cos<

n∙AιB=2y-3z=0

19.【解答】解：(DΛ4=S3+2.所以2a〃=ai+S〃，①，当〃》2时，2a〃-i=ai+S〃.1,②，

=4=2α,故二面角A-BE-Ai的余弦值为2圾.

Iml-Inl√2×√171717

①-②得：2an-2aιt.ι=anf整理得。“=2斯」故3-γ(常数)，所以数列｛斯｝是以内

an-l

为首项，2为公比的等比数列；且满足G4=S3+2,故a]•23=a]+2a]+4a]+2，解得m=

2故a=2rl.(2)(1)得：

dn乙

+8).(3)证明：由(2)知Q=I时，F(x)=sin(X-I)-lnx>F(1)=0,

21.【解答】解：/(χ)定义域为(O,+8),(χ)=-¾-ι+l=r+:XF,令g(jc)

2λV2f

XX所以sin(X-1)>Inxf即Sin(I-X)<Irr^ɪθ(°，1)，取X='得:sin(1-k)

Xk+1k+1

△二a2-4a〉O

nl

=sin—-<InK4I-,所以sinA+sinɪ+.......+sin<ln2+↑rr？-+........+lιι^^ɪ=

2

="x+αx-α,Λ<x1+x2=a>0,解得：«>4,,实数α的取值范围为(4,+∞).k+1k23n+12n

X]x2=a>0/"2∙旦福•…Hɪ=/"Cn+l)，即fSirr-L<In(n+1)，"，蛇N*成立，故结论成

(2)由(1)知：ɑ>4,Xi,X2是g(κ)=O的两根，贝!)xι+xι=JnX2=a,23nk=1k+1

aa(x+x)立.

-12

f(x1)+f(x9)^3a=~^-χaxX)—3a=a]ɪɪa—3a

1+alnxɪ+------x+al∏X2^ɜ-----(--x--1--+--x--2-)-+alιι(

NXɪx212x1x2I*解答】‘解：(l)∕(x)的定义域为R,，(X)=上三+2。*-2。=(I-X)(」--%),

XX

ee

2,

,令A(α)~alna-3a(a>4),则A'(α)=Ina-2,.二当α∈(4,e)时，h(«)<对a分类讨论：(Z)当αW0时，ɪ-2«>0,当(-8,D时，f(χ)>0,/(X)在

X

2,2e

0,当aE(ef+8)时，h(0)>0,：.h(«)在(4,e)上单调递减，在(/,+∞)

(-8,1)上单增，当χ∈(1,+∞)时，f(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减.

上单调递增，・・・h(a)mm=h(e2)=2e2-3e2=-e2,即/(★)V(X2)-3°的最小值为