2023年高考数学之平面向量突破八 平面向量的极化恒等式含解析

2023年高考数学之平面向量专题突破专题八平面向量的极化恒等

式

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

的几何属性，让"秒杀向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几

何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.对于不共起点和不共终点的问题可通过平

移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决.

1.极化恒等式：«•⅛=∣[(α+⅛)2—(α—⅛)2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与"差对角线''平方

差的去

2.平行四边形模式：如图(1),平行四边形ABC。，。是对角线交点.则：(I)Λ¾∙Λ^=∣[∣ΛCp-IBDpJ.

3.三角形模式：如图(2),在BC中，设。为BC的中点，则/=HDF-IBOF.

三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.

记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

考点一平面向量数量积的定值问题

【方法总结】

利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.

积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移

转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决.在运用极化恒等式求数量

积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长

度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值.

【例题选讲】

[例1]⑴(2014・全国∏)设向量4,ft⅛⅛∣β+*∣=√iδ,Iα-⅛∣=√6,则。/=()

A.1B.2C.3D.5

答案A解析通法由条件可得，(α+A)2=10,(a—6)2=6,两式相减得4a∙b=4,所以a∙6=l.

极化恒等式a-Ka+O/—(a-6月=[(10—6)=1.

(2)(2012•浙江)在BC中，M是BC的中点，AM=3,BC=IO,则矣•〃=.

答案T6解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：显•证=HMF一加C"-/<100=一

16.

(3)如图所示，AB是圆。的直径，P是AB上的点，M,N是直径AB上关于点。对称的两点，且AB

=6,MN=4,则可T丽=()

A.13B.7C.5D.3

答案C解析连接AP,BP,则丽=或+磁,丽=彷+的=动一3宓,所以回。瓦=（无+A⅛∙（动

-AM）=RA-AM+AM-PB-∖AM∖1=-PA-AM+AM-PB-∖AM∖2=AMAB-∖AM∖2=∖×6-1=5.

（4）如图，在平行四边形ABC。中，AB=I,AD=2,⅛E,F,G,”分别是A8,BC,CD,A。边上

的中点，则球总+可/.泽=.

答案W解析连结EG,FH,交于点0,则昉用=阱前=反＞2一亦=Le）=1，Gh，H^=

曲流'=反）2一亦=i一G）岩，因此阱科+而迸：=|.

（5）（2016∙江苏）如图，在AABC中，。是BC的中点，E,尸是4。上的两个三等分点.BACA=4,BPCP

=—1,则盛•国的值为.

A

/E∖

7

答案

-解析

8极化恒等式法设8。=拉C=m，AE=EF=FD=n,则Ao=3〃.根据向量的极化恒

222222

等式，有融祀=Xt)—加2=9层—ZΠ2=4,F^∙Ft=Fb-D^=n-fn=-1.联立解得层=£,∕n=⅛^.因

OO

77

此乃∙Et=Eb2-Dh1=4n2-m2=Q.即B⅛∙&：=[.

OO

坐标法以直线BC为X轴,过点D且垂直于BC的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xoy,

如图：设A(3α,3b)9B(—c,0),C(~c,0),则有E(2a,2b),Fg,b)Bλcλ=(3a+c93b)∙(3a-c93b)

222222222

=9a-c+9⅛=4融•彷=(α+c,b)∙(a-c,b)=a-c+b=~i,则a+b=^fcBick=

OO

ɪ,因此宓=∣,就=M曲法=(的—函用虎於=!6市:呢鼻

(6)在梯形ABC。中，满足4O〃8C,AD=I,BC=3,通快=2,则/■质的值为

答案4解析过A点作AE平行于。C,交BC于E,取BE中点F,连接AF,过。点作Z)H平行

UUUIlUuIUUUUUIlIlUU

于AC,交BC延长线于H,E为BH中点,连接CE,ABDC=ABAE=AF2-BF2=AF2-}=2,AC-

ULaUULlUUUU

BD=-DB∙DH=BE?-DE?=4-DE?,又FE=BE-BF=I,AD//BC,则四边形AQEF为平行四边形，

UUtlULiD

AF=DE,:.ACBD=∖.

【对点训练】

1.已知正方形ABC。的边长为1,点E是AB边上的动点，则融•方A的值为.

2.如图，AAOB为直角三角形，0A=l,0B=2,C为斜边4B的中点，P为线段OC的中点，则不∙0>=

()

A.1B.-77C.4D.—τ

Io4Z

3.如图，在平面四边形A8CZ)中，。为8。的中点，且。4=3,OC=5,若屈•力=一7,则瓦•皮的值

4.已知点A,B分别在直线x=3,x=l上，I次一份|=4,当IOA+彷|取最小值时，用•初的值是

A.0B.2C.3D.6

5.在边长为1的正三角形ABC中，D,E是边BC的两个三等分点（Q靠近点8）,则屐）•盛等于（)

6.在AABC中，∖AB+AC∖=∖AB-AC∖,AB=2,AC=∖,E,尸为BC的三等分点，则A⅛淳等于()

8ClO-25-26

A-9b∙yC∙yD.y

7.如图，在平行四边形43C。中,已知48=8,AD=5,Cp=3Pb,#历=2,则部•无力的值是（)

A

A.44B.22C.24D.72

8.如图，在AABC中，已知A8=4,AC=6,/4=60。，点O,E分别在边48,AC上，且轴=2祝＞,At

=2ξ⅛,若F为OE的中点，则耕•命的值为

9.如图，在A48C中，已知AB=3,AC=2,NBAC=I20。，。为边BC的中点，若CZ）_LA。，垂足为E,

则EB∙EC=

10.在平面四边形48CD中，点E,尸分别是边A。，BC的中点，且AB=1,EF=巾,CD=y∣5,若屐）•进

=15.则公•砺的值为.

考点二平面向量数量积的最值（范围）问题

【方法总结】

利用极化恒等式求数量积的最值（范围）问题的步骤

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点;

(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

(3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围).

积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题,利用极化恒等式将多变量转

变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围.对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法

等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决.在运用极化恒等

式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在

于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边

之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围).

【例题选讲】

[例1]⑴若平面向量”,)满足∣2α-b∣q∕j,则α∙b的最小值为.

O11—32Q

答案一Q解析β∙6=o[(2α+⅛)2-(2α-⅛)2]=^[∣2α+⅛∣2-∣2α-⅛∣2]≥~—=一&・当且仅当∣2α+Z>∣

OOOOO

339

2a~b=3,即∣∣<。，>>=兀时，取最小值一处

=0,∖∖Ial=⅛4,⅛=zZ,o

(2)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线如〃的同侧，且A至〃的距离分别为1,3,点8,

C分别在加，"上，电+独=5,则显•祀的最大值是.

C”

21

答案亍解析坐标法以直线〃为X轴，过点A且垂直于〃的直线为y轴，建立如图所示的平面

直角坐标系xθy,如图：则A(O,3),CS0),B(b,2),则霜=(6,—1),祀=(C,—3),从而(b+c)2

+(—4)2=52,即0+C)2=9,XAtT.磊=A+3S":C)+3=和当且仅当h=c时,，等号成立.

极化恒等式连接BC取8C的中点。，AhAt=AD2-BD2,又AD=J油+&|=|,故也正=苧

-BD2=^-^BC2,又因为BG"M=3-1=2,所以(霜・痔S=弓.

rH

（3）（2017.全国II）已知A48C是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则或（成+配的最小

值是（）

A.12D.-1

答案B解析方法一（解析法）建立坐标系如图①所示,则A,8,C三点的坐标分别为A（0,√5）,

B（-l,0）,C（l,0）.设P点的坐标为（x,y）,

BO

图①

则成=(—x,√3-y),协=(-l-χ,-y),-y),耳•(闻+陌=(一χ,√3-y)∙(-2x,

：2x（—J=一/当且仅当X=O,y=乎时，防（防+无）取得

-2y)=2(∕+y2-

最小值，最小值为一3宗故选B.

方法二（几何法）如图②所示，丽+瓦=2可）（。为BC的中点），则可•（彷+瓦？）=2耳.可）.

图②

要使成•前最小，则成与用方向相反，即点P在线段AO上，则（2成・瓦））min=-21祝Il用问题转化

为求两方的最大值.又当点P在线段A。上时，I前+1讨）∣=∣⑰∣=2χ乎=√5,为两瓦）∣≤（陷?的＞

=2=[,，网.(防+心]min=(2或协min=-2x1=一/故选B.

极化恒等式法设BC的中点为。，40的中点为M,连接。P,PM,可.(息+反0=2外.可=2|丽

13O

I2—2∣AZ)∣2=2∣P⅛2~2~~2'当且仅当M与P重合时取等号.

(4)己知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆。上的一个动点，则可•感的取值范围是

答案[-2,6]解析取AB的中点£),连接CC,因为三角形ABC为正三角形，所以。为三角形

ABC的重心，。在Cf)上，且OC=2OE>=2,所以C£>=3,AB=2√3.又由极化恒等式得：可•防=IPOF

-∣∣AB∣2=∣ro∣2-3,因为P在圆。上，所以当P在点C处时，IPolmaX=3,当尸在Co的延长线与圆。的

交点处时，IPRmin=L所以或•彷∈[—2,6].

(5)如图，已知P是半径为2,圆心角为力的一段圆弧AB上的一点，若油=2发',则反'•中的最小值为

ΛBC

答案5-2√B解析通法以圆心为坐标原点，平行于AB的直径所在直线为X轴，AB的垂直平

分线所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则4-1,小),C(2,√5),设P(2cos8,2sin喏学聋)，

则无•同=(2—2COSΘ,√3-2sin仍•(一1一2COSΘ,√3~2sin》=5—2COS6>-4√3sinð=5-2√13sin(0+^),

其中Octan9=坐"户?，所以0<夕令当6=方一0时，无不取得最小值，为5—2∖∕I5.

极化恒等式法设圆心为。，由题得A8=2,.∙.4C=3.取AC的中点例，由极化恒等式得用•成=丽

2—6=M力一点要使死•或取最小值，则需尸M最小，当圆弧矗的圆心与点P,M共线时，PM最小.易

知。M=/.∙.0M=、侍乙耳=芈，所以尸M有最小值为2一誓，代入求得而可的最小值为5—

2√13.

（6）在面积为2的AABC中，E,尸分别是48,AC的中点，点尸在直线E尸上，则卮•丽+就2的最小

值是.

0^2

答案2√j解析取BC的中点为。，连接P。，则由极化恒等式得反>彷+匝2=用2—丁+肥

=协+零≥平+季，此时当且仅当施，团时取等号，此油十就2≥平+手≥2^y乎乎=

2√3.

另解取BC边的中点M,连接PM,设点P到BC边的距离为小则SAABC=或∣"=2=∣剜=本

PM>h,,h2

=√5时，等号成立）

【对点训练】

1.已知AB是圆。的直径，AB长为2,C是圆O上异于A,B的一点，尸是圆。所在平面上任意一点,

顺成+协）.比的最小值为（）

I11

bC.D.-1

ʌ--4∙^32

2.如图，设A,8是半径为2的圆O上的两个动点，点C为Ao中点，则∂5∙δ¾的取值范围是（）

A.[—1,3]B.[1,31C.[-3,-1]D.[-3,1]

3.如图，在半径为1的扇形AOB中，ZΛ0fi=∣,C为弧上的动点，AB与OC交于点P,则0>∙前的最

小值为.

3

4.（2020•天津）如图，在四边形ABC。中，N3=60。，AB=3,BC=6,且彷=2觉，⑰•初=一,则实

数4的值为,若M,N是线段BC上的动点，且Iml=1,则成•加的最小值为.

5.⅛∆ABCΦ,AC=2BC=4,N4CB为钝角，M,N是边AB上的两个动点，且MN=1,若CMCN的

a

最小值为三，则COSNACB=.

4

6.已知AB为圆O的直径,M为圆O的弦CD上一动点,AB=8,Cf>=6,则前A∙谛的取值范围是.

7.如图，设正方形ABC。的边长为4,动点尸在以AB为直径的弧APB上，则无•初的取值范围为.

8.已知正AABC内接于半径为2的圆。，E为线段BC上的一个动点，延长AE交圆。于点凡则瓦.屈

的取值范围是.

9.已知AB是半径为4的圆。的一条弦，圆心。到弦AB的距离为1,P是圆。上的动点，则可∙Z¾的取

值范围为.

10.矩形ABCD中，AB=3,3C=4,点M,N分别为边8C,Cz）上的动点，且MN=2,则破•初的最小

值为•

11.在AABC中，已知A8=√5,C=今则方•■的最大值为.

12.已知在AABC中，PO是边AB上一定点，满足P0B=%B,且对于边AB上任一点P,恒有防•反≥Rk枇

,则()

A.ZABC=90oB.ZBΛC=90oC.AB=ACD.AC=BC

13.在正方形ABa)中，AB=I,A,。分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则帅的最大值为

14.在三角形ABC中，。为AB中点，NC=90。，AC=4,BC=3,E,E分别为8C,AC上的动点，且

EF=L则时•赤'最小值为.

15.在RtABC中，ZC=90o,AC=3,A8=5,若点A,8分别在x,y轴的非负半轴上滑动，则温•求的

最大值为

16.已知正方形ABCO的边长为2,点尸为48的中点，以A为圆心，AF为半径作弧交Ao于E,若P为

劣弧EF上的动点，则无•防的最小值为.

17.如图，已知B,O是直角C两边上的动点，ADLBD,∣λt)∣=√3,ZBAD=^,θt∕=∣(CA+C⅛),cħ=

^(cb+cλ),则G以前的最大值为.

18.如图，在平面四动形ABC。中，ABLBC,ADLCD,NBCZ)=60。，CB=CD=2币.若点M为边BC

上的动点，则破•血的最小值为.

19.（2018•天津）如图，在平面四边形ABC。中，ABVBC,AD±CD,ZBAD=UOo,AB=AD=I.若点E

为边CD上的动点，则危潴的最小值为

TT

20.如图，圆。为RtAABC的内切圆，已知AC=3,BC=4,C=看过圆心。的直线/交圆于P,。两点,

则前•前的取值范围为

21.在三棱锥S-ABC中，SA,SB,SC两两垂直，且SA=SB=SC=2,点M为三棱锥S-ABC的外接球

面上任意一点，则宓•旋的最大值为

22.如图所示，正方体ABCD-AIBGA的棱长为2,MN是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点

之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，Mk的的取值范围是

23.已知线段AB的长为2,动点C满足CV仍=2。为常数)，且点C总不在以点B为圆心，3为半径的

圆内，则负数2的最大值为.

24.若点。和点F分别为椭圆，+5=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则办•存的最大值

为()

A.2B.3C.6D.8

专题八平面向量的极化恒等式

利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量

的几何属性，让"秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几

何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与儿何、代数的巧妙结合.对于不共起点和不共终点的问题可通过平

移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决.

1.极化恒等式：ab-^[(a+b)2-(a-⅛)2]

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线''与''差对角线''平方

差的?

A

2.平行四边形模式：如图(1),平行四边形ABC。，。是对角线交点.则：(l)Ai-At)=jl∣AC∣2-∣BD∣2].

3.三角形模式：如图(2),在AABC中，设。为BC的中点，则/=g£>F—∣8OF.

三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.

记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.

考点一平面向量数量积的定值问题

【方法总结】

利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤

(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.

积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移

转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决.在运用极化恒等式求数量

积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长

度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值.

【例题选讲】

[例1]⑴(2014,全国II)设向量α,b满足外+加=画,∣α-⅛∣=√6,则α∙Z>=()

A.1B.2C.3D.5

答案A解析通法由条件可得，(α+B)2=ιo,(q-6)2=6,两式相减得4α√>=4,所以α∙3=l.

极化恒等式α∙⅛=∣[(α+b)2-(a-b)2]=∣(lθ-6)=1.

(2)(2012•浙江)在AABC中，M是BC的中点，AM=3,BC=IO,则屈•祀=.

答案一16解析因为M是BC的中点，由极化恒等式得：屈•祀=IAMF—%8C∣2=9-；XIoo=—

16.

(3)如图所示，AB是圆。的直径，P是AB上的点，M,N是直径AB上关于点。对称的两点，且AB

=6,MN=4,则闻f∙丽=()

A.13B.7C.5D.3

答案C解析连接AP,BP,则丽=谡+篇,两=两+说=/一篇,所以前.前=(温+硒•(闻

PB-PA-AM+AM-PB-∖AM∖1^-RA-AM+AM-PB~∖AM∖2^AM-AB-∖AM∖2=l×6~l=5.

(4)如图，在平行四边形ABCz)中，AB=I,AO=2,点E,F,G,H分别是A8,BC,CD,A。边上

的中点，则赤•劭+可∕∙Z½=.

答案I解析连结EG,FH,交于点。，则年前=球前=亦-δħ2=L0=鼻,反旗=

而才=的2-亦=Lg)=*因此阱附+曲曲

(5)(2016∙江苏)如图，在AABC中，力是BC的中点，E,尸是4。上的两个三等分点.BACA^4,BPCP

=—I,则星∙Gfe的值为.

7

答案解析极化恒等式法设3D=OC=m,AE=EF=尸。=小则AO=3〃.根据向量的极化恒

O

C1Q

等式，有屈祀=T)2一访』94一加2=4,元.武=91—的2=∏2-HI?=-1.联立解得/=石，浮=木.因

OO

此前.病=亦一前2=4/-rn2=J.即旗.摩=(.

OO

坐标法以直线BC为X轴,过点。且垂直于BC的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系xoy,

如图：设A(3α,3b),B(~c,O),C(~c,0),则有E(24,2b),F(a,b)βA-Cλ=(3a+c,3b)-(3a~c,3b)

=9a2-c2÷9⅛2=4BpCp=(a+c,h)-(a~c,b)=a2~c2+b2=~l,则d2+b2=^,c2=ττB⅛∙C⅛=

OO

/7

Cla—c,2hY(2a-c2⅛)=4a2—c2÷4⅛2=ɑ.

fO

基向量或∙5⅝=(∕¾∙~D⅞)(醇•一氏)=4彷;屋=36%二於=4,阱.苏=防一而份一虎)

AFD1-BC14eb∖6FD2-BC2

1,因此用2$此=*Mck=(Dk-D⅛)(D⅛-Dt)=4-=48

4

(6)在梯形ABC。中，满足AD〃BC,AD=IfBC=3,AB∙DC=2f则祀•筋的值为

答案4解析过A点作AE平行于OC,交BC于E,取BE中点R连接A片过。点作平行

ULiuULimuuuULaIuuu

于AC,交BC延长线于“，E为BH中点、,连接E>E,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-∖=2,AC-

BD=-DB-DH=BE1-DE2=A-DE2,又FE=BE—BF=1,AD//BC,则四边形AOEF为平行四边形,

ClLUUCU_1U

AF=DE,:.ACBD=I.

【对点训练】

1.己知正方形ABCZ)的边长为1,点E是48边上的动点，则踮•次的值为.

1.答案1解析取AE中点0,设HEl=MOW烂1),则HOl=IV,，发•次=DOF—HOF=12+0J2

-*=1.

2.如图，AAOB为直角三角形，0A=l,OB=2,C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则万>∙∂>=

)

2.答案B解析取AO中点Q,连接尸。，APδP=PAPO=PQ2-AQ/2=~^=^.

3.如图，在平面四边形ABCD中，。为80的中点，且0A=3,OC=5,若屈•⑰=-7,则反••皮的值

3.答案9解析因为协.初=彷一沆＞2=9—沅）2=-7=H）2=]6,所以犹.虎=Qp-9P=25

4.已知点A,B分别在直线x=3,x=l上，I流一时|=4,当|次+加|取最小值时，温•份的值是

4.答案C解析如图，点A,B分别在直线x=l,x=3上，∖Aħ∖=4,当|况+时|取最小值时，48的

中点在X轴上，况•彷=加2—丽=4-4=0.

ʃf

5.在边长为1的正三角形ABC中，D,E是边8C的两个三等分点（。靠近点8）,贝必D4E等于（）

5.答案C解析解法一：因为。，E是边BC的两个三等分点，所以80=0E=CE=/在AABD中,

AD1=BD2+AB2-2BDAB∙cos60o=(1)2+ɪ2-2×∣×ɪ×∣=即AD=亭,同理可得AE=亭，⅛∆ADE

2,2

AD2+AE2-DE29913LLll—►―►—>—>xfl

中，由余弦定理得CoSND4E=γj,所以AO∙AE=∣AD∣∙∣AE∣cos∕ZME=看

IADAE

13

18'

建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A（0,里£＞（一:，0）,EQ,0),

解法二：如图,

所以病=（3,一坐）,然=£一啜所以访危=（J一冽&一里）=w+%!∣.

极化恒等式法取力E中点尸，连接AF,则而•病=IA尸F—1。呼=；-B=Ii

4ɔθ10

6.在^A8C中，∖Ab+At∖=∖Ah-At∖,AB=2,AC=I,E,F为BC的三等分点，则A⅛∙A∣'等于（）

8IO〃2526

A-9B.gC.yD.y

6.答案B解析坐标法由©+独=∣A¾—祀化简得屈•祀=0,又因为AB和AC为三角形的两

条边，它们的长不可能为0,所以AB与AC垂直，所以AABC为直角三角形.以A为原点，以AC所

在直线为X轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0,0）,B（0,2）,C（l,

0）.不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则语，D，雄，§，所以戏=（|，|）,#=（；，§，所

以旅#=舞+黑=号.

极化恒等式法取E尸中点连接AM,则求#=|AMJ∣EM∣2=A&=竿.

7.如图，在平行四边形ABC。中，已知AB=8,AD=5,#=3瓦），AA屏）=2,则荏•无方的值是（）

A.44B.22C.24D.72

7.答案B解析如图，取AB中点E,连接EP并延长，交AO延长线于F,Ap-Bp=EP2-AE?=EP-

-16=2,.∙.EP=3√Σ又,：牛=3地,Ak=Eh,A^=Dt,：.AE=2DP,即△/¾E中，DP为中位线,

AF=2AQ=10,AE=BA3=4,FE=2PE=(φ,AP2=40,Aδ∙A⅞=A>∙A⅛=AP2-EP2=40-(3√2)2=

22.

8.如图，在AABC中，已知AB=4,AC=6,/4=60。，点O,E分别在边AB,AC上，且辐=2m，At

=2A⅛,若F为OE的中点，则屏'•融的值为.

8.答案4解析取8。的中点N,连接NREB,则ΛBE=2√3.在AQEB中.FN//∖EB.：.

FN

=√5.游•晟=2或•用=2CFN2-fW2)=4.

9.如图，在AABC中，已知AB=3,AC=2,ZBAC=120°,。为边BC的中点，若CZ）_L4Q,垂足为E,

则诿应=.

9.答案一用解析由余弦定理得，BC2=AB2+AC2-2ABACcosnθ°=∖9,即8。=血，因为病公

AD2-CD2=∣AB∣∙∣AC∣∙cosl20o--3,所以Hol=亭，因为SAABC=25”比,则⅛4B∣∙IAaSinI20°=2」

∖AD∖∖CE∖,解得IC£|=*L在RtADEC中，∣DEl=NCD2—CE2=噜,所以无•爱=IEoI2-∣cθF=一弓.

10.在平面四边形ABC。中，点E,尸分别是边AD,BC的中点，且A8=l,EF=y∣2,CD=4,若病•反`

=15.则公•访的值为.

10.答案解析极化恒等式如图，取A&4C,8,5£＞中点”，/,J,K,四边形ABCD中，易知

UU≡IILIIUUIΓULT15ULuUIiLUiLiuuiuuuɪ

EfÆZ,及/三线共点于0,QADBC=15^HKHI=-=HO2-IO2,又QACBD=4HE∙HF=

4

4(//O2-FO2),在ΔE∕7中，QEF=6壬1=与FI=；,由中线长公式知砂=J.,从而//O?=4,

UUUUuU1

AC∙BD=4(4—)=14.

UUUIiLUiUUUUUn2uuɪɔlll≡,UlfflUUlI

基向量法Q2EF=AB+DC,：.4£F=AB+DC+2ABDC,又AB=I,DC=瓜EF=丘,

UUUULiUUUUlUiaiIiuuiuutiIiusinunUUDUUDUUBUUlIUUDli□∏UUlI2

.∙.AB-DC=I,QAD-BC=↑5,:.(AC+CD)(BD+DC)=↑5,则AC∙BO+AC∙OC+CD∙BO-OC

UllllIllBl∕UUΠUIKUUlIUl≡l/IlLOIUulI∖UUIIULIUULlIUuiIULUULILUI

=15,可化为4C∙8O+(AB+8C)χ∙OC+CO∙(BC+CD)-5=15,AC∙BD+ABDC=\5,故AC∙3Q

=14.

D

E

考点二平面向量数量积的最值（范围）问题

【方法总结】

利用极化恒等式求数量积的最值（范围）问题的步骤

（1）取第三边的中点，连接向量的起点与中点；

（2）利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；

（3）求中线长的最值（范围），从而得到数量的最值（范围）.

积化恒等式适用于求对共起点（终点）的两向量的数量积的最值（范围）问题，利用极化恒等式将多变量转

变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围.对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法

等价转化为对共起点（终点）的两向量的数量积的最值（范围）问题，从而用极化恒等式解决.在运用极化恒等

式求数量积的最值（范围）时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在

于求中线长的最值（范围），通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边

之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值（范围），从而得到数量的最值（范围）.

【例题选讲】

[例1]⑴若平面向量a,b满足∣2α一加W√5,则ab的最小值为.

911O2-329

答案一Q解析a∙b=ol（2a+⅛）2—（2α—b）2]=ð[∖2a+⅛∣2—∣2α—⅛∣2]≥~«-=—&•当且仅当∣2α+臼

OOOOO

339

=0,∣2α-⅛∣=3,即Ial=不∣⅛∣=z,<a,t>=π时,α∙b取最小值一石.

（2）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线机，”的同侧，且A到机，〃的距离分别为1,3,点8,

C分别在〃3〃上，I曲+独=5,则^的最大值是.

rit

、21

答案y解析坐标法以直线〃为X轴，过点A且垂直于〃的直线为y轴，建立如图所示的平面

直角坐标系x0y,如图：则A（O,3）,C（c,0）,BS2）,则露=（〃，-1）,祀=（C,一3）,从而0+c）2

+（—4）2=52,即（6+C）2=9,又祀.屈=bc+3*^^+3=募•，当且仅当b=c时，等号成立.

极化恒等式连接3C,取BC的中点。，Ah-At=AD2-BD2,又A。T屈+祀|=|,故在正岩

-BD2=^-^BC2,又因为BG"M=3—1=2,所以（屈∙At）S=*

（3）（2017・全国∏）已知AABC是边长为2的等边三角形，尸为平面4BC内一点，则可•（曲+试）的最小

值是（）

B.-1

A.-2C.D.一1

答案B解析方法一（解析法）建立坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为4（0,小）,

β（-l.0）,C（l,0）.设P点的坐标为（x,y）,

则成=(-χ,√3-y),Pb=(-l-x,—y),Pt=(∖~x,~y),可•(协+μ=(一》，√3-Γ)∙(-2JC,

-2y)=2(x2+γ2-小)，)=jχ2+Q—坐)2_*2x(—1)=一∣.当且仅当x=0,y=坐时，讨.(乃+陌取得

最小值，最小值为一∣∙故选B.

方法二（几何法）如图②所示，曲+反=2用（。为Be的中点），则可.（成+无）=2或可）.

P

图②

要使成•用最小，则成与外方向相反，即点P在线段A。上，则（2成・/）min=-21两曲，问题转化

为求I用Il瓦）|的最大值.又当点P在线段AD上时，I中1+1防I=|力I=2X半=小，为两电区（网贽

2=1，.♦.丽（感+反∙）］min=（2或协min=-2x,=-∙故选B.

极化恒等式法设BC的中点为£>,AD的中点为M,连接。P,PΛ∕,.♦.可.（而+电=2可）.讨=2|所

133

I2—2∣At）∣2=2∣P⅛2-2>—2"当且仅当M与P重合时取等号.

（4）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆。，点P是圆。上的一个动点，则可•息的取值范围是

答案［-2,6］解析取AB的中点。，连接CD,因为三角形ABC为正三角形，所以。为三角形

4BC的重心，。在C。上