河北省衡水市武强中学2023-2024学年高三年级上册期末考试数学试题

武强中学2023——2024学年度上学期期末考试

高三数学试题

出题人：郝敬先

学校:姓名：班级：考号：

一、选择题（1-8小题单选，每题5分，9-12小题多选，全部选对5分，部

分选对2分，有选错的0分，共60分。）

1.已知集合4={坨一%>0},3={0,1,2,3,4},则AB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.在复平面内，复数Jr的共辗复数对应的点位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成

是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅

让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的

科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基

三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点

连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小

三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为半，则第

▲

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图③图④

A.g（孝严B.也c

-#-D-T-

4.等差数列也｝的公差d<0,且吊=若，则数列｛风｝的前〃项和S“取得最大值

时的项数〃的值为（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

5.已知sinc+2sina-l)=°,则tana+；()

A.3B-IC.-3D-4

6.已知加，〃是两条不同直线，a是平面，且"ua,m<ta,((ml/a”是"mlInv

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已矢口“=Z?=（n,l）,m>0,H>0,若存在非零实数％使得4=助,

17

则一+-的最小值为（）

mn

A.8B.9C.10D.12

8.设^二?。，，则a,b,c的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

9.已矢口函数=-尤2+尤，贝Ij（）

A./（龙）为奇函数B.尤=1不是函数/（尤）的极值点

C."X）在［T,+8）上单调递增D./*）存在两个零点

10.已知关于x的不等式渥+法+cwo的解集为｛x|-3Vx<4｝,则下列说法正确

的是()

A.a<0B.不等式cx2-fer+a<0的解集为

2c

C.a+b+c<QD.——7+彳的最小值为T

3。+42

11.已知函数/（尤）=Asin（s+?）（其中4>0,0>0,|。|<兀）的部分图象如图所示,

则下列结论正确的是（）

A.函数/⑴的最小正周期为］

B.函数/⑺的图象关于点对称

C.函数,⑴在区间卜屋］上单调递增

36

D.若/（1-£）=•!，则sin%-cos4a的值为-

655

12.如图，在棱长为1的正方体A3。-AgGR中，P为线段BC,上的动点,

下列说法正确的是（）

A.对任意点RDP//平面A4Q

B.三棱锥ADR的体积为:

C.线段“长度的最小值为逅

2

D.存在点尸，使得如与平面ADRA所成角的大小为1

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.设向量a,匕的夹角的余弦值为:，且忖=1,a-b=l,则卜|=，

14.命题“VxeR,f>i”的否定是.

15.在ABC中，（a+cXsinA-sinC）=b（sinA-sinB）,则NC=.

16.定义在R上的奇函数满足了(2-x)=/(x),且xe[0,l]时,/(x)=log2(x+l),

则/（2022）+/（2023）+/（2024）=.

三、解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分。）

17.已知正项等比数列｛4｝满足q=2,2%=%-%,数列也｝满足2=l+21og2a..

⑴求数列应｝,也｝的通项公式；

⑵令g=风。求数列｛%｝的前〃项和sn.

18.在ABC中，内角力，B,。所对的边分别为。，6,*且

—csinB=(c—acosB)sinC.

2

⑴求4

(2)若。为边A3上一点，AD=2DB,AC=2,BC=y/l,求ACD的面积.

19.已知数列｛4｝的前n项和为S”吗=豆,%＞。,%•(%+S“)=2.

(1)求S/(2)求，.+.［++„.

J］十十°n〃+1

20.在_ABC中，角力，B,。所对的边分别为a,b,c.满足(2a-c)cosB=)cosC.

⑴求角8的大小；⑵设”=4,b=2币.

(i)求c的值；(ii)求sin(2C+3)的值.

21.如图，在三棱台ABC-ABC中，AA=AG=CG=I,AC=2,\CVAB.

.fl

(1)求证：平面ACCH一即A；

(2)若N3AC=90。，AB=1,求二面角的川(-/--

正弦值.B

22.已知函数”力=3尤2-依-21nA'(aeR).

⑴当。=1时，求函数/(x)的极值；

⑵若函数“X)在区间［1,+8)上单调递增，求实数。的取值范围.

高三数学参考答案:

1.A

【详解】由&={也—无>0}得4={巾<2},又3={0,1,2,3,4},

所以A8={0,1},

故选：A

2.D

【详解】：占肃的共辗复数为TT

对应点为在第四象限，故选D.

3.D

【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的:，即面积为首项

为£,公比为]的等比数列，

44

故第〃个图中阴影部分的面积为/=/.（；儿

故选：D.

4.C

【详解】由纵=,可得（4+4i）（4-=。，

因为d<0,所以％-％产0,所以%+%[=0,又4+。“=0,所以4=0.

因为3<0,所以{%}是递减数列，所以%>%>•••>%>&=。>%>%>…，显然

前5项和或前6项和最大，

故选：C.

5.C

【详解】因为sinc+2sin]=-5卜。，所以sintz-2cosc=。，所以tan（z=2,

71

tana+tan一

tan[a+；42+l

则Tt=—3.

I1-tanatan—l-2xl

4

故选：c.

6.B

【详解】一条直线平行平面，但这条直线不一定和平面内的直线平行，所以由

mlla,不能得到m//w,

而〃/70，〃ua,mya,则9〃a,

所以“机//&”是“机//〃”的必要不充分条件，

故选：B

7.B

【详解】若存在非零实数/使得°=助，即；//力，又。=(1-九2),6=(”,1),

所以1-m=2〃，BPm+2n=\,

所以1+工=1_1+2](m+2〃)=5+&+型25+2"

mnnJmn\

当且仅0当n即9TYi相=〃=;1时，等号成立.

mn3

所以工+2的最小值为9.

mn

故选：B

8.D

【详解】由题意知。=1嗝7。-8<1叫7。-7=1,b=Hp=e。8>e°Ja>e°=l,

所以c<a<b,

故选：D.

9.BC

【详解】函数/(x)=；x3_f+x的定义域为R,又/(-x)=-；x3-x2-x,

-f(x)=-1x3+x2-x,

则所以/(x)不是奇函数，故选项A错误;

S^9/'W=-«2-2x+l=(x-l)2>0,所以/(x)在R上单调递增，所以函数/(x)不存

在极值点，故选项B与C正确；

因为"l)=；T+l>0,/(-1)=-1-1+1<0,又/⑺在R上单调递增，且为0)=0,

所以Ax)仅有一个零点0,故选项D错误.

故选：BC

10.AB

【详解】因为关于x的不等式/+法+/0的解集为何-3"<4},

所以-3,4是方程加+"+c=0的两根，且〃<。，故A正确;

-=-3+4b=­a

所以“，解得

C=-12(2

-=-3x4

.4

2

所以夕2一陵+。<0,BP—12ax+ax+a<09贝12/一工一1<0,解得一

所以不等式cf—bx+QvO的解集为+故B正确；

Jfj]a-^-b+c=a—a—12a=—12a>0,故C错误；

因为。<0力=-〃,。=-12。,所以一3。+4>4,

222I?

贝----1—r=---------6(2=-------F2(~3ci+4)—822J--------2(—3〃+4)—8=—4,

30+42-3a+4-3a+4')丫-3a+4v7

7s

当且仅当—^=2(-3“+4),即。=1或时，等号成立，

与〃<0矛盾，所以上+3取不到最小值T,故D错误.

3。+42

故选：AB.

11.BCD

【详解】由函数/(x)=Asin(s+9)的部分图象可知：A=2,且%=与—1|=；,

则T=兀，解得®=—=2；

2兀+*]=-2,gpsinfy+^U-1,

又因为了2sin2xT

贝!|事+夕=-'1+2防1,左eZ且|夕|＜无，所以夕=&

O

所以/(x)=2sin(2x+.

对于选项A：函数的最小正周期7=兀，故A错误；

对于选项B：当户-专时，可得了，鸟=2sin卜＞!)=0,

12V12J＜oOy

所以函数了⑴的图象关于点，噎，。］对称，故B正确；

对于选项C:因为-则手2x+】q,且严sin尤在内单调递

36262

增,

所以函数/⑺在区间上单调递增，故C正确;

3o

对于选项：因为了=2sin——2a\=2cos2a=|,可得

D(2J

cos2a=—

59

所以sin4a-cos4a=(sin2a-cos26f)(sin2a+cos2a)

=sin2a-cos2a=—cos2a=--,

5

3

即sin%—cos%的值为--,故D正确；

故选：BCD.

12.AC

【详解】由题可知，正方体的面对角线长度为忘.

对于A,分别连接G。、BD、BQ、A与、AD{,

由AR/ABC”4〃〃B。,ARBR=DrBJ=得到平面平面ABQ,

而。尸u平面CtDB,故对任意点P,DP\平面ABtDt,故A正确；

B错误;对于C,线段DP在CB。中，当点产为BQ的中点时,如最小，，在RtABPD

中，DP=J5一PB?=J©'-U=等，故如的最小值为半，故C正确;

对于D,点P在平面AD2A上的投影在线段AA上，设点P的投影为点0,

则/尸。。为〃与平面ADAA所成的角，sin/P£＞Q=黑，PQ=1,而史＜PD三枝,

PD2

所以如与平面ADRA所成角的正弦值的取值范围是当，手，而

股巴="＞逅，所以不存在点R使得如与平面ADAA所成角的大小为

3233

故D错误.

故选AC.

13.3

【详解】向量a,6的夹角的余弦值为:，，cos(a,b)=g,

a-b=l,.,.a-ft=|a|j^|-cos^a,^=!|/?|=l,

得W=3.

故答案为：3

14.HxeR,x2<1

【详解】根据全称量词命题与存在性命题的关系，

可得命题“VxeR,的否定是“王eR,x2<l".

故答案为：#eR,x2<l.

15-i

【详解】因为(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),由正弦定理得

(a+c)(a—c)=b(a—b),

变形得a2+b2-c2=ab,所以cosC="+"——=—,

lab2

TT

又0<C<7T,所以C=],

故答案为：y.

16.-1

【详解】由于了(为)为奇函数，/(2-x)=-/(x-2)=f(x),所以

/U)=-/(x-2)=-[-/(x-4)]=/(x-4),故/(X)为周期为4的周期函数,

f(2022)=/(2)=/(0)=0,/(2023)=/(-1)=-7(l)=-log22=-1,/(2024)=/(0)=0

所以/(2022)+“2023)+/(2024)=-1,

故答案为：-1

17.(!)«„=2",bn=2n+l.

(2)S„=(2«-l)-2"+1+2；

【详解】(1)设｛叫的公比为q,则由已知得2%=电/-。2夕，出二。，则

q2-q-2=0,q=2或4=7(舍去)，

n

/.%=2X2”T=2",=l+21og22=2/7+1；

(2).=。也=(2〃+1〉2",

S„=3X2+5X22++(2〃+l)-2",

，2S„=3X22+5X23++(2n-l)-2"+(2n+l)-2"+1,

相减得

-5„=3X2+2(22+23++2")-(2"+l)-2"i

=6+2x4(：j)_(2〃+1>2"+I=-2+(1-2/i)-2"+1,

S„=(2/7-l)-2"+,+2；

18.⑴A=]⑵6

【详解】(1)由正弦定理有gsinCsin8=(sinC-sinAcos8)sinC,

因为Ce(O,7t),所以sinC>0,则gsinB=sinC-sinAcosB,

又sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以gsin5=cosAsinB,

由5£(0,7i),sinB>0,得cosA二;，

因为Aw(0,兀)，所以A=.

(2)在ABC中，由余弦定理得cos.=ABT：：："二,

2-AC-AB2

将AC=2,BC=近代入，化简得AB?-243-3=0,

解得AB=3或AB=-1(舍去)，由于AD=2DB,所以AD=2,

19.(l)S“=囱(2)^(7^71-1)

【详解】⑴%=应4>OM,+「(S向+S.)=2,可得(口-S.gu+S.)=2,

可得S；「S；=2,即数列｛叶｝为首项为2,公差为2的等差数列，

可得S；=2+2(〃-1)=2”，由。“>0,可得S“=而；

⑵八二而+，2(“+1)=宜不看:*(内一凡

BPW+++1-=4/-1+石-0+2-6++J"+1-6)

20.(1)|

(2)(i)c=6；(ii)一遇

14

【详解】(1)由(2a-c)cosB=0cosC,

根据正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,

因为OVAVTI,故sinAwO,贝（Jcos5=；,

又0<B<R,所以3

（2）由（1）知，B=p且1=4,b=2币,

（i）则8sBl2+c：―J

lac

即LJ6+C2-28,解得°一2（舍），c=6.

22x4xc

故c=6.

（ii）由（2a-c）cosB=bcosC,得（2x4—6）x（=2近cosC,

解得cosC=^~,贝ljsinC=Jl-

14\

4n13

则sin2C=2sinCcosC=——,cos2C=2cos2C—1=——,

1414

则sin（2C+B）=sin2CcosB+cos2csinB

301/13、65百

=-----x—+-----x——=----------.

142I14）214

21.（1）证明见解析；（2）姮.

4

【详解】（1）依题意，四边形ACCM为等腰梯形，过A,G分别引力。的垂线,

垂足分别为〃E,

则AO=g（AC_4G）=；x（2_l）=；=；AA，故ZAAC=60。.

在△ACA中，AC?=AA2+AC2-24A-ACCOS幺AC=V+22-2xlx2x；=3,

所以ACZ+AA?=AC)故N441c=90。，gp\CYAAX.

因为A,C_LA8,ABc44,=A,且4?,A41U平面AB耳A,

所以A]C_L平面ABB[A],因为ACu平面ACC】A,

所以平面ACC}\，平面ABB^.

(2)因为AB1AC,A.CLAB,ACr^AiC=C,AC,ACu平面ACQA,

所以ABI平面ACG4,结合⑴可知N6,AC,4。三条直线两两垂直.

以/为原点，分别以AB,AC,好的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角

坐标系A-xyz,

如图