圆的有关计算与证明-2023年中考数学知识点练习（江苏）（解析版）

2023年中考数学【热点•重点•难点】专练（江苏专用）

热点08.圆的有关计算与证明

备注：A卷为真题过关卷所选题目多数为近三年江苏省各地区中考真题，共计25道，针对性

强，可作为一轮、二轮复习必刷真题过关训练.

B卷为模拟提升卷，所选题目多数为近江苏省各地区中考模拟，共计25道，是中考命题的中

考参考，考生平时应针对性的有选择的训练，开拓眼界，举一反三，使自己的解题水平更上

一层楼！

【考纲解读】

1.了解：圆、圆心角、圆周角的概念，垂径定理及其逆定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位

置关系，弧长和扇形面积，圆锥侧面积.

2.理解：圆周角定理及推论，点与圆的位置关系及其运用，切线的性质与判定定理，切线长定理.

3.会：利用弧、弦、圆心角的关系进行证明和计算，运用切线的性质与判定定理、切线长定理解

决一些实际问题，求〃。的圆心角所对的弧长，求圆心角为心的扇形面积.

4.掌握：圆周角定理及其推论的灵活运用，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，弧长和扇

形面积，圆锥侧面积.

5.能：运用垂径定理解决有关问题，切线的性质与判定定理、切线长定理解决一些实际问题，利

用点、直线的位置关系解决问题，根据公式中的已知量求圆锥中的未知量，运用圆的有关性质与

位置关系进行综合性质计算与实际问题的解决.

【命题形式】

1.从考查的题型来看，填空题、选择题、解答题三种形式都有所考查,多数题目较难,属于中、高

档题.

2.从考查的内容来看，主要涉及的有:圆的有关性质（垂径定理、圆周角定理及推论），圆的有关位

置关系（直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理），圆的有关计算（弧长与扇形

面积,圆锥的侧面积）.

3.从考查的热点来看，主要涉及的有:圆的有关性质（垂径定理、圆周角定理及推论）；圆的有关位

置关系（直线与圆的位置关系，切线长定理，切线的性质与判定定理），圆的有关计算（弧长与扇形

面积,圆锥的侧面积），阴影部分的面积.

【限时检测】

A卷（真题过关卷）

一、单选题

1.（2022.江苏淮安.统考中考真题）如图，四边形ABCD是。。的内接四边形，若N40C=160。，则4/18C的

C.140oD.160o

【答案】B

【分析】先根据圆周角定理求得4。的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出BC的度数即可.

【详解】解：：乙4。C=I60。，

.,.∆ADC=-∆AOC=80°,

2

：四边形ABCD是OO的内接四边形，

J./.ABC=180°-乙ADC=180°-80°=100°,

故选：B.

【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键.

2.（2022・江苏无锡•统考中考真题）如图，AB是圆。的直径，弦Ao平分/8AC,过点。的切线交AC于点

E,NEAD=25°,则下列结论错误的是（)

A.AEVDEB.AEHODC.DE=ODD.2800=50°

【答案】C

【分析】过点。作3F1∙A8于点凡根据切线的性质得到OD_LOE,证明0/）〃4E,根据平行线的性质以

及角平分线的性质逐一判断即可.

【详解】解：：OE是G）O的切线，

二ODLDE,

'：OA^OD,

.".ZOAD=ZODA,

∙.∙A。平分NBAC,

.*.ZOAD=ZEAD,

.∖ZEAD=ZODA,

.∖OD∕∕AE,

.∙.AELOE.故选项A、B都正确；

：/OAD=NEAD=/OzM=25°,ZEAD=25°,

：.ZBOD=ZOAD+ZODA=50o,故选项D正确;

∙.∙A。平分NBAC,AELDE,DFLAB,

.∙.DE=DF<0D,故选项C不正确；

故选：C.

【点睛】本题考查的是切线的性质，角平分线的性质定理，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点

的半径是解题的关键.

3.（2022・江苏无锡・统考中考真题）在RfAABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,以AC所在直线为轴，把“8C

旋转1周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（）

A.12πB.15π∙C.20πD.24π

【答案】C

【分析】先利用勾股定理计算出A8,再利用扇形的面积公式即可计算出圆锥的侧面积.

【详解】解：...∕C=90°,AC=3,BC=4,

."8=√32+42=5,

以直线AC为轴，把AABC旋转一周得到的圆锥的侧面积=p2τrx4x5

=20τr.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

4.(2021•江苏镇江•统考中考真题)设圆锥的底面圆半径为r,圆锥的母线长为/,满足2H∕=6,这样的圆

锥的侧面积()

A.有最大值/B.有最小值，C,有最大值，D.有最小值，

4422

【答案】C

【分析】由2r+∕=6,得出∕=6-2r,代入圆锥的侧面积公式:S^=πιi,利用配方法整理得出，S#=-2π(r

-∣)2+^π,再根据二次函数的性质即可求解.

【详解】解：；2叶/=6,

Λ∕=6-2r,

圆锥的侧面积S勰=τ∏7=πr(6-2r)=-2π(∕∙2-3r)=-2π[(r-|)2-J]=-2π(r-∣)2+^π,

二当r=∣时，S,宿最大值[兀.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面

的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:S=I-2πr•/=仃，是解题的关键.

5.(2021.江苏镇江.统考中考真题)如图，NBAC=36。，点。在边AB上，。。与边AC相切于点£),交边

AB于点E,F,连接五£>,则/AFO等于()

A.27oB.29oC.35oD.37°

【答案】A

【分析】连接OD,根据切线的性质得到NA/)。=90。，根据直角三角形的性质得到/400=90。-360=540,

根据圆周角定理即可得到结论.

【详解】解：连接0。,

B

ADC

。。与边AC相切于点£>,

二NAOO=90。，

•：/BAC=36。，

.,.ZAOD=QOo-36°=54°,

：,^AFD=^A0D=l×54°=27,

故选：A.

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

6.（2021•江苏徐州・统考中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形

的对角线之比为3：1,则圆的面积约为正方形面积的（）

A.27倍B.14倍C.9倍D.3倍

【答案】B

【分析】设OB=X,则。4=3x,BC=2x,根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解.

【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD,OB=OC,

•；圆的直径与正方形的对角线之比为3：1,

设OB=χf则OA=3χfBC=Ix9

二圆的面积=TC(3X)2=9B,正方形的面积W(2x)2=lr2,

.∙.9τu2÷2√=∙≈14,即：圆的面积约为正方形面积的14倍，

故选B.

【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，

是解题的关键.

7.(2022•江苏镇江•统考中考真题)如图，在等腰△4BC中，∆BAC=120o,BC=6√3,OO同时与边84的

延长线、射线AC相切，。。的半径为3.将AABC绕点4按顺时针方向旋转α((r<α≤360t5),B、C的对应

点分别为夕、C,在旋转的过程中边B'C'所在直线与O。相切的次数为()

【答案】C

【分析】首先以4为圆心，以BC边的中线为半径画圆，可得OA的半径为3,计算出04的长度，可知ΘO

与。A相切，根据两个相切圆的性质，即可得到答案.

【详解】解：如图：

B)

作AOLBC,以4为圆心，以Ao为半径画圆

：AC、AB所在的直线与。0相切，令切点分别为P、Q,连接0P、OQ

.∙.A。平分NBAQ

∙.∙∕C4B=120°

，Z∕¾O=30o

∙.∙OP=3

'：ZBAC=l20o,AB=AC

：.NAC8=30。，CD=1BC=3√3

：.AD=CD-tan30o=3

.∙.0A的半径为3,

二。。与。A的半径和为6

"."A0=6

.∙.OO与。4相切

'.'ADLBC

二BC所在的直线是。4的切线

.∙.8C所在的直线与（Do相切

.∙.当a=360。时，BC所在的直线与。。相切

同理可证明当a=18O。时，B"C"所在的直线与。。相切.

当B'C'，Ao时，即α=90。时，B'C'所在的直线与OO相切.

，当α为90。、180。、360。时,BC所在的直线与。。相切

故答案选C.

【点睛】本题主要考查了圆的切线，涉及到等腰三角形的性质、两圆的位置关系和特殊角的三角函数等知

识，熟练掌握相关知识，精准识图并准确推断图形的运动轨迹，进行合理论证是本题的解题关键.

8.（2021.江苏苏州.统考中考真题）如图，线段AB=10,点C、D在4B上，AC=BD=1.己知点P从点C出

发，以每秒1个单位长度的速度沿着4B向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：

先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60。的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的

侧面.设点P的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.贝"关于t的函数图像大致是（）

D.

【答案】D

【分析】由题意，先求出P4=t+1,PB=9-t,然后利用再求出圆锥的底面枳进行计算，即可求出函数

表达式，然后进行判断即可.

【详解】解：根据题意，

•：AB=10,AC=BD=1,且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点。移动，到达点

D后停止移动，贝∣JO≤t≤8,

：.PA=t+l,

ΛPβ=10-(t+l)=9-t,

由P4的长为半径的扇形的弧长为：N署=WB

IoO3

用P4的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为号

6

.∙.其底面的面积为小答

36

由PB的长为半径的扇形的弧长为：喑咆=中

1803

，用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为F

O

.∙.其底面的面积为誓

36

...两者的面积和S=当兴+△守=白兀(产_8t+41)

363618

.∙.图像为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；

故选:D.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，：次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键

是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式.

二、填空题

9.(2022•江苏淮安・统考中考真题)若圆锥的底面圆半径为2,母线长为5,则该圆锥的侧面积是.(结

果保留兀)

【答案】107T

【分析】根据圆锥的底面圆半径为2,母线长为5,直接利用圆锥的侧面积公式求出即可.

【详解】根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=IOTT,

故答案为：10兀.

【点睛】本题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键.

10.（2022.江苏徐州・统考中考真题）如图，A、B、C点在圆。上，若NACB=36。，贝∣J∕AO8=

【答案】72。##72度

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论.

【详解】解：VZACB=^ZA0B,ZACB=36o,

：.NAO8=2XNAC8=72。.

故答案为：72°.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解题的

关键.

11.（2022・江苏盐城•统考中考真题）如图，在矩形ABC。中，AB=2BC=2,将线段AB绕点4按逆时针方向

旋转，使得点B落在边CC上的点8'处，线段4B扫过的面积为.

D1_________SLc

【答案】⅛π∙

【分析】由旋转的性质可得AB'=AB=2,由锐角三角函数可求4D4B'=60。,从而得出=30。,由扇形

面积公式即可求解.

【详解】解：∙.∙AB=2BC=2,

.∙.BC=1,

：矩形4BC。中,

・・.AD=BC=lf∆D=∆DAB=90。,

由旋转可知力B=AB',

'：AB=2BC=2,

：.AB'=AB=2,

AD1

•••cos皿BR=5,

4DAB'=60°,

乙BAB'=30°,

..线段AH扫过的面积==ɪ.

∙ɔou3

故答案为：P

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识,灵活运用这些

性质解决问题是解此题的关键.

12.（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，AABC是。。的内接三角形.若乙4BC=45。，A,=√2,则。0

的半径是.

【分析】连接。4、OC,根据圆周角定理得到NAOC=90。，根据勾股定理计算即可.

【详解】解：连接04OC,

：.∆AOC=2/.ABC=90°,

.∙.0∕l2+OC2=AC2,即2。/=2,

解得：04=1,

故答案为：1.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、勾股定理是解题的关键.

13.（2022•江苏泰州・统考中考真题）如图上，AABC中/C=9（Γ,4C=8,BC=6,0为内心，过点。的直线

分别与AC、AB相交于。、E,若DE=CD+BE,则线段8的长为.

【答案】2或*栉或2

【分析】分析判断出符合题意的。E的情况，并求解即可；

【详解】解：①如图，作。E〃BC,OF1BC,OGLAB,连接OB,贝!∣OD_1AC,

∙.'DE∕∕BC,

LOBF=乙BoE

：。为&4BC的内心，

：.乙OBF=∆OBE,

.∖∆BOE=乙OBE

：.BE=OE,

同理，CD=OD,

.".DE=CD+BE,

2222

AB=yJBC+AC=√6+8=10

：。为ΔΛBC的内心，

：.0F=OD=OG=CD,

：.BF=BG,AD=AG

：.AB=BG+AG=BC-CD+AC-CD=6-CD+8-CD=10

ΛCD=2

②如图，作。E_L4B,

由①知，BE=4,AE=6,

9Jz-ACB=Z.AED,乙CAB=乙EAD

/.AABC〜AADE

.AB_AD

**AC~AE

・

・・.CABAE10X615

AD=--A--C--=---8--=——2

.∖CD=AC-AD=8--2=-2

"：DE=>JAD2-AE2=J(y)2-62=|

1Q

：

.DE=BE+CD=4+-2=-2

.∖CD=-2

故答案为：2或a

【点睛】本题主要考查三角形内心的性质、勾股定理、三角形的相似，根据题意正确分析出符合题意的情

况并应用性质定理进行求解是解题的关键.

14.(2022•江苏泰州•统考中考真题)如图，出与。。相切于点A,尸。与G)O相交于点点C在AmB上，

且与点4,B不重合，若/Q26。，则/C的度数为°.

【答案】32

【分析】连接OA,根据切线的性质和直角三角形的性质求出/。=64。.再根据圆周角的定理，求解即可.

【详解】解：连接04

,.・必与。。相切于点A,

J.ZPAO=90o,

：•ZO=90o-ZP,

VNP=26。,

：・NO=64。，

ΛZC=iZO=32o.

2

故答案为：32.

【点睛】此题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是正确利用切线的定理，作出辅助线，求出

NO的度数.

15.（2021•江苏泰州•统考中考真题）如图，平面直角坐标系Xoy中，点4的坐标为（8,5）,。4与X轴相

切，点P在y轴正半轴上，PB与OA相切于点B.若NAPB=30。，则点P的坐标为一.

【答案】（0,11）.

【分析】连接48,作AeX轴，AC1y,根据题意和30。直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆

和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标.

【详解】如下图所示，连接A8,作"）Ld∣⅛,ΛC±>-¾h,

：PB与。A相切于点B

：.ABVPB,

VZAPB=30°,ABYPB,

.".PA=2AB=2×5=10.

Vz.0=90。,NOC4=90。,ZjWo=90。，

.∙∙四边形ACOZ）是矩形，

点A的坐标为（8,5）,

所以AC=OD=8,Co=A55,

在Rt∆PACtV,PC=yJPA2-AC2=√102-82=6.

如图，当点P在C点上方时，

.∙.0P=0C+CP=5+6=11,

二点P的坐标为(0,11).

【点睛】此题考查了勾股定理，30。角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助

线.

16.(2021•江苏南通・统考中考真题)如图，在AABC中，AC=BC,∆ACB=90°,以点A为圆心，AB长为

半径画弧，交AC延长线于点£>,过点C作CE〃4B,交KD于点E,连接BE,则案的值为.

【答案】曰.

【分析】连接AE,过作AFJ_AB,延长EC交4F于点凡过E作EGLBC于点G,设AC=BC=",求出AF=CFWa，

由勾股定理求出CE,再由勾股定理求出BE的长即可得到结论.

【详解】解：连接AE过作AbLAB延长EC交A尸于点R过E作EGJ_BC于点G,如图,

设AC=BC=af

V∆ACB=90°

：.AB=y∕AC2÷BC2=√2α,∆CAB=∆CBA=45o

ΛΛF=√2α,∆CAF=45o

∙√CE//AB

:,乙ECB=乙CBA=45°

λJz-ACB=90°

.∖∆ACF=45

."AFC=90°

：.AF=CF=-AC=-a

22

设CE=x,则尸E=当α+X

在RmAFE中，AF2+EF2=AE2

∙*∙(ɪɑ)2+(γa+x)2=(√2a)2

解得，Xl=/a,热=W^a(不符合题意，舍去)

..CE=-------a

2

4ECB=45。,ZEGC=90。

：.Z.CEG=45°

l

•rrr.cx∕2r,c,∖[2∖6-yf2y/3-l

2222

：.BG=BC-CG=--a=-a

a22

在RfABGE中，BG2+GE2=BE2

'-BE=JAIa)2+(等α)2=(√3-l)α

V6-√2—

・CE_-^―Q_√2

・・§£一(√3-l)α―2

故答案为：¥.

【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助

线构造直角三角形是解答此题的关键.

三、解答题

17.(2022•江苏徐州•统考中考真题)如图，如图，点4、8、C在圆。上，乙4BC=60。，直线ADllBC,AB=AD,

点O在3。上.

(1)判断直线40与圆O的位置关系，并说明理由;

(2)若圆的半径为6,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)直线Ao与圆O相切，理由见解析

(2)12π-9√3

【分析】(1)连接。4,根据4D∣∣BC和AB=AQ,可得NQBC=NABD=N£>=30。，从而得到/BAD=120。，再

由OA=OB,可得/8Ao=NABz)=30。，从而得到N。W=90。，即可求解；

(2)连接。C,作。HLBC于，，根据垂径定理可得。H=3OB=3,进而得到BC=2BH=6次，再根据

阴影部分的面积为S扇形BoC-SABOC，即可求解.

【详解】(1)解：直线AO与圆O相切，理由如下：

如图，连接OA,

,,"AD∖∖BC,

：.ZD=ZDBCf

VAB=AZ),

・・・ND=NABD,

∖'∆ABC=60°,

：.NDBC=NABD=ND=30。,

ΛZBAD=120o,

•：OA=OBt

,NBAO=NABD=30。，

.♦・ZOAD=90o,

：.OALAD,

・・・。4是圆的半径，

・・・直线A。与园。相切，

(2)解：如图，连接OC作。H_L5C于H,

YOB=OC=6,

：.NOCB=/OBC=30。,

o

：.ZBOC=UOf

：.0H=-0B=3,

2

：.BH=VfiO2-OH2=3√3,

：.BC=2BH=6√3,

.∙∙扇形BOC的面积为'ofx”=12π,

360

'；SAe)BC=1BC,OH=I×6Λ∕3×3=9y∕3,

...阴影部分的面积为S扇形B。C一SABoC=12兀-9√3.

【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得

到阴影部分的面积为S扇形BoC-SABoC是解题的关键•

18.（2020•江苏盐城・统考中考真题）如图，点。是正方形，4BCD的中心.

BI---------------1C

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E（异于点。），使得EB=EC;（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接EB、EC、E。,求证：乙BEO=乙CEO.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解：

（2）根据题意证明AEBOWAECO即可求解.

【详解】（1）如图所示，点E即为所求.

（2）连接。8、OC

由(I)得：EB=EC

■■。是正方形力BCC中心,

.,∙OB=0C,

.∙.½ΔEF0⅛∆EC。中,

(EB=EC

<E0=EO

∖0B=OC

∙,∙ΔEBO=ΔECO（SSS）,

.∙.Z.BEO=∆CEO.

【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等

三角形的判定与性质.

19.（2020•江苏南京•统考中考真题）如图，在△4BC中，AC=BC,D是AB上一点，OO经过点A、C、

D,交BC于点E,过点D作DF〃BC,交OO于点F,求证：

（1）四边形DBCF是平行四边形

(2)AF=EF

【答案】（1）证明见解析：（2）证明见解析

【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明/BAC=48,利用平行线证明44DF=4B,利用圆的性质证明

∆BAC=乙CFD,再证明BD〃CF,即可得到结论；

（2）如图，连接4E,利用平行线的性质及圆的基本性质乙4EF=NB,再利用圆内接四边形的性质证明

∆EAF=Z.B,从而可得结论.

【详解】证明：（1）AC=BC,

∙∙∙Z.BAC=/.B,

■■■DF//BC,

∙∙∙/-ADF=/.B,

y,∆BAC=乙CFD,

.∙./.ADF=乙CFD,

.∙.BD//CF,

四边形DBCF是平行四边形.

（2）如图，连接4E

V∆ADF=ZF,∆ADF=∆AEF

・•・∆AEF=乙B

*/四边形AECF是。。的内接四边形

.∙.Z.ECF+Z.EAF=180°

BD//CF

乙ECF+48=180°

ʌ∆EAF=乙B

.∙.∆AEF=Z.EAF

：.AF=EF

【点睛】本题考查平行四边形的判定，圆的基本性质，平行线的性质与判定，等腰三角形的性质，圆内接

四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键.

20.(2022.江苏淮安.统考中考真题)如图，△4BC是O。的内接三角形，∆ACB=60°,4。经过圆心。交O。

于点E,连接BD,ZJWB=30。.

(1)判断直线BD与O。的位置关系，并说明理由;

(2)若4B=4H,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)直线BD与O。相切，理由见解析

(2)图中阴影部分的面积8g-詈

【分析】(I)连接BE,根据圆周角定理得到NAEB=ZC=60。，连接。B,根据等边三角形的性质得到NBoD=

60°,根据切线的判定定理即可得到结论：

（2）根据圆周角定理得到NABE=90。，解直角三角形得到。B,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结

论.

【详解】（D解：直线BD与。。相切,

理由：如图，连接8E,

VZ.ACB=60°,

.∖∆AEB=NC=60。，

连接OB,

VOB=OC,

.∙.AOBE是等边三角形，

LBOD=60°,

V∆ADB=30°,

：.4OBD=180°-60°-30°=90°,

：.OB1BD,

是。。的半径，

二直线BD与。。相切；

(2)解：如(1)中图，

是。。的直径,

.∖∆ABE=90°,

∖'AB=4√3,

sinZJlEB=sin60o=—==—,

AEAE2

：.AE--8,

：.OB=4,

VOBIBD,∆ADB=30o

tan∆ADB=tan30o=—=—»

BD3

：.BD=—,

3

，图中阴影部分的面积=SAOBP-S扇形BQ*=4x4x4百一嗤竺=8百一黑

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，扇形面积的计算,

正确地作出辅助线是解题的关键.

21.（2022・江苏无锡•统考中考真题）如图，边长为6的等边三角形A8C内接于。。，点。为AC上的动点

（点A、C除外），BD的延长线交。O于点£,连接CE.

⑴求证^CEDBAD；

（2）当。C=24。时，求CE的长.

【答案】（1）见解析

（2）CE=γ√7

【分析】（I）根据同弧所对圆周角相等可得NA=NE,再由对顶角相等得NBZM=4CDE,故可证明绪论;

（2）根据DC=24D可得4。=2,CD=4,由4CEDB4D可得出Bo∙DE=8,连接4E,可证明△ABDS

ΔEBA,得出AB?=BDBE=BD2+BD-BE,代入相关数据可求出BO=2√7,从而可求出绪论.

【详解】（D：邱所对的圆周角是乙1,4E,

Λ∆A—Z.E,

又4BZM=LCDE.

.*.ΔCEDSSBAD；

（2）∙..A48C是等边三角形,

：.AC=AB=BC=6

VDC=2∕1D,

.∖AC=3ADf

：.AD=2,DC=4,

9

JLCED^LBADt

.AD_BD_AB

・∙DE-CD一CE'

.2BD

•.一=一,

DE4

；・BD∙DE=8;

连接4瓦如图，

9

：AB=BCt

：.AB=既

：.ZBAC=LBEA1

又NABD=∆EBAf

：./XABD〜AEBA,

・ABPD

•∙

BEAB

22

.".AB=BD∙BF=BD∙（BD+DE）=BD+BD-DE1

Λ62=FD2+8,

：.BD=2√7（负值舍去）

・——竺

∙,CF=~Γ,

解得，CE=£夕

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键.

22.(2022•江苏苏州・统考中考真题)如图，AB是O。的直径，AC是弦，。是AB的中点，C。与48交于点

E.F是AB延长线上的一点，且CF=EF.

(1)求证：C尸为oO的切线；

(2)连接8。，取8。的中点G,连接AG.若CF=4,BF=2,求AG的长.

【答案】(1)见解析

(2)½G=∣√10

【分析】(1)方法一：如图1,连接。C,OD.⅛ZOCD=∆ODC,FC=FE,可得NoED=4FCE,由ZB是

。。的直径，O是肪的中点，NDoE=90。，进而可得NOCF=90。，即可证明C尸为0。的切线；

方法二：如图2,连接OC,BC.设NCAB=x。.同方法一证明NoCf=90。，即可证明CF为。。的切线;

(2)方法一：如图3,过G作GHJ.48,垂足为H.设。。的半径为r,则0F=r+2.在∕⅛AOCF4J,

勾股定理求得r=3,证明GHiIn。，得出ABHGsBOD,根据瞿=络求得BH,GH,进而求得ZH,根据勾

BOBD

股定理即可求得/G；

方法二：如图4,连接AD由方法一，得r=3./IB=6,。是AB的中点，可得/D=BD=3√Σ根据勾

股定理即可求得4G.

【详解】⑴(1)方法一：如图1,连接OGOD.

OC=ODf

."OCD=乙ODC.

YFC=FE,

：.Z-FCE=乙FEC.

♦:乙OED=乙FEC,

"OED=LFCE.

TAB是。。的直径，。是AS的中点,

ΛzD0E=90o.

ΛZ.0FD+z0DC=90o.

/.Z.FCE÷∆OCD=90°,即NoCF=90o.

ΛOC1CF.

,CF为。。的切线.

D

图1

方法二：如图2,连接OGBC.设4CAB=%。.

:SB是。。的直径，。是脑的中点，

LACD=乙DCB=45°.

CEF=∆CAB+Z.ACD=(45+x)°.

VFC=FE9

.∖∆FCE=乙FEC=(45+X)°.

.∖∆BCF=xo.

VOA=OCf

.∖∆ACO=∆0AC=xo.

:,乙BCF=∆ACO.

TAB是O。的直径，

.∖∆ACB=90°.

ΛzOCβ÷Zi4CO=90o.

O

.∖∆OCB+∆BCF=909BPZOCF=90°.

：.0C1CF.

・・.”为。。的切线.

图2

(2)解：方法一：如图3,过G作GH_L48,垂足为”.

设O。的半径为一，则OF=T+2.

在放AOCE中，42+r2=(r+2)2,

解之得r=3.

VGH1AB9

LGHB=90°.

VzDOF=90°,

：.Z.GHB=Z.DOE.

JGHIIDO.

・•・△BHG〜BOD

.BH_BG

■•茄一'BD'

IG为5。中点,

：.BG=-BD.

2

.".BH=-B0=-,GH=-OD=-.

2222

QQ

.∖AH=AB-BH=6--≈-.

22

.MG=WH2+AH2=J(∣)2+ɑ)2=∣√10.

图3

方法二：如图4,连接AZX由方法一，得r=3.

是。。的直径，

.,.∆ADB=90°.

'：AB=6,。是48的中点，

：.AD=BD=3√2.

：G为BD中点，

：.DG=-BD=-42.

22

：.AG=y∕AD2+DG2=J(3√2)2+(∣√2)2=∣√10.

【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键.

23.（2022•江苏泰州•统考中考真题）如图①，矩形ABC。与以E尸为直径的半圆。在直线/的上方，线段

AB与点E、尸都在直线/上，且AB=7,EF=IO,805.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线

EF方向运动矩形ABC。随之运动，运动时间为■秒

DD

图①图②图③

(1)如图2,当r=2.5时，求半圆。在矩形ABC。内的弧的长度；

(2)在点B运动的过程中，当AD.BC都与半圆O相交，设这两个交点为G、〃连接OG,0H.若/GOH为

直角，求此时f的值.

【答案】(1咛

(2)8或9秒

【分析】(1)通过计算当U2.5时EB=B0,进而得到AMBE咨判断出△MEO为等边三角形得到

ZEOM=ωo,然后根据弧长公式求解；

(2)通过判定4GAogAHBO,然后利用全等三角形的性质分析求解.

【详解】(1)解：设8C与OO交于点M,如下图所示：

VEF=IO,

.∙.0E±EF=5,

2

・・・OB=25,

LEB=OB,

在正方形ABCD中，NEBM=NOBM=90。，且MB=MB,

/.∕∖MBE验AMBO(SAS),

：・ME=MO,

：・ME=EO=MO,

∙∙∕∖M0E是等边三角形，

JNEoM=60。,

.ɛɪʃ,60π×55π

・M⅛=----------=——.

1803

(2)解:连接Go和HO,如下图所示:

o

・•・ZAOG+ZBOH=90f

∙/ZAOG÷ZAGO=90o,

/.ZAGO=ZBOH,

Z-AGO=(BoH

在AAGO和AOBH中，∖∆GAO=∆HBO=90°,

OG=OH

：.∆AGO^∆BOH(AAS)f

.".AG-OB-BE-EO=t-5,

：.AE=BE-AB=t-l,

：.AO=EO-AE=5-(t-l)=12√,

在RtZMGO中，AG2+AO2=OG2,

Λ(Z-5)2+(12-∕)2=52,

解得：0=8,〃=9,

即f的值为8或9秒.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定(一

线三垂直模型)，结合勾股定理列方程是解题关键.

24.(2022•江苏宿迁•统考中考真题)如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点称

为格点，点4、B、C、D、M均为格点.

【操作探究】在数学活动课上，佳佳同学在如图①的网格中，用无刻度的直尺画了两条互相垂直的线段48、

CD,相交于点P并给出部分说理过程，请你补充完整：

解：在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是AABC和ACDE.

在RfAABC中，tan∆BAC=1

在MACDE中，>

所以tanN84C=tanzDCE.

所以NB4C=NDCE.

因为NACP+ZDCE=ZACB=90。,

所以N4CP+ZBAC=90°,

所以NZPC=90°,

即AB_LCD.

(1)【拓展应用】如图②是以格点。为圆心，4B为直径的圆，请你只用无刻度的直尺，在丽上找出一点P,

使厢=加，写出作法，并给出证明：

(2)［拓展应用】如图③是以格点。为圆心的圆,请你只用无刻度的直尺,在弦48上找出一点尸.使4M2=AP√1B,

写出作法，不用证明.

【答案】(l)tanzDCE=：；见解析

(2)见解析

【分析】(1)取格点N,作射线AN交时于点P,则ANIM。根据垂径定理可知I,点?即为所求作；

(2)取格点/,连接交AB于点P,点尸即为所求作.利用正切函数证得NFM/=/MNA,利用圆周角定

理证得NB=NMNA,再推出△物MSAMAB,即可证明结论.

(1)

解：【操作探究】在网格中取格点E,构建两个直角三角形，分别是AABC和△口?£

在RfAABC中，tanΛBAC=|

在M△(7£>E中，tanN"CE=%

所以tanZ∙B4C=tan∆DCE.

所以/84C=/DCE.

因为乙4CP+ZDCE=ZACB=90°,

所以/4CP+ZBAC=90。，

所以NZPC=90。，

即AB_LCD.

故答案为：tan∕DCE=}

图②

VtanzMOD=-,tan∆NAC=二

33

・・.乙MOD=乙NAC

V乙NAC+乙ANC=90°

・•.∆ANC+乙DOM=90°

・•・AN1OM

ΛAM=PM

(2)

解：取格点/,连接M/交A8于点P,点P即为所求作：

证明：作直径4N,连接区W、MN,

在Rt∆,FMIr↑1,tan∆FMI=ɪ,

3

在RfZVWNA中，tan∕MM4=工，

3

所以tanzʃʌf/=tanzM∕Vi4.

：.ZFMI=ZMNA9

,.∙NB=NMNA,

：.NAMP=NB,

'：ZPAM=ZMAB,

Λ∆MΛ∕∞∆Λ∕ΛB,

.PA_AM

,'AM-AB'

：.AM2^AP-AB.

图③

【点睛】本题考查作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

25.（2021•江苏无锡・统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于。0,AC是。。的直径，AC与BD交于点E,

PB切。。于点B.

（1）求证：Z.PBA=乙0BC；

（2）若NPBa=20o,Z.ACD=40°,求证：△CMBCDE.

【答案】（D见详解；（2）见详解

【分析】（1）由圆周角定理的推论，可知乙48C=90。，由切线的性质可知/O8P=90。，进而即可得到结论；

（2）先推出4。CB=4OBC=20。，从而得NAoB=40。，继而得NOAB=70。，再推出NCQE=70。，进而即可

得到结论.

【详解】证明：（1）;AC是。。的直径，

/.ZΛβC=90o,

《PS切。。于点5,

/.NoBP=90。,

ΛZ.PBA÷Z.ABO=乙OBC+∆ABO=90°,

.∖∆PBA=∆OBC↑

(2)^∆PBA=20°,乙PBA=乙OBC,

."OBC=20。，

・.・OB=OC,

o

.∖∆OCB=∆OBC=20f

：.ZAOB=20o+20o=40o,

YOB=OAf

：.ZOAB=ZOBA=(180o-40o)÷2=70o,

，ZΛDB=iZΛOβ=20o,

2

•・FC是O。的直径，

.・・NAoC=90。，

ZCDE=90o-20o=70o,

：.ΛCDE=ZOAB,

9：∆ACD=40°,

o

.∖∆ACD=Z.AOB=40f

∙*∙ΔOABS匕CDE,

【点睛】本题主要考查圆的性质以及相似三角形的判定定理，掌握圆周角定理的推论，相似三角形的判定

定理，切线的性质定理，是解题的关键.

【限时检测】

B卷（模拟提升卷）

一、单选题

1.（2022•江苏镇江•模拟预测）如图，。。是△?!BC的外接圆，〃BO=35。，则NC的度数等于（）

C

A.35oB.45o

C.55oD.65o

【答案】C

【分析】连接4。，根据等边对等角得出N04B=∆0BA=35。，根据三角形内角和定理得出=180o-

2X35。=110。，根据圆周角定理即可求解.

【详解】解：如图，连接4。，

,."A0=BO,∆ABO=35°,

:./.0AB=∆OBA=35°,

Λ∆AOB=180o-2×35°=110°,

：.∆C=-AOB=55°,

2

故选：C.

【点睛】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

2.（2022•江苏扬州•校考二模）如图，A、。是。O上两点，BC是直径.若ND=35。，贝此。4B的度数是（）

A.70oB.65oC.55oD.35°

【答案】C

【分析】先根据圆周角定理求得乙4。B的度数，再根据40=。B求得乙。48的度数即可.

【详解】VzD=35。，

.".∆A0B=24。=2×35°=70°,

∖'AO=OB,

：.Z.OAB=LOBA=ɪ×（180o-70°）=55°,

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，在同圆中，同弧所对的圆周角度数等于圆心角度数

的一半.

3.（2022•江苏淮安・统考模拟预测）如图，AB是。。的直径，点C,力在。。上，若NQ=Il0。，则/BAC

的度数为（）

A.20oB.35oC.55oD.90°

【答案】A

【分析】利用圆内接四边形的性质求出/8,再利用圆周角定理求出Ne48即可.

【详解】解：；NADC+NB=180°,ZADC=IlO0,

ΛZABC=JOa，

,YB是直径，

ΛZACB≈90o,

ΛZCAB=20°.

故选：A.

【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考

常考题型.

4.（2021.江苏南通・统考一模）RfAABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4.把它沿AC所在直线旋转一周，所

得几何体的全面积为（）

A.16兀B.20τrC.36πD.40π

【答案】C

【分析】先利用勾股定理得AB=5,由于aAABC沿边4C所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥

的母线长为5,底面圆的半径为4,然后计算它的侧面积和底面积的和即可.

【详解】在RtAA3C中，ZC=90o,AC=3,8C=4,

.∙.A8=√32+42=5,

,.∙把Rt∆ASC绕边AC所在直线旋转一周，

所得的几何体的全面积为：底面半径为4,母线长为5