2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州市拱墅区八年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.在平面直角坐标系中，点（-1,2）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.某市身高不超过1.2机的儿童可以免费乘坐公共汽车，若可以免费乘坐公共汽车儿童的身高为九（zn）,则

（）

A.h>1.2B.h<1.2C.h>1.2D.h<1.2

3.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A.lcm,2cm,3cmB.2cm,2cm,4cm

C.3cm,4cm,5cmD.3cm,4cm,8cm

4.下列命题是真命题的是（）

A.同旁内角互补B.一个锐角与一个钝角的和是一个平角

C.相等的角为对顶角D.全等三角形的对应角相等

5.等腰三角形的一个内角为40。，那么它的底角是（）

A.40°或70°B.70°C.40°D.100°

6.若一gx>y,贝！］（）

A.x<—2yB.2x<yC.2%+y>0D.%+2y>0

7.已知4（2,a）,8（仇一3）是平面直角坐标系上的两个点，48〃%轴，且点B在点/的右侧.若48=5,则（）

A.a=-3,b=-3B.a=-3,b=7

C.a=2,b=2D.a=-8,b=2

8.已知正比例函数y=-2%的图象与一次函数y=收一2/c（々为常数，kW0）的图象交于点/（犯一1）,若

（fc+2）x>2k,则（）

11

A.%>-B.x>—1C.x<-D.x<-1

9.已知4B两地相距240/czn,甲，乙两车分别匀速从48两地出发，相向而行.甲车先出发，甲，乙两车

离3地的路程S（七n）与甲车行驶时间力（九）之间的函数图象如图所示,下列结论：①甲车的平均速度是60千米/

小时；②乙车的平均速度是80千米/小时；③乙车从8地到4地用了3.5小时，正确的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

10.如图，已知4B〃CD,乙4CD=70。，CE平分立AC。交AB于点E,点P为线段

CE上一点，NC4P与NEAP度数之比为晨若AACP为直角三角形，且4P>PE,

则k的值为()

A.1B弓T或1D.叫

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.点P(l,-1)关于x轴对称的点的坐标为P'.

12.如图，在△ABC中，44=60。，NB=50。，CD平分NACB交4B于点

D,则乙4CD=

13.如图，C岛在4岛的北偏东50。方向，且C岛在B岛的北偏西40。方向，则

Z.ACB=°,

14.小马用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件，已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，那么小马最多能买支

______钢笔.

15.在平面直角坐标系中，点力(山,?2),点B(n,ni)和点C(?n+n,t)都在一次函数y=kx+b(k,6是常数，k丰

0)的图象上，其中小十几，则t的值为

16.如图，在ABED中，BC1DE于点C,点2在BE上，连接力C,已知AB=AC=2,

CD=1.若/ABC+2/.CBD=90°,贝!=，BD=

三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题6分)

A4BC在直角坐标系中的位置如图所示.

(1)写出点4B,C的坐标;

(2)把AABC先向下平移4个单位长度，再向左平移2个单位长度，作出平移后的并写出点Bi的

坐标.

18.(本小题8分)

5%+2>3%—2

,并将解集表示在数轴上.

{---+1

19.(本小题8分)

如图，AABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,使CE=CD.

(1)求证：DB=DE；

(2)设ABC。的面积为品，ACDE的面积为S2，求SrS2的值.

20.(本小题10分)

点4Q,y)在第一象限，且x+y=8,点B(6,0),设AAOB的面积为S.

(1)用含％的式子表示S,并写出x的取值范围;

(2)画出这个函数的图象；

(3)当尤＞3时，求S的取值范围.

21.(本小题10分)

如图，在△力BC中，4D1BC于点D,AD=BD,点E在4D上，DE=DC,连接BE.M,N分别是BE,AC

的中点，连接MN,ND,MD.

⑴求证：ABEDWAACD；

(2)求证：AMND是等腰直角三角形；

(3)若DC=1,4ABE=15°,求MN的长.

A

22.(本小题12分)

在平面直角坐标系中，设一次函数y=ax-2a-l(a为常数，且aKO).

(1)若函数图象过坐标原点，求a的值.

(2)已知该函数图象经过第一，三，四象限.

①求a的取值范围.

②点4(zn,匕)和点B(n,0)在该函数图象上，若m-n=2,tr+t2>-2,求证：n>1.

23.(本小题12分)

如图，在AABC中，AB=AC,ACAB=90°,在4C的右侧作锐角三角形4CD,使力C=AD,连接BD交AC

于点。，过点C作CE1BD于点E,连接4E.

(1)求证：乙ABE=乙4CE；

(2)求证：is.ACE=^ADE-,

(3)若ZE=DE=1,求力D的长.

0

B

答案和解析

1.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号特点是解决问题的关键，四个象

限的符号特点分别是：第一象限(+,+);第二象限(一,+)；第三象限(-,-)；第四象限(+,-)。

【解答】

解：•・・点(一1,2)中，横坐标一1<0,纵坐标2>0,

点(—1,2)在第二象限。

故选及

2.【答案】D

解：由题意可得拉<1.2,

故选：D.

根据题意列得不等式即可.

本题考查列不等式，理解题意并列得正确的不等式是解题的关键.

3.【答案】C

解：4、1+2=3,长是lcm、2cm>3cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；

B、2+2=4,长是2cm、2cm、4cm的线段不能组成三角形，故8不符合题意；

C、3+4>5,长是3cm、4cm>5cm的线段能组成三角形，故C符合题意；

D、3+4<8,长是3on、4cm、8cm的线段不能组成三角形，故。不符合题意.

故选：C.

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的

长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断.

本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理.

4.【答案】D

解：两直线平行，同旁内角互补，

故A不符合题意；

一个锐角与一个钝角的和不一定是平角，

故B不符合题意；

相等的角不一定为对顶角，

故C不符合题意；

全等三角形的对应角相等，

故。符合题意；

故选：D.

根据平行线的性质、平角的定义、对顶角定义、全等三角形的性质判定求解即可.

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大.

5.【答案】A

解：当40。的角为等腰三角形的顶角时，

底角的度数=喀%=70。；

当40。的角为等腰三角形的底角时，其底角为40。，

故它的底角的度数是70。或40。.

故选：A.

由于不明确40。的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分40。的角是顶角和底角两种情况讨论.

此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确40。的角是等腰三角形的底

角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想.

6.【答案】A

解：A、•・,--x>y,

•••x<-2y,故本选项符合题意；

B、•・•--%>V,

2/

/.2x<-4y,故本选项不符合题意；

C「、v--1x>、y,

2%+4y<0,故本选项不符合题意；

D、•・,--%>V,

2/

x+2y<0,故本选项不符合题意；

故选：A.

根据不等式的性质逐个判断即可.

本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（

或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正

数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改

变.

7.【答案】B

解：•••4(2,a),且AB=5,且48〃x轴，

•••a=-3,6—2=5,

解得：a=-3,b=7,

故选：B.

由4与B的坐标，根据4B与乂轴平行，确定出a的值，根据力8=5求出b的值即可.

此题考查了坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

8.【答案】A

解：把力(ni,-1)代入y=-2%,得m=

.・•温，T).

,••—*次函数y=々X-2々=々(％-2)过定点(2,0),结合图象易知，k>0.

•：(k+2)x>2k,

kx—2k>—2%,

结合图象可得比*.

故选：A.

先利用正比例函数解析式确定力点坐标，即可利用待定系数法求得小的值，然后观察函数图得到当x<1

时，y=k久-2k的图象都在直线y=-2x的上方，由此得到不等式(k+2)x>2k的解集.

本题主要考查一次函数的交点与不等式的关系，解题的关键是将不等式问题转化为函数的交点问题，判断

出一次函数y=kx-2k的大致走向，结合图象求解.

9.【答案】A

解：由图象可得，甲车从4地到B地共用时4小时，

甲车的平均速度为240+4=60(千米/小时)，

故①正确；

由图象知，当t=2时，两车相遇，

此时甲行驶的路程为60X2=120(千米)，

即甲车距离B地为240-120=120(千米)，

・••乙行驶的路程为120千米，

•••乙车的速度为120+（2—0.5）=80（千米/小时）,

故②正确；

乙车从B地到4地用了240+80=3（小时），

故③错误.

故选：A.

由图象可知甲4小时行驶的路程，用速度=路程+时间即可求出甲的速度；通过甲2小时行驶的路程可求出

乙1.5小时行驶的路程，再用速度=路程+时间可求出一的速度；用总路程+乙的速度即可求出乙走完全程

所用时间.

本题考查一次函数的应用，关键是掌握速度、路程、时间的关系的运用.

10.【答案】B

解：设NE4P=%,贝UNCAP=kx.

•.•CE平分41C。，/-ACD=70°,

/.ACE=乙ECD=35°,

AB//CD,

.­.乙AEP=4ECD=35。，

•・,AP>PE,

・•.Z,EAP<乙AEP,

即工<35°,

・•.Z.APC=LEAP+乙AEP=%+35。V70°,

•・•△4CP为直角三角形，

kx=90°,

•••”CP+^APC=90°,

即35°+久+35°=90°,

解得x=20°,

/c=I，

故选:B.

设NEAP=x,贝此a4P=丘.根据角平分线定义及平行线的性质求出乙4EP=Z.ECD=35。，根据题意求出

x<35°,进而推出乙4PC<70°,则/CAP=kx=90°,据此求解即可.

本题综合考查了平行线的性质、角平分线的定义、直角三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键

是由2P>PE判断出4ape的取值范围，得到“4P为直角.

n.【答案】(1,1)

解：点P(L-1)关于x轴对称的点的坐标为

故答案为：(1,1).

根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可直接得到答案.

此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

12.【答案】35

解：乙4=60°,乙B=50°,

•••乙4cB=4180°—乙4—NB=70°,

•••CD平分4ACB,

.­./.ACD=jzXCB=35。.

故答案为：35.

由三角形内角和定理求出乙4cB=4180。-AA-AB=70°,由角平分线定义得到乙4CD=^ACB=35°.

本题考查三角形内角和定理，角平分线定义，关键是由角平分线定义得到44CD=2乙4cB.

13.【答案】90

解：如图，过C作CD〃4E,

匕ACD=Z.CAE=50°,

•••AE//BF,

・•.CD//BF,

・•・乙BCD=Z.CBF=40°,

••・乙ACB="CD+乙BCD=90°,

故答案为：90.

过C作C。〃/E,根据平行线的性质即可得到结论.

本题考查了平行线的性质，方向角，正确地作出辅助线是解题的关键.

14.【答案】13

解：设小马能买%支钢笔，则可购买(30-％)本笔记本.

2(30-x)+5x<100,

解得，

・••购买的钢笔为整数，

；・最多购买钢笔13支，

故答案为：13.

根据题意可以列出相应的不等式，从而可以得到小马最多购买多少支钢笔.

本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式.

15.【答案】0

解：将A,B,C的坐标分别代入y=々％+力，

mk+b=兀，①

nk+b=m,(2),

{(m+n)k+b=t，③

①—②得(TH—n)k=n—m,

•••mn,

k.=-1.

由①+②可得(zn+n)k+2/?=m+n,

把左——1代入，

解得nt+n=b.

再把々=-1,m+n=b代入③，

解得t=0.

故答案为：0.

分别把4B、C三点的坐标代入函数中，再解方程求出t的值.

本题考查了一次函数点的坐标特征，关键用代入法来解答.

16.【答案】22/2

解：vAB=AC,

(ABC=Z-ACB.

BC1DE,

・•・乙BCE=90°.

・•・乙E+乙EBC=90°,/-ACE+乙ACB=90°,

•••Z.E=/.ACE,

AE=AC=AB=2,

设IE=Z,ACE=%,贝！JN/CB=/.ABC=90°-x.

•••乙ABC+2乙CBD=90°,

1

•••Z.CBD--%,

1

・••/.ABD=Z.ABC+乙CBD=90°-^%=ZD,

DE=BE=AB+AE=4,

・•.CE=DE-CD=3.

在Rt△BCE中，BC=yjBE2-CE2=V42-32=口

：.BD=VBC2+CD2=272.

故答案为：2,2，a.

根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质得到NE=NACE,得到4E=2C=2,设NE=N2CE=x,根

据题意得到N4BD=90°=小再根据勾股定理计算即可.

本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的性质，解题的关键是

灵活运用“等边对等角”以及“等角对等边”的性质，由已知的边、角相等关系得到未知的边、角之间的

相等关系.

17.【答案】解：(1)由图可得，4(2,4),C(5,0).

(2)如图,A&B1G即为所求.

B](—1,-3).

【解析】(1)由图可得答案.

(2)根据平移的性质作图，即可得出答案.

本题考查作图-平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键.

'5%+2>3%-2①

18.【答案】解:

字2个+1②

解不等式①得：x>—2,

解不等式②得：x<-l,

・•.不等式组的解集为：一2〈久W—1,

表示在数轴上，如图所示:

△IA

-4-3-2-I01234

【解析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后将解集表示在数轴上即可.

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

19.【答案】(1)证明：・・・△ABC是等边三角形，是中线,

・•.Z.ABC=乙ACB=60°,80平分乙48C,

11

・•・乙DBC=^ABC=ix60°=30°.

CE=CD,Z-ACB=Z-E+乙CDE,

・•・乙E=乙CDE=^ACB=1x60°=30°,

••・(DBC=Z.E=30°,

BD=DE；

(2)解：过点。作DMIBC,如图所示.

11

贝"1=加0£)〃，S2-DM.

由⑴可知：CE=CD=^BC,

・•・Si：S2=BC：CE=2.

【解析】(1)利用等边三角形的性质及三线合一，可得出NDBC的度数，由CE=CD及三角形的外角性质,

可求出NE的度数，由ADBC=ZE=30。，可证出BD=DE；

(2)过点D作。M1BC,利用三角形的面积公式，可得出SiS2=-CE-DM,结合CE=

即可求出SI：S2的值.

本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及三角形的面积，解题的

关键是：(1)根据各角之间的关系，找出NDBC=NE=30。；(2)利用三角形的面积公式，找出Si：52=

BC-.CE.

20.【答案】解：(1)•••点4(x,y)在第一象限，且久+y=8,

二点4在线段y=8-x(0<x<8)上，

•・•8(6,0),AAOB的面积为S,

S=：x6(8—x)——3x+24(0<x<8)；

(2)S=—3x+24(0<x<8)的图象是经过(0,24),(8,0)的一条线段(不包括端点)，如图:

(3)当x=3时，S=-3X3+24=15,

・•,S随久的增大而减小，且S>0,

当久>3时，0<S<15.

1

X

【解析】(1)由点A(x,y)在第一象限，x+y=8,可得点力在线段y=8-x(0<x<8)上，即得S2-

6(8—x)=—3x+24(0<%<8)；

(2)直线S=-3久+24经过(0,24),(8,0),据此可画出图象；

(3)当％=3时，S=-3x3+24=15,由一次函数性质即可得当%>3时，0<S<15.

本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是读懂题意，掌握三角形面积公式列出函数关系式.

21.【答案】(1)证明：•••4D1BC,

•••4BDE=^ADC=90°,

在ABED和△4CD中，

BD=AD

4BDE=^ADC,

,DE=DC

.^BED=^ACD(SAS)；

(2)证明：•・•点M、N分别是BE、AC的中点，^BDE=^ADC=90°,

1i

...DM=BM=”E,DN=AN=豺C,

由(1)得：ABEDZAACD,

BE=AC,Z.EBD=Z.CAD,

DM=BM=DN=AN,

・•.Z.EBD=乙MDB,Z.CAD=乙ADN,

又•・•乙EBD=Z.CAD,

・•・乙EBD=乙MDB=Z.CAD=乙ADN,

•・•Z-MDB+乙MDE=2BDE=90°,

・•・乙NDA+Z-MDE=90°,

即乙MIW=90°,

又•・•DM=DN,

・•.△MNO是等腰直角三角形；

(3)解：•・•AD=BD,AD1BC,

・•・4ABD=Z.BAD=45°,

•・•乙ABE=15°,

・•・乙EBD=乙ABD一匕ABE=45°-15°=30°,

DE=DC=1,

在中，Z.EBD=30°,

BE=2DE=2x1=2,

由(2)得：DM=|B£=1x2=l,△"可£)是等腰直角三角形，

MN=CDM=72X1=72.

【解析】(1)由S4S证得△BED三△AC。即可；

(2)由直角三角形斜边上的中线性质得DM=BM=：BE,DN=AN=汕,再由全等三角形的性质得

BE=AC,乙EBD=LCAD,贝UDM=BM=DN=AN,乙EBD=4MDB=4CAD=4ADN,然后证

/.NDA+ZMD£=90°,即可得出结论；

(3)先求出NEBD=30。，再由含30。角的直角三角形的性质得BE=2DE=2,然后由等腰直角三角形的性

质即可得出结论.

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边

上的中线性质以及含30。角的直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性

质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，属于中考常考题型.

22.【答案】（1）解：将（0,0）代入一次函数y=ax-2a-1,得0=—2a-l.

解得a=—

（2）解：①•.•函数图象经过第一、三、四象限，

-2d—1V0,

解得Q>0.

②证明：把点4（皿h）和点8（几,0）代入一次函数y=ax-2a-1,

得ti=am—2a—1,t2=an—2a—lf

•••L+力2=am+a几—4a—2,

,J>—2,

•••am+an—4a—2>—2,即am+an—4a>0,

a>0,

m+n—4>0,

m—n=2,

2+n+n—4>0,

n>1.

【解析】（1）根据一次函数的