高等数学（财经类） 课件 第四章 定积分

§4.1

定积分的概念和性质

第四章定积分CONTENT1

引例2

定积分的概念目录3

定积分的性质引例Chapter1

一、曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线,直线及

x

轴所围成的平面图形.问题：如何计算曲边梯形的面积

A？

一、曲边梯形的面积1.分割：在区间

中用

n-1个点分成

n

个小区间,记

将曲边梯形分成

n个小曲边梯形.令每个小曲边梯形的底边长为

一、曲边梯形的面积2.近似：讨论第i个小曲边梯形,记面积为,在区间

上任取一点,以

为高作一个小矩形,矩形的长为,高为,那么曲边梯形的面积

近似等于矩形面积,即

一、曲边梯形的面积3.作和：对于大曲边梯形来说,用同样的方法,将剩下的

n-1个小曲边梯形面积计算出来,然后作和即为大曲边梯形的面积,即

4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值就越来越接近于精确值

A.记,则当

时,所有小区间的长度

都趋于零,于是

二、收益问题问题：设某商品的价格是购买量Q的函数(其中Q为连续变量),当购买量从

a

变动到

b时的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1个点

把区间[a,b]分成

n

个小区间,每个购买量段

上的购买量为,相应的收益为

从而总收益为

二、收益问题2.近似：当

很小时,在小区间

上变化也很小,可近似看作价格不变,任取一点,把

作为该段的近似价格,因此该段的近似收益为3.作和：将n

段的收益加起来,即得收益R

的近似值4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值越来越接近于精确值

R.记,于是

二、收益问题共同点：曲边梯形的面积和收益问题的计算,都采取了“分割—近似—作和—取极限”这些步骤,从而转为相同结构和式的极限定积分的概念Chapter2

一、定积分的定义

一、定积分的定义积分和

一、定积分的定义

二、定积分存在定理

三、定积分的几何意义几何意义：

三、定积分的几何意义几何意义：定积分的性质Chapter3

一、定积分的性质性质1、2(线性性质)

(其中

为常数).性质3(积分可加性)

一、定积分的性质性质4如果在区间

上,,则

性质5如果在

上,,则

性质7性质6如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质8如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质9(积分中值定理)设

在区间

上连续,则在区间

内至少存在一点

c,使得

注：数

称为函数

在区间

上的平均值.

几何解释

积分中值定理的几何意义在区间

上至少存在一点

使以区间

为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为

的矩形的面积.

练习例1

练习例2

小结小结小结谢谢！

§4.2

微积分基本定理

CONTENT1

积分上限函数及其导数目录2

微积分基本定理

引言积分学要解决的两个问题：一是原函数的求法问题；

二是定积分的计算问题.

如果我们要按定积分的定义来计算定积分,那将是十分困难的.因此,寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键.

引言

不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念,但是,牛顿和莱布尼茨发现并找到了这两个概念之间的内在联系,即所谓的“微积分基本定理”,并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径——牛顿—莱布尼茨公式.从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科——微积分学.积分上限函数及其导数Chapter1

一、积分上限函数变上限定积分

二、微积分基本定理

二、微积分基本定理

练习例3

练习例4

微积分基本定理Chapter2

一、微积分基本定理注：该定理称为微积分基本定理.

一、微积分基本定理

练习例5

练习例5

练习例6

练习例7

小结谢谢！

§4.3

换元积分法和分部积分法

CONTENT1换元积分法目录2

分部积分法

积分法换元积分法Chapter1

一、换元积分法

一、换元积分法

一、换元积分法例8

一、换元积分法例9

一、换元积分法例10

二、练习例11

一、换元积分法换元公式可以反过来使用:

二、练习重要结论对称区间上奇偶函数的定积分例12

二、练习例13分部积分法Chapter2

一、分部积分法

二、练习例14

二、练习例15

二、练习例16小结1、换元积分法2、分部积分法谢谢！

§4.4

定积分的应用

CONTENT1平面图形的面积目录2旋转体的体积3在经济上应用平面图形的面积Chapter1

一、元素法用定积分解决的问题的特点:所求量联系着一个基本区间所求量对区间具有可加性应用定积分解决实际问题的常用方法元素法元素法的主要步骤:选取积分变量,确定积分区间求出所求量对应于一个小区间的元素写出所求量积分表达式元素的求法:在微小的局部以直代曲以不变代变曲线与直线及x

轴所围曲边梯形面积元素法:积分变量:x积分区间:[a,b]面积元素:

一、元素法所求面积:定积分几何意义

二、平面图形的面积

二、平面图形的面积

二、平面图形的面积

三、练习例17例18

三、练习较繁！

三、练习例19

三、练习例20旋转体的体积Chapter2

一、旋转体的体