高等数学（财经类） 课件 第六章 微分方程

§6.1

微分方程基本概念

第六章微分方程CONTENT目录1微分方程定义2

微分方程得解例1.

例1.

例2.

例3.

例3.

如含有未知函数的导数(或微分)的方程称为未知函数是一元函数的方程为方程中所出现的导数的最高阶数称为微分方程.常微分方程;未知函数是多元函数的方程为偏微分方程.微分方程的阶.一阶一阶二阶一阶

一般的n阶微分方程为或已解出最高阶导数定义

9代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.微分方程的解的分类(1)通解微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.(2)特解确定了通解中任意常数以后的解.如方程通解通解特解特解10初始条件用来确定任意常数的附加条件.如前例,一阶方程二阶方程的初始条件表示为的初始条件表示为即为初始条件，例4.

§6.2

一阶微分方程

CONTENT目录1可分离变量微分方程3一阶线性微分方程2

一阶齐次微分方程

转化

可分离变量微分方程解分离变量方程

可分离变量方程形如的一阶微分方程叫做可分离变量方程

.两边积分,则有即形如的方程都叫做可分离变量方程.可化为已分离变量形式求解.或

分离变量方程的解法:设y＝

(x)

是方程①的解,两边积分,得①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0

时,说明由②确定的隐函数y＝

(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝

(y)也是①的解.可分离变量方程，求解步骤：(变量分离法)1、分离变量,得2、两边积分,得3、求出通解隐函数确定的微分方程的解微分方程的隐式通解例5.例5.例6.例6.例7.二、齐次方程形如的方程叫做一阶齐次微分方程

.令代入原方程得两边积分,得积分后再用代替

u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例8例8例9例928一阶线性微分方程的标准形式上面方程称为上面方程称为如线性的;非线性的.齐次的;非齐次的.线性一阶

自由项一阶线性微分方程特点：右边是已知函数，左边每项中仅含29齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)(C1为任意常数),lnd)(||ln1CxxPy+-=ò302.线性非齐次方程线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.设想非齐次方程

待定函数线性齐次方程的通解是的解是31从而C(x)满足方程32即一阶线性非齐次微分方程的通解为常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法..)()(dd的解是xQyxPxy=+33用常数变易法解一般的一阶线性非齐次方程得到通解公式(10)：注解一阶线性微分方程，可以直接利用这个公式，也可以用常数变易法.对应齐次方程通解非齐次方程特解

上式表明

非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和

例10例11例12例12§6.3

可降阶的高阶微分方程

CONTENT目录1高阶微分方程定义3

型的微分方程4

型的微分方程2

型的微分方程

一、高阶微分方程

定义：二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程。一般形式为：

或对于有些特殊的高阶微分方程，我们可以通过某种变换降为较低阶微分方程加以求解，所以称为“降阶法”。

下面我们介绍三种容易降阶的高阶微分方程的求解方法：

二、型的微分方程解法：特点：等式右端仅含有自变量x在两边积分则同理可得例14.解:

求微分方程

的通解。

对方程

两端同时积分得再一次对上式两端积分即为原方程得通解。

三、

型的微分方程特点：右端不含y

解法：降阶令

代入原方程得若已求得其通解为回代

得变量可分离的一阶方程积分得例15.例15.例16.例16.四、

型的微分方程特点：方程中不明显地含有自变量x（右端不含x）降阶解法：令由复合函数求导法则得代入原方程得这是一个关于y，p的一阶方程若已求得它的通解为变量可分离的一阶方程积分得即得原方程的通解.例17例17例17§6.4

高阶线性微分方程

CONTENT目录1高阶线性微分方程概念2二阶常系数齐次线性微分方程

n阶线性微分方程的一般形式为时，当

称式为n阶齐次线性微分方程.时,称式为n阶非齐次线性微分方程.当

一、高阶线性微分方程定理1.如果是齐次线性微分方程的两个解，则也是方程的解，其中为任意常数。为了解决齐次线性微分方程通解问题，我们需要引入一个新的概念，即所谓函数的线性相关和线性无关。定义:是定义在区间

I上的n个函数，则称这n个函数在

I上线性相关；否则称为线性无关。

例如，

在(

,

)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;使得若存在不全为0的常数设说明：对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只要看它们的比是否为常数，如果比是常数，那么它们就是线性相关；否则线性无关。定理2.如果是微分方程的n个线性无关的特解，则齐次线性微分方程的通解为其中为任意常数。例18.例19.二、二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p,q为常数和它的导数只差常数因子,其根称为特征根.因为r为常数时，函数所以令的解为

称为微分方程的特征方程,1.当则微分因此方程的通解为：时,有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:(r为待定常数)代入得2.当时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根所以可以取u=x,则得因此原方程的通解为2.