中考数学总复习《开放探究综合压轴题》专项提升练习附答案

第页中考数学总复习《开放探究综合压轴题》专项提升练习(附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．在复习课上，老师布置了一道思考题：如图所示，点M，N分别在等边ΔABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q.求证：∠BQM=60°.同学们利用有关知识完成了解答后，老师又提出了下列问题，请你给出答案并说明理由.（1）若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？（2）若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？2．如图，已知点P是∠AOB内一点，过点P的直线MN分别交射线OA，OB于点M，N，将直线MN绕点P旋转，△MON的形状与面积都随之变化．（1）请在图1中用尺规作出△MON，使得△MON是以OM为斜边的直角三角形；（2）如图2，在OP的延长线上截取PC＝OP，过点C作CM∥OB交射线OA于点M，连接MP并延长交OB于点N．求证：OP平分△MON的面积；（3）小亮发现：在直线MN旋转过程中，（2）中所作的△MON的面积最小．请利用图2帮助小亮说明理由．3．如图所示，D，E，F，G，H，I是△ABC三边上的点，连结EI，EF//BC，GH//AC，DI//AB．（1）判断∠GHC与∠FEC是否相等，并说明理由．（2）若∠FEC+∠FGH=225°，求∠A+∠C的度数．（3）若EI平分∠FEC，∠C=2α，∠B=3β，试用含α，β的代数式表示∠EID的度数．4．“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．假定主道路是平行的，即PQ//MN，且∠BAM:∠BAN=2:1．（1）填空：∠BAM=_____°；（2）填空：若灯A射线与灯B射线第一次在AB重合，则灯B射线先转动_____秒，灯A射线才开始转动．（3）若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？5．如图l，在正方形ABCDABCD中，AB=8AB=8，点EE在ACAC上，且AE=22，AE=22过E点作EF⊥AC于点E，交AB于点F，连接CF，【问题发现】（1）线段DE与CF的数量关系是________，直线DE与CF所夹锐角的度数是___________；【拓展探究】（2）当ΔAEF绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请写出结论并结合图2给出证明；若不成立，请说明理由；【解决问题】（3）在（2）的条件下，当点E到直线AD的距离为2时，请直接写出CF的长．6．如图1所示，边长为4的正方形ABCD与边长为a1<a<4的正方形CFEG的顶点C重合，点E在对角线AC【问题发现】如图1所示，AE与BF的数量关系为________；【类比探究】如图2所示，将正方形CFEG绕点C旋转，旋转角为α0<α<30°【拓展延伸】若点F为BC的中点，且在正方形CFEG的旋转过程中，有点A、F、G在一条直线上，直接写出此时线段AG的长度为________7．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，过底边BC上一点D，作∠EDF=2∠ABC，∠EDF的两边分别交AB，AC所在直线于E，F两点．（1）【观察猜想】如图1，当△ABC为等腰直角三角形，点D为BC的中点时，DE与DF的数量关系为______；（2）【类比探究】如图2，当BDCD=n时，求DEDF（3）【解决问题】如图3，连接EF，若tan∠B=1，EF//BC，且EFBC=8．类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“邻好四边形”．(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“邻好四边形”，请写出你添加的一个条件________；(2)概念延伸：下列说法正确的是________．(填入相应的序号)①对角线互相平分的“邻好四边形”是菱形；②一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”是菱形；③有两个内角为直角的“邻好四边形”是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“邻好四边形”是正方形；(3)问题探究：如图2，小红画了一个RtΔABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将RtΔABC沿∠B的平分线BB′方向平移得到ΔA′B′C′，连结9．能够完全重合的平行四边形纸片ABCD和AEFG按图①方式摆放，其中AD=AG=5，AB=9．点D，G分别在边AE，AB上，CD与FG相交于点H．【探究】求证：四边形AGHD是菱形．【操作一】固定图①中的平行四边形纸片ABCD，将平行四边形纸片AEFG绕着点A顺时针旋转一定的角度，使点F与点C重合，如图②，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为______．【操作二】四边形纸片AEFG绕着点A继续顺时针旋转一定的角度，使点E与点B重合，连接DG，CF，如图③若sin∠BAD=4510．已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，（1）若点E，F分别是AB，AC的中点，判断ΔDEF的形状并说明理由；（2）如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，试说明ΔDEF是直角三角形；（3）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，（1）（2）中的结论是否成立？直接写出结论．11．综合与实践操作发现：已知点P为正方形ABCD的边AD或CD上的一个动点（点A，D，C除外），作射线BP，作AE⊥BP于点E，CF⊥BP于点F．（1）如图1，当点P在CD上（点C，D除外）运动时，直接写出线段AE，CF，EF间的数量关系．（2）如图2，当点P在AD上（点A，D除外）运动时，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？写出结论并说明理由．拓广探索：（3）如图3，若点P为矩形ABCD的边CD上（点C，D除外）一点，其它条件不变，已知AB＝6，BC＝8，BP＝4512．（1）猜想发现如图1，已知△ABC，分别以AB和AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，猜想S1和S2的数量关系为．（2）猜想论证如图2，已知△ABC，分别过点A作线段AD和AE，满足∠DAB+∠EAC＝180°，并且AD＝AC，AE＝AB，连接DE．设△ABC的面积是S1，△ADE的面积是S2，（1）中S1和S2的数量关系是否仍然成立？请说明理由．（3）拓展探究如图3，点D是锐角∠ABC角平分线上的一点，满足BD＝CD，点E在BC上，且DE⊥DC．请问在射线BA上是否存在点F，使得S△BDE＝S△CDF，如果存在，请确定点F的位置并证明；如果不存在，请说明理由．13．如图1，两个完全相同的矩形ABCD，BEGF按如图方式放置，AB=BE，AD=BF，将矩形BEGF绕点B按顺时针旋转，旋转角为α0操作猜想：（1）将四边形BEGF绕点B按顺时针方向旋转，当转到如图2所示的位置，点F恰好落在线段AD上，FG与CD交于点M，请直接写出DM和GM的数量关系为：___________；继续探究（2）如图3，矩形BEGF绕点B继续按照顺时方向旋转，FG与CD交于点M，试判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立请证明；若不成立，请说明理由（3）如图4，若0°14．在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连结NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连结MC，【感知】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】（2）如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连结DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连结EQ，则EQ的最小值为．15．【问题情景】通过作平行线来实现问题转化是我们常用到的方法．如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=2，BE=4，求BC+DE的值．我们可以过点D作BE的平行线（如图2），也可过点E作CD的平行线解决问题．【问题解决】（1）请回答：BC+DE的值为．【类比探究】（2）如图3，已知▱ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，参考上述思考问题的方法，求∠AGF的度数．

【迁移应用】（3）如图4，已知：AB、CD交于E点，连接AD、BC，AD=32，BC=1．且∠B与∠D互为余角，∠A与∠C互为补角，则∠AED=度，若CD=42

16．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF．（1）问题发现如图1，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是_____，数量关系为_______；（2）拓展探究如图2，若△ABC为等腰直角三角形（BC为斜边），（1）中的两个结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出正确的结论再给予证明；（3）解决问题如图3，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，请你直接写出线段EF的长．17．如图1，在平面直角坐标系中有长方形OABC，点C(0,4)，将长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，CD边交x轴于点E，∠OAC＝30°．（1）求点D的坐标；（2）如图2，在直线AC以及y轴上是否分别存在点M，N，使得△EMN的周长最小？如果存在，求出△EMN周长的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）点P为y轴上一动点，作直线AP交直线CD于点Q，是否存在点P使得△CPQ为等腰三角形？如果存在，请求出∠OAP的度数；如果不存在，请说明理由．18．已知：正方形ABCD（1）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE=CF，过点E作EG//BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．（1）求证：①AE⊥BF；②求证：四边形BRGF是平行四边形．（2）如图，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，分类说明满足PE+PF=9的点P的位置情况．19．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交A−1,0、B两点，与y轴交于点

（1）求抛物线的解析式；（2）经过B，C两点的直线交抛物线的对称轴于点D，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当点P运动到点E时，求ΔPCD的面积；（3）点N在抛物线对称轴上，点M在x轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．20．综合与实践：直角三角形折叠中的数学。数学活动：在综合实践活动课上，老师让同学们以“直角三角形纸片的折叠”为主题展开数学活动，探究折痕长度的有关问题．在Rt△ABC中，∠ABC=90°,AB=3,BC=4．（1）①如图1，勤学组将点A沿DE折叠，使得点A与点B重合，折痕交AB于点D,交AC于点E,则DE的长为．②如图2，乐学组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A′落在AC边上，折痕交AC于点E,则BE的长为（2）①如图3，博学组将点C沿EF折叠，使得点C与点A重合，折痕交AC于点E,交BC于点F,求线段EF的长度；②如图4，善思组在博学组的基础上，将点B沿FC折叠，使得点B的对应点B'落在AF上，则GF的长度为_．（3）①如图5，奋进组将点A沿BE折叠，使得点A的对应点A'落在BC边上，求BE的长度；②如图6，创新组在奋进组的基础上，将点C沿A'F折叠，使得点C的对应点C'落在AC上，折痕交AC于点F,再把△A'FC'展开，将点C沿FG折叠，使得点C的对应点C″落在FA'的延长线上，折痕交A'C于点G,得到如图7所示的图形，请直接写出FG参考答案1．解：（1）是真命题．证明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，∴∠CBN=∠BAM，∵在△ABM和△BCN中，{∠BAM＝∠CBN∴△ABM≌△BCN，（ASA）∴BM=CN；（2）能得到，理由如下∵∠BQM＝60°，∴∠QBA+∠BAM＝60°．∵∠QBA+∠CBN＝60°，∴∠BAM＝∠CBN．在△ABM和△BCN中，{∠ABM=∠BCN∴△ABM≌△BCN（ASA）．∴BM＝CN．∵AB＝AC，∴∠ACM＝∠BAN＝180°−60°＝120°，在△BAN和△ACM中，{BA=AC∴△BAN≌△ACM（SAS）．∴∠NBA＝∠MAC，∴∠BQM＝∠BNA+∠NAQ＝180°−∠NCB−（∠CBN−∠NAQ）＝180°−60°−60°＝60°．2．解:（1）①在OB下方取一点K，②以P为圆心，PK长为半径画弧，与OB交于C、D两点，③分别以C、D为圆心，大于12CD长为半径画弧，两弧交于E④作直线PE，分别与OA、OB交于点M、N，故△OMN就是所求作的三角形；（2）∵CM∥OB，∴∠C＝∠PON，在△PCM和△PON中，∠C∴△PCM≌△PON（ASA），∴PM＝PN，∴OP平分△MON的面积；（3）过点P作另一条直线EF交OA、OB于点E、F，设PF＜PE，与MC交于于G，∵CM∥OB，∴∠GMP＝∠FNP，在△PGM和△PFM中，∠PMG=∠PNFPM=PN∴△PGM≌△PFN（ASA），∴S△PGM＝S△PFN∴S四边形MOFG＝S△MON．∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，∴当点P是MN的中点时S△MON最小．3．解：（1）∠GHC=∠FEC，理由：∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∵GH∥AC，∴∠GHC+∠C=180°，∴∠GHC=∠FEC；（2）∵GH∥AC，∴∠FGH+∠A=180°，∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∴∠FGH+∠FEC+∠C+∠A=360°，∵∠FEC+∠FGH=225°，∴∠A+∠C=360°-225°=135°；（3）∵EF∥BC，∴∠FEC+∠C=180°，∠FEI=∠EIC，∴∠FEC=180°-2α，∵EI平分∠FEC，∴∠FEI=12∴∠FEI=∠EIC=90°-α，∵DI∥AB，∴∠DIC=∠B=3β，∴∠EID=∠EIC-∠DIC=90°-α-3β．4．解：（1）∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1，∴∠BAM=180°×23（2）灯A：120°÷2=60s，灯B：120°÷1=120s，120-60=60s，∴灯B射线先转动60秒，灯A射线才开始转动；（3）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，①当0＜t＜60时，如图1，∵PQ∥MN，∴∠PBD=∠BDA，∵AC∥BD，∴∠CAM=∠BDA，∴∠CAM=∠PBD∴2t=1•（30+t），解得t=30；②当60＜t＜90时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1•（30+t）+（180-2t）=180，解得

t=30（舍），③当90＜t＜150时，如图2，∵PQ∥MN，∴∠PBD+∠BDA=180°，∵AC∥BD，∴∠CAN=∠BDA∴∠PBD+∠CAN=180°∴1•（30+t）+（2t-180）=180，解得

t=110，综上所述，当t=30s或110s时，两灯的光束互相平行.5．解：（1）如图①，延长DE交CF的延长线于点N，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠FAE=∠DAC=45∵ΔAEF是直角三角形，∴RtΔAEF和RtΔADC均为等腰直角三角形，∴AFAE又∵∠FAC=∠EAD，∴ΔFAC~ΔEAD，∴CFDE=AF∴CF=2又∵∠CAD+∠ADE+∠AED=180°，∠CNE+∠CEN+∠ECN=180∴∠CNE=∠CAD=45°故答案为：CF=2DE（2）结论仍然成立．理由如下：如图②，延长DE交CF于点G．∵AC是正方形ABCD的对角线，且RtΔAEF是由原题中图1的位置旋转得来，∴∠FAE=∠DAC=45°，即RtΔAEF和RtΔADC均为等腰直角三角形．∴AFAE又∵∠FAC=∠FAE+∠EAC，∠EAD=∠DAC+∠EAC，∴∠FAC=∠EAD．∴ΔFAC∽ΔEAD．∴CFDE=AF∴CF=2又∵∠CAD+∠ADE+∠AHD=180°，∠CGD+∠ACG+∠GHC=180°，∴∠CGD=∠CAD=45°．∴结论成立．（3）CF的长为45或4理由如下：∵点E到直线AD的距离为2，AE=22∴点F在直线AD或AB上分两种情况讨论：（i）如图③，当点F在DA的延长线上时，过点E作EG⊥AD交延长线于点G,∵AE=22∴AF=4,∴DF=DA+AF=12，在RtΔCDF中，由勾股定理得CF=C如图④，当点F在BA延长线上时，过点E作EK⊥AD交DA的延长线于点K，在等腰RtΔAEF中，过点E作EH⊥AF于点H,∵AH=EK=2=12∴BF=AB+AF=12，∴CF=B（ii）如图⑤，当点F在AD上时，过点E作EI⊥AD于点I，∵AF=4，AD=8，∴DF=AD−AF=4，在RtΔCDF中，由勾股定理得CF=C如图⑥，当点F在AB上时，过点E作EM⊥AD交AD于点M，在等腰RtΔAEF中，过点E作EN⊥AF于点N，∵AN=EM=2=12∴BF=AB−AF=4，∴CF=B综上所述，CF的长为413或46．解:问题发现：AE=2BF，理由如下：∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∴∠B=∠CFE=90°，∠FCE=∠BCA=45°，CE=2CF，CE⊥GF，∴AB∥EF，∴AEBF∴AE=2BF；故答案为：AE=2BF；类比探究：上述结论还成立，理由如下：连接CE，如图2所示：∵∠FCE=∠BCA=45°，∴∠BCF=∠ACE=45°−∠ACF，在Rt△CEG和Rt△CBA中，CE=2CF，CA=∴CECF∴△ACE∽△BCF，∴AEBF∴AE=2BF；拓展延伸：分两种情况：①如图3所示：连接CE交GF于H，∵四边形ABCD和四边形CFEG是正方形，∴AB=BC=4，AC=2AB=42，GF=CE=2CF，HF=HE=HC，∵点F为BC的中点，∴CF=12BC=2，GF=CE=22∴AH=∴AG=AH+HG=30+②如图4所示：连接CE交GF于H，同①得：GH=HF=HE=HC=2，∴AH=A∴AG=AH-HG=30−故答案为：30+2或7．解:（1）DE=DF；如图1中，连接AD，∵三角形ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠C=45°，又∵BD=CD，∴AD⊥BC，∠DAC=∠DAB=45°，AD=DB=DC，∵∠EDF=2∠ABC=90°，∴∠BDA=∠EDF=90°，∴∠BDE=∠ADF，∵∠B=∠DAF=45°，BD=AD，∴△BDE=△ADFASA∴DE=DF；（2）如图2，在射线BA上取一点T，使得DT=DB．∵DB=DT，∴∠B=∠T．∴∠TDC=∠B+∠T=2∠B，∵∠EDF=2∠B，∴∠EDF=∠TDC，∴∠EDT=∠FDC，∵∠BAC+2∠B=180°，∴∠BAC+∠EDF=180°，∴∠TED+∠AFD=180°，∵∠DFC+∠AFD=180°，∴∠TED=∠DFC，∴△TED∽△CFD，∴DEDF（3）3或13如图3中，作ET⊥BC于T，EH⊥BC于H．∵EF//BC，∴四边形EFHT是平行四边形，∵∠ETH=90°，∴四边形EFHT是矩形，∴ET=FH，EF=TH，∵EF:BC=5:8，设EF=5k，BC=8k，则TH=5k，∵tanB=1∴∠B=∠C=45°，∵∠ETB=∠FHC=90°，∴ET=BT=FH=CH=1.5k，设DT=x，则DH=5k−x，∵∠EDF=2∠B=90°，∠ETD=∠FHD=90°，∴∠EDT+∠FDH=90°，∠TED+∠EDT=90°，∴∠TED=∠FDH，∴△ETD∽△DHF，∴ETDH∴1.5k5k−x整理得x2解得x=0.5k或x=4.5k，∴BD=2k或6k，∴BD:DC=2k:6k=1:3或BD:DC=6k:2k=3:1．∴n=3或138．解:（1）AB=BC或BC=CD或AD=CD或AB=AD．答案：AB=AD；（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“邻好四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“邻好四边形”是菱形；②不正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等的“邻好四边形”也有可能是等腰梯形；③不正确，理由为：有两个内角为直角的“邻好四边形”不是平行四边形时，该结论不成立；④正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角可得到“四个角都是直角”，则该四边形是矩形，根据“邻边相等的矩形为正方形”，所以④的说法正确．故答案是：①④；（3）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，∴AC=5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=5，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=5；（III）当A′C′=BC′=5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′=12∴∠BB′D=′∠ABB′=45°∴B′D=BD，设B′D=BD=x，则C′D=x+1，BB′=2x，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2=BC′2∴x2+（x+1）2=(5)2，解得：x1∴BB′=2x=2（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，同理可得：BD2+C′D2=BC′2，设B′D=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1∴BB′=2x=−综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“邻好四边形”应平移2或5或1或−29．解:探究：∵四边形ABCD和AEFG都是平行四边形∴AE//GF,AB∴四边形AGHD是平行四边形又∵AD=AG=5∴平行四边形AGHD是菱形；操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=FE,∠D=∠E，DF=AB=9在△ADH和△FEH中，∠D=∠E∴△ADH≅△FEH(AAS)∴AH=FH，△ADH和△FEH的周长相等同理可得：△ADH≅△FEH≅△FBM≅△AGM∴△ADH、△FEH、△FBM、△AGM的周长均相等又∵AD=5,DF=AB=9∴△ADH的周长为L则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为4故答案为：56；操作二：如图，设AB与DG相交于点N∵四边形ABCD和AEFG是两个完全重合的平行四边形∴AD=AG=5,CD=FG=AB=9,∠BAD=∠BAG,CD∴△ADG是等腰三角形，且AB平分∠DAG∴AB⊥DG，DN=NG=∴CD⊥DG在Rt△ADN中，sin∠NAD=DN解得DN=4∴DG=2DN=8又∵CD∴四边形DCFG是平行四边形∵CD⊥DG，即∠CDG=90°∴平行四边形DCFG是矩形则四边形DCFG的面积为DG⋅CD=8×9=72故答案为：72．10．解:（1）ΔDEF是等腰直角三角形．理由如下：如图1，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°∵点E，D分别是AB，BC的中点，∴ED是ΔABC的中位线，∴ED=1ED//∴∠BDE=∠C=45°同理可得DF=12AB∴DE=DF，∠EDF=180°−∠BDE−∠FDC=90°，∴ΔDEF是等腰直角三角形；（2）如图2，连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=1又∵AD平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC=45°，∵∠B=45°，∴∠B=∠DAC在ΔBDE和ΔADF中，∵BD=AD∠B=∠DAF∴ΔBDE≌ΔADFSAS∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，∵∠BDE+∠ADE=90°，∴∠ADF+∠ADE=90°，即∠EDF=90°，∴ΔEDF为等腰直角三角形；（3）结论成立：ΔDEF为等腰直角三角形．理由是：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图3所示：连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC（三线合一），∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD＝ED，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB＋∠FDB＝∠FDA＋∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF仍为等腰直角三角形．11．解:（1）AE=CF+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，∴Rt△ABE≅Rt△BCF(AAS)，∴BE=CF，AE=BF，∴AE=BE+EF=CF+EF，∴AE=CF+EF；（2）CF=AE+EF，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=90°，∠BCF+∠CBF=90°，∴∠ABE=∠BCF，∴Rt△ABE≅Rt△BCF(AAS)，∴BE=CF，AE=BF，∴CF=BE=BE+EF=AE+EF，∴CF=AE+EF；（3）过点D作DG∥BP交AB于G，∵四边形ABCD是正方形，∴BG∥DP，∴四边形BPDG是平行四边形，∴DG=BP=45在Rt△ADG中，∠GAD=90°，AD=8，DG=45∴AG=DGBG=PD=6-4=2，连接AP，∵S四边形∴6×8=1∴AE=12512．解：（1）结论：S1＝S2．理由：以AD，AE为边构造平行四边形ADTE，连接AT．∵四边形ABFD，四边形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝180°，∵四边形ADTE是平行四边形，∴DT＝AE，DT∥AE，∴∠ADT+∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠ADT，∵AC＝DT，AB＝AD，∴△BAC≌△ADT（SAS），∴S△ABC＝S△ADT，∵ET∥AD，∴S△ADT＝S△ADE，∴S1＝S2．故答案为：S1＝S2．（2）结论仍然成立．理由：以AD，AE为边构造平行四边形ADTE，连接AT．∵AD＝AC，AE＝AB，∠∠DAB+∠EAC＝180°，∴∠BAC+∠DAE＝180°，∵四边形ADTE是平行四边形，∴DT＝AE，DT∥AE，∴∠ADT+∠DAE＝180°，∴∠BAC＝∠ADT，∵AC＝AD，AB＝TD，∴△BAC≌△TDA（SAS），∴S△ABC＝S△ADT，∵ET∥AD，∴S△ADT＝S△ADE，∴S1＝S2．（3）存在，过点D作DF⊥BD交AB于F，点F即为所求．理由：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N．∵DF⊥BD，DE⊥DC，∴∠BDF＝∠EDC＝90°，∴∠ABD+∠BFD＝90°，∠DCE+∠DEC＝90°，∵∠ABD＝∠DBC，DB＝DC，∴∠DBC＝∠DCE，∴∠BFD＝∠DEC，∵∠ABD＝∠DBC，DM⊥BA，DN⊥BC，∴DM＝DN，∵∠DMF＝∠DNE＝90°，∴△DMF≌△DNE（AAS），∴DE＝DF，∴DB＝DC，DE＝DF，∠BDE+∠FDC＝180°，由（2）可知，S△BDE＝S△DFC．∴点F即为所求．13．解:（1）DM=GM；证明：连接BM，因为四边形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC，∠BFG=∠BCD=90{∴ΔBFM≅ΔBCM所以CM=FM即GM=DM（2）成立证明：连接BM，因为四边形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC，∠BFG=∠BCD=90°，FG=DC{∴ΔBFM≅ΔBCM所以CM=FM，∵FG=DC即GM=DM（3）成立证明：连接BM因为四边形ABCD和BEGF是矩形，∴BF=BC,∠BFG=∠BCD=90°,FG=DC∴∠BCM=∠BFM=90°∵BF=BC,BM=BM∴ΔBFM≅ΔBCM所以FM=CMFM+FG=CD+CM所以FM=CM所以FG+FM=CD+CM所以GM=DM．14．解:(1)结论仍然成立．理由：∵∠MAN=∠CAB，∴∠NAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，∴∠NAB=∠MAC，∵AB=AC，AN=AM，∴ΔNAB≅ΔMAC(SAS)，∴BN=CM．（2)如图3中，在DF上截取DN=DE，连接PN，作NH⊥EF于H，作DM⊥EF于M．∵∠FDE=∠PDQ，∴∠QDE=∠PDN，∵DQ=DP，DE=DN，∴△QDE≅△PDN(SAS)，∴EQ=PN，∴当PN的值最小时，QE的值最小，在Rt△DEM中，∵∠DEM=60°，DE=8，∴DM=DE·sin∵∠MDF=∠EDF−∠EDM=75°−30°=45°，∴DF=46∴NF=DF−DN=46在RtΔNHF，∴NH=43根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小，∴QE的最小值为4315．解：（1）解:∵DE//BC,DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DF=BE=4，DE=BF，∵CD⊥BE，∴CD⊥DF，∴BC+DE=BC+CF=CF=D∴BC+DE=25（2）连接AE，CE，如图．

∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，∴AB∥DC，AB∥FE，BF＝AE．∴DC∥FE．∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF．∵AC＝BF＝DF，∴AC＝AE＝CE．∴△ACE是等边三角形．∴∠ACE＝60°∵CE∥DF，∴∠AGF＝∠ACE＝60°．（3）①∵∠D+∠B＝90°，∠A+∠C＝180°，∠A+∠D+∠AED＝180°，∠B+∠C+∠BEC＝180°，∴∠A+∠D+∠AED+∠B+∠C+∠BEC＝360°．∴∠AED+∠BEC+90°+180°＝360°．∴∠AED+∠BEC＝90°．∵∠AED＝∠BEC，∴∠AED＝∠BEC＝45°．故答案为：45°②以CD、CB为邻边作平行四边形BCDM，连接AM，如图，∵四边形BCDF是平行四边形，∴BM＝DC＝42，DM＝BC＝1，∠DMB＝∠C＝180°﹣∠DAB，DC∥BM．∴∠ABM＝∠AED＝45°在四边形ABMD中，∵∠DAB+∠ABM+∠BMD+∠ADM＝360°，∠DMB＝180°﹣∠DAB，∠ABM＝45°，∴∠ADM＝135°过A作AP⊥DM交DM的延长线于P，过点M作MN⊥AB于N．∵AD=32，∠ADP=45∴AP=DP=3，DM=1∴PM=4在Rt△AMP中，AM=5在Rt△BMN中，∵CD=BM=42，∠ABM=45∴BN=MN=4在Rt△AMN中，AN=3．∴AB＝7．∴AB的长为7．

16．解：问题发现（1）如图1，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12又∵△ABC是等边三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝60°，∴AH＝3BH，∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵EF＝2AH，AH＝3BH，BC＝2BH，∴EF＝3BC，故答案为：EF⊥BC，EF＝3BC；（2）拓展探究如图2，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AH⊥BC，∠ABC＝45°，∴AH＝BH＝HC，∵AE＝OA，OH＝HF，∴AH∥EF，EF＝2AH，∵AH∥EF，AH⊥BC，∴EF⊥BC，∵AH＝BH，BC＝2BH，∴BC＝2AH，∵EF＝2AH，∴EF＝BC；（3）解决问题如图3，连接AH，∵四边形OBFC是平行四边形，∴BH＝HC＝12又∵AB＝AC＝5，∴AH⊥BC，∴根据勾股定理得，AH＝AB2∵OH＝HF，AE＝AO，∴EF＝2AH＝8．17．解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝3CO＝43，∠CAB＝60°，∵长方形OABC沿AC折叠，使得点B落在点D处，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如图1，过点D作DF⊥AO于F，∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝12AD＝2，AF＝3DF＝23∴OF＝AO﹣AF＝23，∴点D坐标（23，﹣2）；（2）如图2，过点E作y轴的对称点G，过点E作AC的对称点H，连接GH交y轴于点N，与AC交于M，即△EMN的周长最小值为GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝83∴OE＝43∵点G，点E关于y轴对称，点E，点H关于AC对称，∴点G（﹣433，0），点H（83∴GH＝(−4∴△EMN的周长最小值为8；（3）存在点P使得△CPQ为等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如图3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ时，如图4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如图5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在这样的点P，综上，满足条件的点P存在，并且∠OAP=15º或60º．18．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE＝∠BCF＝90°，在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCF∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵EG∥BF，∴∠CBF＝∠CEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，