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文档简介

§4.1

定积分的概念和性质

CONTENT1

引例2

定积分的概念目录3

定积分的性质引例Chapter1

一、曲边梯形的面积曲边梯形是指由连续曲线,直线及

x

轴所围成的平面图形.问题：如何计算曲边梯形的面积

A？

一、曲边梯形的面积1.分割：在区间

中用

n-1个点分成

n

个小区间,记

将曲边梯形分成

n个小曲边梯形.令每个小曲边梯形的底边长为

一、曲边梯形的面积2.近似：讨论第i个小曲边梯形,记面积为,在区间

上任取一点,以

为高作一个小矩形,矩形的长为,高为,那么曲边梯形的面积

近似等于矩形面积,即

一、曲边梯形的面积3.作和：对于大曲边梯形来说,用同样的方法,将剩下的

n-1个小曲边梯形面积计算出来,然后作和即为大曲边梯形的面积,即

4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值就越来越接近于精确值

A.记,则当

时,所有小区间的长度

都趋于零,于是

二、收益问题问题：设某商品的价格是购买量Q的函数(其中Q为连续变量),当购买量从

a

变动到

b时的收益

R

是多少？1.分割：用

n-1个点

把区间[a,b]分成

n

个小区间,每个购买量段

上的购买量为,相应的收益为

从而总收益为

二、收益问题2.近似：当

很小时,在小区间

上变化也很小,可近似看作价格不变,任取一点,把

作为该段的近似价格,因此该段的近似收益为3.作和：将n

段的收益加起来,即得收益R

的近似值4.取极限：当分割越来越细,且每个小区间的长度越来越小时,上述近似值越来越接近于精确值

R.记,于是

二、收益问题共同点：曲边梯形的面积和收益问题的计算,都采取了“分割—近似—作和—取极限”这些步骤,从而转为相同结构和式的极限定积分的概念Chapter2

一、定积分的定义

一、定积分的定义积分和

一、定积分的定义

二、定积分存在定理

三、定积分的几何意义几何意义：

三、定积分的几何意义几何意义：定积分的性质Chapter3

一、定积分的性质性质1、2(线性性质)

(其中

为常数).性质3(积分可加性)

一、定积分的性质性质4如果在区间

上,,则

性质5如果在

上,,则

性质7性质6如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质8如果在区间

上,,则

一、定积分的性质性质9(积分中值定理)设

在区间

上连续,则在区间

内至少存在一点

c,使得

注：数

称为函数

在区间

上的平均值.

几何解释

积分中值定理的几何意义在区间

上至少存在一点

使以区间

为底边,以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为

的矩形的面积.

练习例1

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