高等数学（财经类） 课件 1.7 函数的连续性

§1.7

函数的连续性

CONTENT1连续与间断的概念2连续函数的运算性质目录3闭区间上连续函数的性质连续与间断的概念Chapter1

引言

例

自然界中有许多现象和事物不仅是运动变化的,而且这种变化往往是连续不断的.如气温的变化,河水的流动都是随着时间而连续地变化,这些现象反映在数学上就是函数的连续性.第一部分：函数的增量

设函数y=f(x)在点的某个邻域内有定义,当自变量x由变到时,函数y相应地由变到，因此函数相应的增量为注:

是一个不可分割的整体记号.第一部分：函数的增量当

趋于零时,函数

y对应的增量也趋向于零,即

那么就称函数

y=f(x)在点

处连续.第二部分：连续与间断的概念令则得当时,有而当时,有则定义20

设函数

f(x)在点

x0的某邻域内有定义.

(1)若,则称

f(x)在点

x0处连续,并称

x0为

f(x)

的一个连续点；

(2)若

f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,则称

f(x)在(a,b)内

连续；

(3)若

x0不是

f(x)的连续点,则称

x0为

f(x)的间断点,或称

f(x)在点

x0处间断.第二部分：连续与间断的概念第二部分：连续与间断的概念(1)函数

f(x)在点处有定义;函数

f(x)在点处连续,必须同时满足以下三个条件：(2)极限存在;(3)注：

练习例试证函数在x=0处连续.证几何解释：若

f(x)连续,则曲线

y=f(x)的图形是一条连续不间断的曲线；若

x0是

f(x)的间断点,则曲线

y=f(x)在点

处发生断裂.如图所示,函数

f(x)在区间(a,b)内共有三个间断点:x1,x2,x3.第二部分：连续与间断的概念第三部分：单侧连续的概念定义21(1)若

f(x)在点

x0的某左邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处左连续；若

f(x)在点

x0的某右邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处右连续.第三部分：单侧连续的概念定义21(1)若

f(x)在点

x0的某左邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处左连续；若

f(x)在点

x0的某右邻域内有定义,且,则称

f(x)在点

x0处右连续.(2)若

f(x)在闭区间[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内连续,且在左端点a处右连续、在右端点b处左连续,则称

f(x)在闭区间[a,b]上连续.第三部分：单侧连续的概念注：函数f(x)在点处连续

练习例44讨论函数

在点

x=0和

x=1处的连续性.

解

在点

x=0处,有

由此可知

因此,f(x)在

x=0处连续.

练习例44讨论函数

在点

x=0和

x=1处的连续性.

解

在点

x=1处,有

因左、右极限不相等,故

不存在,故

x=1是

f(x)的间断点.

但是,由

可知,

f(x)在

x=1处左连续.第四部分：函数的间断点(1)函数f(x)在点处有定义;函数f(x)在点处连续必须同时满足以下三个条件：(2)极限存在;(3)如果上述三个条件中只要有一个不满足,则称函数f(x)在点处不连续或间断,并称点为函数f(x)的不连续点或间断点.第四部分：函数的间断点(1)

f(x)在处无定义;

(2)

f(x)虽在处有定义,但

不存在;(3)

f(x)虽在处有定义且

存在,但

定义如果函数y=f(x)在点处不连续,则称是函数f(x)的间断点.注：如果函数f(x)满足下列条件之一时,就称函数f(x)在点处间断.类型特点分类第一类间断点及均存在

若称x0为可去间断点

若称x0为跳跃间断点第二类间断点及中至少一个不存在

若其中有一个为∞称

x0为无穷间断点

若其中有一个为振荡称x0为振荡间断点······第四部分：函数的间断点

练习例45讨论

在

x=0处的连续性.

解

因为

而

f(0)没有定义,故

f(x)在

x=0处间断,x=0为

f(x)的可去间断点.

练习例46讨论

在

x=0处的连续性.

解

因为

所以

f(x)在

x=0处间断,且

x=0为无穷间断点.

练习例47讨论

在

x=0处的连续性.

解

因为在

x=0处函数无定义,且

不存在,

所以

f(x)在

x=0处间断,且

x=0为第二类振荡间断点.

连续函数的运算性质Chapter2第一部分：连续函数的运算性质定理14(连续函数的四则运算)设f(x)与g(x)在点x0(或区间I上)连续,则

(1)在点x0处(或I上)连续；

(2)在点x0处(或I上)连续；

(3)当

时,在点x0处(或I上)连续.

第一部分：连续函数的运算性质定理15(复合函数的连续性)设函数

y=f(u)在点x0处连续,在点x0处连续,且,则复合函数

在点x0处连续,即有定理16(反函数的连续性)设函数

y=f(x)在区间[a,b]上单调、连续,且

则其反函数

在区间

上单调、连续.定理17

一切初等函数在其定义域内都是连续的.

练习例48求

解

所给函数为初等函数,其定义域为R,故由初等函数的连续性得

练习例49求

解

由于arcsinu是连续函数,则

练习例50求

解

例51求

解

练习例52讨论函数

的连续性.

解

f(x)在其定义域

内不是初等函数.但在

内

为初等函数,在

内

也为初等函数,故f(x)在

内连续.例52讨论函数

的连续性.

解

在分段点x=2处,有因此,f(x)在x=2处连续.综上所述,f(x)在其定义域内连续.

练习

分段函数的连续性讨论分段函数的连续性的方法：第一步：利用初等函数的连续性,分段说明函数在各分段子区间内的连续性；第二步：根据连续性的定义,讨论函数在各分段点处的连续性；第三步：得出函数的连续区域.

闭区间上连续函数的性质Chapter3第一部分：闭区间上连续函数的性质定义23设函数

f(x)在区间I上有定义.若存在,使对I内的一切x,恒有

则称

f(x0)是

f(x)在I上的最大值或最小值.最大值与最小值统称为最值.第一部分：闭区间上连续函数的性质定理18(最值定理)设函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续,则

f(x)在[a,b]上必能取得最大值与最小值.即在[a,b]上至少存在两点,使对任意的

,

恒有第一部分：闭区间上连续函数的性质注：如果函数f(x)不在闭区间上连续,而在开区间内连续,或函数f(x)在闭区间[a,b]上有间断点,则定理5不一定成立.推论

闭区间上的连续函数一定是有界函数.第一部分：闭区间上连续函数的性质定理19(介值定理)设函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续,且

f(x)在[a,b]上的最大值为M,最小值为m,则对任何实数C(m<C<M),至少存在一点

使得第一部分：闭区间上连续函数的性质推论(零点定理)设函数

f(x)在闭区间[a,b]上连续,且,则至少存在一点

使得注：零点定理常用于证明方程实根的存在性.第一部分：闭区间上连续函数的性质注:

最值定理和介值定理中的条件“f(x)在闭区间上连续”是必要的,否则定理不一定成立.

例如,

函数

在闭区间[0,1.5]上不连续.该函数既无最小值(m=0),也无最大值(M=2);当

时,也不存在使得.

练习例53证明:方程

在(0,1)内至少有一个实根.

证

设,则

f(x)为初等函数,它在闭区间[0,1]上连续,且有于是,由零点定理可知,方程

在(0,1)内至少有一个实根

x0.

练习例54设函数

f(x)在闭区间[0,1]上连续,且证明:存在,使得.

证

构造辅助函数,由于

f(x)在闭区间[0,1]上连续,因此F(x)在[0,1]上连续,且因为由零点定理知,存在