高等数学（财经类） 课件 1.6 无穷小的比较_第1页
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文档简介

§1.6

无穷小的比较

CONTENT1无穷小比较的概念2等价无穷小目录无穷小比较的概念Chapter1

引例引例

当

时,x,3x,x2,sinx都是无穷小量,也就是说,当

时,x,3x,x2,sinx都趋近于零.但是,它们趋近于零的速度有差异,见下表：

快慢是相对的.如,x2比3x趋近于零的速度要快得多,此时

sinx与

x趋近于零的速度大致相同,此时

第一部分：无穷小比较的概念定义19设

是在自变量变化的同一过程中的两个无穷小,且

(1)若

则称

是比

高阶的无穷小,记作

；

(2)若

则称

是比

低阶的无穷小；

(3)若

则称

与

是同阶的无穷小；特别地,若

则称

与

是等价无穷小,记作

；(4)若

则称

是

的k阶的无穷小.

练习例39证明:当

时,为x的四阶无穷小.证

因为故当

时,为x的四阶无穷小.例40当

时,求tanx-sinx关于x的阶数.解

因为故当

时,tanx-sinx为x的三阶无穷小.等价无穷小Chapter2第一部分：常用等价无穷小当时,常用的等价无穷小量：例如

当

时,.

第二部分：等价无穷小定理13设

是同一过程中的无穷小,且存在,则

证

定义设是同一变化过程中的两个无穷小量,如果则称与是等价无穷小量,记作~

练习例41求解

当

时,故

第二部分：等价无穷小注：(1)求两个无穷小量商的极限时,分子、分母可分别用它们的等价无穷小量代替.(2)只有当分子或分母为函数的乘积时，各个乘积项量代换.(3)对于和或差中的函数,一般不能分别用等价无穷小才可以分别用它们的等价无穷小量代换.

等价无穷小例42求解

练习例43求解

当

时,故

小结1.

无穷小比较的概念

高阶无穷

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