高等数学（财经类） 课件 1.2 数列和函数的极限

§1.2

数列和函数的极限

CONTENT1

数列的极限2收敛数列的性质目录3函数的极限4函数极限的性质引言

祖冲之(429年－500年),南北朝时期著名的数学家、天文学家,范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,出生于丹阳郡建康县(今江苏省南京市),首次将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间,简化为3.1415926,被默认为是中国的“圆周率鼻祖”.引言

祖冲之(429年－500年),南北朝时期著名的数学家、天文学家,范阳郡遒县(今河北省涞水县)人,出生于丹阳郡建康县(今江苏省南京市),首次将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间,简化为3.1415926,被默认为是中国的“圆周率鼻祖”.引言

2009年,美国众议院正式通过一项无约束力决议,将每年的3月14日设定为“圆周率日”,

2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节,来源则是中国古代数学家祖冲之的圆周率.引言

刘徽(约225年—约295年),魏晋时期著名数学家,山东省滨州邹平市人,是我国古代历史上第一位精确计算圆周率的数学家,他利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法:割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.引言

刘徽在数学上的主要成就之一就是为《九章算术》做注解,创立割圆术来计算圆周率的方法,含有极限观念,他正确地计算出圆内接正192边形的面积,得出圆周率的近似值为3.14.在此基础上,他又进一步算出圆内接正3072边形的面积,得到圆周率的近似值为3.1416,等于现在通常计算中所规定的π值.引言

2019年3月14日,谷歌宣布日裔前谷歌工程师爱玛(EmmaHarukaIwao)在谷歌云平台的帮助下,计算到圆周率小数点后31.4万亿位,即3.1415926535897,打破世界纪录！以往人们都是用超级计算机计算π,爱玛是第一个运用云计算进行计算的人.引言

2021年8月17日,美国趣味科学网站报道,瑞士研究人员使用一台超级计算机,历时108天,将著名数学常数圆周率π计算到小数点后62.8万亿位,创下该常数迄今最精确值记录.引言割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽播放引言正六边形面积正十二边形面积……正边形面积数列的极限Chapter1数列:第一部分：数列的概念自变量为正整数的函数其函数值按自变量n由小到大排列成的一列数称为数列,简记为其中称为数列的通项或一般项.

由于一个数列完全由其一般项所确定,故也把数列简称为数列例11第二部分：数列的极限(1)(2)(3)(4)第二部分：数列的极限当n无限增大时,数列(1)的一般项无限接近于0;当n无限增大时,数列(2)的一般项无限接近于1;当n无限增大时,数列(3)的一般项

不是1,就是-1,

不接近于任何确定的常数;当n无限增大时,数列(4)的一般项无限增大,也不

接近于任何确定的常数.观察数列当时的变化趋势.第二部分：数列的极限播放观察数列当时的变化趋势.实验表明:当n无限增大时,上述数列无限接近于1.思考:“无限接近”意味着什么？第二部分：数列的极限第二部分：数列的极限定义10如果当n无限增大时,数列an无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做数列an的极限或说数列an收敛于A,记为

如果数列an没有极限,就称数列an发散.

读作“当n趋于无穷大时,数列an的极限等于A或an趋于A”.例11或第二部分：数列的极限数列极限的严格数学定义定义11*

设有数列{xn}与常数a,若对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正整数N,使得对于n>N时的一切xn,不等式都成立,则称常数a为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛于a,记为说明：(1)正数

是任意给定的(既是任意的,又是给定的).用来刻画“xn无限趋近于a”的程度,越小,xn越接近于a；

(2)正整数N是随

而定的,即N与

有关,用来刻画“n无限增大”的程度.数列极限的严格数学定义几何意义：若,则对于任给的>0,无论它多么小,都存在正整数N,在{xn}中,从第N+1项开始以后所有各项全部落在a的

邻域中,在这个邻域之外,最多只有{xn}的有限项.第二部分：数列的极限例12证明证

对任意给定的,要使不等式

成立,只需.因此,若取

时,有,从而有

由定义可知,收敛数列的性质Chapter2*第一部分：收敛数列的性质定理1*(唯一性)

若数列{xn}收敛,则其极限是唯一的.定理2*(有界性)

收敛数列是有界的.注:

定理2的逆命题不成立,即有界数列未必收敛.如

是有界数列,但它没有极限.第一部分：收敛数列的性质定理3*(保号性)

若,且

a>0(或a<0),则必存在正整数N,当n>N时,恒有xn>0(或xn<0).推论*若数列{xn}从某项起有xn>0(或xn<0),且若,则

定理4*(收敛数列与其子数列间的关系)

若数列{xn}收敛于a,

则它的任一子数列也收敛于a.函数的极限Chapter3第一部分：时函数的极限定义12如果当x的绝对值无限增大(即

时),函数f(x)的值无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数f(x)当

时的极限,记为注:

自变量x的绝对值无限增大指的是：x既可以取正值,也可以取负值,但其绝对值无限增大.第一部分：时函数的极限定义13’

当(或)时,函数

f(x)趋近于常数A,则称常数A为(或)时的极限,记为注：第二部分：时函数极限的严格数学定义定义4*设函数f(x)在(M为正的常数)时有定义,A为常数,若对任意给定的正数(不论多么小),总存在正数X,使当

时,恒有则称常数A为

时函数f(x)的极限,记为第二部分：时函数极限的严格数学定义几何意义：

表示作直线

和,则总存在一个正数X,使得当

时,函数

y=f(x)的图形位于这两条直线之间

练习例13用定义证明

证

对任意给定的,要使

只需,因此,取,则当

时,必有

于是由定义4知,

练习例14讨论极限

是否存在.

解

由函数

的图形可知,

由于故

不存在.

第三部分：水平渐近线水平渐近线：若,则称直线

y=C为函数

y=f(x)图形的水平渐近线.例如,例13中直线

y=0为

的水平渐近线;例14中直线

及

均为

的水平渐近线.第四部分：时函数的极限考察函数当x分别从左侧和右侧趋于0.5时的变化趋势见下表.x00.10.30.40.49…0.5…0.510.60.91f(x)11.21.61.81.98…2…2.022.22.83由表可知,当x无限接近于0.5时,f(x)趋于常数2.我们称当时,函数f(x)的极限为2.则当时,函数f(x)的极限为2.令第四部分：时函数的极限定义14如果当x无限接近于定值

x0,即当

时(在

x0处可以无定义),函数

f(x)无限接近于一个确定的常数A,那么A就叫做函数

f(x)当

时的极限,记为

特例：

第五部分：时函数极限的严格数学定义定义15*设函数

f(x)在

x0的某去心邻域内有定义,A为常数.若对任意给定的(无论

多么小),总存在,使当

时,恒有则称常数A为函数

f(x)当

时的极限,记为说明：

(1)函数极限与

f(x)在点

x0处是否有定义无关；(2)与任意给定的正数

有关；第五部分：时函数极限的严格数学定义说明：(3)的几何解释:任意给定一正数,作平行于x轴的两条直线

和.根据定义,对于给定的,存在点

x0的一个

去心邻域,当

y=f(x)的图形上的点的横坐标

x落在该邻域内时,这些点对应的纵坐标落在带形区域

内.第六部分：左、右极限左极限：当

时,函数

f(x)趋于常数A,则称A为

f(x)在点

x0处的左极限,记为,简记为右极限：当

时,函数

f(x)趋于常数A,则称A为

f(x)在点

x0处的右极限,记为,简记为注：

练习例15用定义证明.

证

当

时,任意给定,要使只要取,则当

故由定义6知

练习例16设,讨论

是否存在.

解

因为所以

不存在.

练习例17设,求.

解

因为所以

练习例18设,求.

解

因为所以

不存在.函数极限的性质Chapter4第一部分：函数极限的性质定理5*

(1)(唯一性)若

存在,则其极限值唯一；

(2)(局部有界性)若

存在,则函数

f(x)在

x0的某去心邻域内有界；

(3)(局部保号性)若,且

A>0(或

A<0),则在

x0的某去心邻域内恒有(4)若,且在

x0的某去心邻域内

f(x)>0(或

f(x)<0),则有小结1.

数列极限的概念2.

收敛数列的性质

收敛:

数列没有极限.

发散:小结3.

函数极限的概念4.

函数左、右极限的概念5.

极限存在与左、右极限之间的关系时函数的极限:时函数的极限:或或或谢谢！

引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”——刘徽引言1.割圆术:

“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与