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2022年黑龙江省哈尔滨市石头河子中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如图,过原点斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A(x1,y1),B(x2,y2)①k的取值范围是(0,).②<k<.③当x∈(x1,x2)时,f(x)=kx﹣lnx先减后增且恒为负.以上结论中所有正确结论的序号是()A.① B.①② C.①③ D.②③参考答案:C【考点】命题的真假判断与应用;对数函数的图象与性质.【分析】构造函数f(x)=kx﹣lnx,求导可得f′(x)=k﹣,由已知f(x)有两个不同的零点,得k>0,进一步可得f(x)在(0,)上单调递减,在()上单调递增,画图可得f()=1﹣<0,则0,故①正确;由,得,故②错误;由图可知,当x∈(x1,x2)时,f(x)=kx﹣lnx先减后增且恒为负,故③正确.【解答】解:令f(x)=kx﹣lnx,则f′(x)=k﹣,由已知f(x)有两个不同的零点,则k>0,∴f(x)在(0,)上单调递减,在()上单调递增,∴f()=1﹣<0,则0,故①正确;且有,∴,故②错误;当x∈(x1,x2)时,f(x)=kx﹣lnx先减后增且恒为负,故③正确.∴所有正确结论的序号是①③.故选:C.2.函数y=+lg(cos2x+sinx–1)的定义域是(
)(A)(0,)(B)(–,–)∪(0,)
(C)(–,–π)∪(0,)(D)(0,)参考答案:B3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表:广告费用x(万元)1245销售额y(万元)6142832根据上表中的数据可以求得线性回归方程=x+中的为6.6,据此模型预报广告费用为10万元时销售额为()A.66.2万元 B.66.4万元 C.66.8万元 D.67.6万元参考答案:A【考点】线性回归方程.【分析】根据表中数据,求出、,利用回归方程过样本中心点(,)求出a的值,再利用回归方程预测广告费用为10万元时的销售额.【解答】解:根据表中数据,得=×(1+2+4+5)=3,=×(6+14+28+32)=20;且回归方程y=bx+a过样本中心点(,),所以6.6×3+a=20,解得a=0.2,所以回归方程y=6.6x+0.2;当x=10时,y=6.6×10+0.2=66.2,即广告费用为10万元时销售额为66.2万元.故选:A.4.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E是棱A1B1的中点,则A1B与D1E所成角的余弦值为()A. B. C. D.参考答案:B【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系,利用向量法解决问题.【解答】解:如图,以D为坐标系原点,AB为单位长,DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立坐标系,易见,,所以===,故选B.5.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为()A. B. C. D.参考答案:A【考点】简单空间图形的三视图.【分析】由题意画出几何体的直观图,然后判断以zOx平面为投影面,则得到正视图即可.【解答】解:因为一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),几何体的直观图如图,是正方体的顶点为顶点的一个正四面体,所以以zOx平面为投影面,则得到正视图为:故选A.6.把直线x﹣y+﹣1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得的直线l的方程是()A.y=﹣x B.y=x C.x﹣y+2=0 D.x+y﹣2=0参考答案:B【考点】直线的一般式方程.【专题】计算题.【分析】由已知直线的斜率求出与x轴的夹角,然后求出旋转后与x轴的夹角,即可得到所求直线的斜率,根据点的坐标写出直线方程即可.【解答】解:由题意知直线x﹣y+﹣1=0与x轴的夹角为45°,则绕点(1,)逆时针旋转15°后得到直线l与x轴的夹角为60°,则斜率k=tan60°=,又直线过(1,),所以直线l的方程为y﹣=(x﹣1)化简得:y=x.故选B.【点评】本题的突破点是会根据斜率求夹角、根据夹角求斜率.要求学生会根据一点坐标和斜率写出直线的方程.7.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10﹣a12的值为()A.20 B.22 C.24 D.28参考答案:C【考点】等差数列的性质.【专题】计算题.【分析】由等差数列的性质可知,项数之和相等的两项之和相等且等于项数之和一半的项,把已知条件化简后,即可求出a8的值,然后再由等差数列的性质得到所求的式子与a8的值相等,即可求出所求式子的值.【解答】解:由a4+a6+a8+a10+a12=(a4+a12)+(a6+a10)+a8=5a8=120,解得a8=24,且a8+a12=2a10,则2a10﹣a12=a8=24.故选C【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道中档题.8.在等差数列{an}中,,,则a1=(
)A.-1
B.-2
C.1
D.2参考答案:D9.在等差数列中,,,则数列的前项和为.
.
.
.参考答案:B10.等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,则n的值为(
)A.50 B.49 C.48 D.47参考答案:A【考点】等差数列的通项公式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】设公差为d,由条件a1=,a2+a5=4,可求得d的值,再由an=33,利用等差数列的通项公式,求得n的值.【解答】解:设公差为d,∵a1=,a2+a5=4,∴a1+d+a1+4d=4,即+5d=4,可得d=.再由an=a1+(n﹣1)d=+(n﹣1)×=33,解得n=50,故选A.【点评】本题主要考查等差数列的通项公式,等差数列的前n项和公式的应用,属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在△ABC中,∠A:∠B:∠C=1:2:3,则a:b:c=.参考答案:1::2【考点】HP:正弦定理.【分析】由三角形三内角之比及内角和定理求出三内角的度数,然后根据正弦定理得到a:b:c=sinA:sinB:sinC,由求出的A,B,C的度数求出sinA,sinB及sinC的值得到所求式子的比值.【解答】解:由A:B:C=1:2:3,得到A=30°,B=60°,C=90°,根据正弦定理得:==,即a:b:c=sinA:sinB:sinC=::1=1::2.故答案为:1::212.直线(为参数)截抛物线所得弦长为
.Ks5u参考答案:813.已知函数的图像如图所示,且.则的值是▲
.
参考答案:3
略14.在等腰梯形中,已知,动点和分别在线段和上,且,则的最小值为
.参考答案:15.有在外观上没有区别的5件产品,其中3件合格,2件不合格,从中任意抽检2件,则至少有一件不合格的概率为___________.参考答案:16.设分别是双曲线C:的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点,使(为原点),且,则双曲线的离心率为
▲
.参考答案:略17.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=_____参考答案:15三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.设函数,(1)对于任意实数x,f′(x)≥m恒成立,求m的最大值;(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根,求a的取值范围.参考答案:【考点】函数恒成立问题;一元二次方程的根的分布与系数的关系.【专题】计算题.【分析】(1)先求函数f(x)的导数,然后求出f'(x)的最小值,使f'(x)min≥m成立即可.(2)若欲使方程f(x)=0有且仅有一个实根,只需求出函数的极大值小于零,或求出函数的极小值大于零即可.【解答】解:(1)f′(x)=3x2﹣9x+6=3(x﹣1)(x﹣2),因为x∈(﹣∞,+∞),f′(x)≥m,即3x2﹣9x+(6﹣m)≥0恒成立,所以△=81﹣12(6﹣m)≤0,得,即m的最大值为(2)因为当x<1时,f′(x)>0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0;所以当x=1时,f(x)取极大值;当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2﹣a;故当f(2)>0或f(1)<0时,方程f(x)=0仅有一个实根、解得a<2或【点评】本题主要考查了一元二次函数恒成立问题,以及函数与方程的思想,属于基础题.19.已知函数的定义域为,当时,,且对任意的实数,,等式恒成立.若数列{}满足,且=,则的值为A.4016
B.4017
C.4018
D.4019
参考答案:D略20.(本题满分10分)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求:(Ⅰ)2X+1的分布列;(Ⅱ)|X-1|的分布列.参考答案:
21.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线,曲线.(I)求曲线C1及C2的直角坐标方程
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