2021年常微分方程试题库

常微分方程一、填空题1．微分方程阶数是____________答：12．若和在矩形区域内是持续函数,且有持续一阶偏导数,则方程有只与关于积分因子充要条件是_________________________答：3．_________________________________________称为齐次方程.答：形如方程4．如果___________________________________________,则存在唯一解,定义于区间上,持续且满足初始条件,其中 _______________________.答：在上持续且关于满足利普希兹条件5．对于任意，(为某一矩形区域),若存在常数使______________________,则称在上关于满足利普希兹条件.答：6．方程定义在矩形区域:上,则通过点解存在区间是___________________答：7．若是齐次线性方程个解,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程___________________________________答：8．若为齐次线性方程一种基本解组，为非齐次线性方程一种特解,则非齐次线性方程所有解可表为_____________________答：9．若为毕卡逼近序列极限，则有__________________答：10．______________________称为黎卡提方程，若它有一种特解，则通过变换___________________，可化为伯努利方程．答：形如方程11．一种不可延展解存在区间一定是区间．答：开12．方程满足解存在唯一性定理条件区域是．答：，（或不含x轴上半平面）13．方程所有常数解是．答：14．函数组在区间I上线性无关条件是它们朗斯基行列式在区间I上不恒等于零．答：充分15．二阶线性齐次微分方程两个解为方程基本解组充分必要条件是．答：线性无关（或：它们朗斯基行列式不等于零）16．方程基本解组是．答：17．若在上持续，则方程任一非零解与轴相交．答：不能18．在方程中，如果，在上持续，那么它任一非零解在平面上与轴相切．答：不能19．若是二阶线性齐次微分方程基本解组，则它们共同零点．答：没有20．方程常数解是．答：21．向量函数组在其定义区间上线性有关条件是它们朗斯基行列式，．答：必要22．方程满足解存在唯一性定理条件区域是．答：平面23．方程所有常数解是．答：24．方程基本解组是．答：25．一阶微分方程通解图像是维空间上一族曲线．答：2二、单项选取题1．阶线性齐次微分方程基本解组中解个数正好是（A）个．（A）（B）-1（C）+1（D）+22．如果，都在平面上持续，那么方程任一解存在区间（D）．（A）必为（B）必为（C）必为（D）将因解而定3．方程满足初值问题解存在且唯一定理条件区域是（D）．（A）上半平面（B）xoy平面（C）下半平面（D）除y轴外全平面4．一阶线性非齐次微分方程组任两个非零解之差（C）．（A）不是其相应齐次微分方程组解（B）是非齐次微分方程组解（C）是其相应齐次微分方程组解（D）是非齐次微分方程组通解5.方程过点共有（B）个解．（A）一（B）无数（C）两（D）三6.方程（B）奇解．（A）有三个（B）无（C）有一种（D）有两个7．阶线性齐次方程所有解构成一种（A）线性空间．（A）维（B）维（C）维（D）维8．方程过点（A）．（A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解（D）只有两个解9.持续是保证对满足李普希兹条件（B）条件．（A）充分（B）充分必要（C）必要（D）必要非充分10．二阶线性非齐次微分方程所有解（C）．（A）构成一种2维线性空间（B）构成一种3维线性空间（C）不能构成一种线性空间（D）构成一种无限维线性空间11．方程奇解是（D）．（A）（B）（C）（D）12．若，是一阶线性非齐次微分方程两个不同特解，则该方程通解可用这两个解表达为（C）．（A）（B）（C）（D）13．持续是方程初值解唯一（D）条件．（A）必要（B）必要非充分（C）充分必要（D）充分14.方程（C）奇解．（A）有一种（B）有两个（C）无（D）有无数个15．方程过点(0，0)有（A）．(A)无数个解(B)只有一种解(C)只有两个解(D)只有三个解三、求下列方程通解或通积分1．解：，则因此此外也是方程解2．求方程通过第三次近似解解：3．讨论方程，解存在区间解：两边积分因此方程通解为故过解为通过点解向左可以延拓到，但向右只能延拓到２，因此解存在区间为4．求方程奇解解：运用鉴别曲线得消去得即因此方程通解为，因此是方程奇解5．解：=，=，=，因此方程是恰当方程.得因此故原方程解为6．解：故方程为黎卡提方程.它一种特解为,令，则方程可化为，即，故7．解：两边同除以得因此，此外也是方程解8．解当时，分离变量得等式两端积分得即通解为9.解齐次方程通解为令非齐次方程特解为代入原方程，拟定出原方程通解为+10.解方程两端同乘以，得令，则，代入上式，得通解为原方程通解为11．解由于，因此原方程是全微分方程．取，原方程通积分为即12．解：当，时，分离变量取不定积分，得通积分为13．解原方程可化为于是积分得通积分为14．解：令，则，代入原方程，得分离变量，取不定积分，得（）通积分为：15．解令，则，代入原方程，得，当时，分离变量，再积分，得即通积分为：16．解：齐次方程通解为令非齐次方程特解为代入原方程，拟定出原方程通解为+17.解积分因子为原方程通积分为即18．解：原方程为恰当导数方程，可改写为即分离变量得积分得通积分19．解令，则原方程参数形式为由基本关系式，有积分得得原方程参数形式通解为20．解原方程可化为于是积分得通积分为21．解：由于，因此原方程是全微分方程．取，原方程通积分为即四、计算题1．求方程通解．解相应齐次方程特性方程为：特性根为：故齐次方程通解为：由于是单特性根．因此，设非齐次方程特解为代入原方程，有，可解出．故原方程通解为2．求下列方程组通解．解方程组特性方程为即特性根为，相应解为其中是相应特性向量分量，满足可解得．同样可算出相应特性向量分量为．因此，原方程组通解为3．求方程通解．解：方程特性根为，齐次方程通解为由于不是特性根。因此，设非齐次方程特解为代入原方程，比较系数得拟定出，原方程通解为4．求方程通解．解相应齐次方程特性方程为，特性根为，，齐次方程通解为由于是特性根。因此，设非齐次方程特解为代入原方程，比较系数拟定出，，原方程通解为五、证明题1．在方程中，已知，在上持续，且．求证：对任意和，满足初值条件解存在区间必为．证明:由已知条件，该方程在整个平面上满足解存在唯一及解延展定理条件．显然是方程两个常数解．任取初值，其中,．记过该点解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾．故该解存在区间必为．2．设和是方程任意两个解，求证：它们朗斯基行列式，其中为常数．证明:如果和是二阶线性齐次方程解，那么由刘维尔公式有当前，故有