2023年福建省龙岩市上杭县中考模拟数学试题（含答案）

2023年福建省龙岩市上杭县中考模拟数学试题（一）和答案详细解析（题后）

一、单选题

1.实数2023的相反数是()

A.B._1_c.D.2023

20232023-2023

2.五个大小相同的正方体塔成的几何体如图所示，其左视图是（)

正面

D大

3.我国神舟十五号载人飞船于2022年II月30日，在距地面约39000（泮的轨道上与中国空间站天和核心舱交会对接成功，将

390000用科学记数法表示应为（）

A-3.9*104B-39x104

4.下列图形中，是中心对称图形的是（）

5.下列各运算中，计算正确的是（）

22

A・（x-y）=x--y3x-2x=6x

C（一.口）2=甘D-o6+a2=q3

6.如表是某公司员工月收入的资料:

月收入/元4500018000|1000055005000340033001000

人数11361111

能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是（）

A.众数和中位数B.平均数和中位数C.平均数和众数D.平均数和方差

7.一次函数1.=履_勘•的图象经过点心且.r随'的增大而增大，则点，的坐标可以是（）

A-（1,1）B.（-1,3）C.（0,-1）D-(3.-1)

8.中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（，两'为我国古代货币单位）：马二匹、牛

五头，共价三十八两,阀马、牛各价几何？“设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）

A(4x+6y=38B（4.v+6v=48©J4A'+6y=48口J4y+6t=48

，Uv+5v=38*（5x+2y=38*（2y+5x=38

|2v+5y=48

9.如图.在中，=AC=2f边”的中点，E是边sc上一点•若平分的周长，则力E的长为

（）

B・4D.10

3

10.二次函数y=/+znx-〃的对称轴为x=2.若关于x的一元二次方程/+侬-〃=。在-iv》V6的范围内有实数解，贝!）〃的取值

范围是（）

A.-4<n<5B.n>-4C.-4<w<12D.5V，7V12

二、填空题

11.不等式组卜+2>°的解集是

lx-340-

12.正〃边形的一个外角是60。，则边数〃=.

13.如图，已知点N在反比例函数「与内土。）的图象上，过点/作/BJ.J釉于点区A048的面积是2-贝必的值是

14.已知w入【是方程2丫2-太-2=0的两根，则卬+为2=-

15.在数学活动课上，老师说有人根据如下的证明过程，得到力=2”的结论.

设。、6为正数，且。=6.

•；a=b,

:・ab=8,①

:・ab-£=?-&,②

•.aCb-a）=（6+a）（b-a）.③

•.a=b+a.④

.'.67=2（7.⑤

.'.1=2.⑥

大家经过认真讨论，发现上述证明过程中从某一步开始出现错误，这一步是（填入编号），造成错误的原因是.

16.如图，正方形,出co的边长为。，点E在边上运动（不与点/、8重合），Z_DAM=45^点户在射线4W上，且.=正.

，C尸与/力相交于点G连接EC、EF、EG-则下列结论：①/ECF-45°；②△/EG的周长为。；③8E2+DG」EG；④AE4产

的面积的最大值是（加；⑤当8E:.4E=I:2时，G是线段4。的中点.其中正确的结论是.（填写序号）

M

三、解答题

17.计算：

18.己知：如图，点E,A,C在同一条直线上，AB〃CD,ABCE,AC=CD.

求证：BC=ED.

19.先化简，再求值:1+A.等，其“

20.如图，已知,A/4N，8为边4”上一点.

N

4上----------------M

(1)尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：

①过点8作BC1AM交AN边于点C；

②以/C为边作4/CZ)=£，，且交于点。•

(2)若/D=5,8/):3,请利用(1)中所作的图形求sin4/的值•

21.6月5日是世界环境日.某校举行了环保知识竞赛，从全校学生中随机抽取了〃名学生的成绩进行分析，并依据分析结果绘制

了不完整的统计表和统计图(如下图所示).

学生成绩分布统计表

请根据以上图表信息，解答下列问题:

(1)填空：n—___,a=；

(2)请补全频数分布直方图；

(3)求这〃名学生成绩的平均分；

(4)从成绩在75.59<80.5和95.5%<100.5的学生中任选两名学生.请用列表法或画树状图的方法，求选取的学生成绩在

75.5方〈80.5和95.5夕<100.5中各一名的概率.

22.如图，四边形/BO是的内接四边形，/c为直径，曲_幻,DEJ.8C，垂足为£

(1)判断直线石力与弹位置关系，并说明理由;

(2)若CE=3，/C=12，求阴影部分的面积.

23.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周

销售利润”，(元)的三组对应值如下表：

售价X(元/件)506070

周销售量了(件)806040

周销售利润卬(元)80012001200

注：周销售利润=周销售量x(售价-进价)

(1)写出y关于x的函数解析式：；

(2)求该商品的进价和周销售的最大利润：

(3)由于某种原因，该商品进价提高了状元/件，物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中,

周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1080元，求机的值.

24.综合与实践：过四边形48CZ)的顶点”作射线/M，尸为射线/切上一点，连接。户将/整点4顺时针方向旋转至40,记旋

转角zPAQ=a，连接80。

【探究发现】如图1,数学兴趣小组探究发现，如果四边形/8CZ)是正方形，且a=90°，无论点尸在何处，总有80=力尸，请证

明这个结论.

【类比迁移】如图2,如果四边形/8CZ)是菱形，zD.4B=a=60°＞/.MAD-15°＞连接当P0180，/8=后+/时，

求，炉的长.

【施展应用】如图3,如果四边形/8CZ)是矩形，/D=3，JB-4'4”平分ND/C，a-90°•在射线上截取/心使得

AR=j.4P-当AP8R是直角三角形时，请直接写出的长.

25.在平面直角坐标系皿r中，己知抛物线v=ax2+及•+次》轴于4(-1.0)，8(4,0)两点，与y轴交于点0

(2)如图1,力为直线8c上方抛物线上一动点，连接力力，交8c于Q求靠的最大值；

(3)如图2,连接/c，8c过点。作直线川8。点尸、。分别为直线/和抛城线上的点.试探究：在第四象限是否存在这样的

点尸、Q，使ABP0-A/CB-若存在，请直接写出所有符合条件的点/＞的坐标；若不存在，请说明理由•

答案详解

【答案】C

【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数.

【详解】实数2023的相反数是-2023.

嬲：C.

【点")本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键.

【答案】C

【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案.

［详解］解：从左边看第一层有两个小正方形，第二层右边有一小正方形,

雌：C.

本题考杳了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图.

【答案】D

【分析】科学记数法的表示形式为ax1（『的形式，其中1£同＜10,"为整数.确定"的值时，要看把原数变成《时，小数点移动了多少

位，”的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，”是正数；当原数的绝对值“时，”是负数.

【详解】解：390000=3.9x105

雌：D.

【点禁】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的方法是解题关键.

【答案】A

【分析】根据中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转1X0。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做

中心对称图形，这个点叫做对称中心）逐项判断即可得.

【详解】解:A.是中心对称图形，故选项A符合题意；

B.不是中心对称图形，故选项B不符合题意；

C.不是中心对称图形，故选项C不符合题意；

D.不是中心对称图形，故选项D不符合题意；

蝴：A.

【点禁】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合.

【答案】C

【分桁】分别根据完全平方公式，单项式乘以单项式，积的乘方和同底数幕的除法运算逐项进行判断即可.

【详解】A.（x-.v）2=x2-2盯，+尸，计算错误，不符合题意；

B,3.r-2x=6A-.计算错误，不符合题意；

C、计算正确，符合题意；

D、/+加=04,计算错误，不符合题意；

故选：C.

【点『1）本题考查了完全平方公式，单项式乘以单项式，积的乘方和同底数幕的除法运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键.

6.

【答案】A

【分析】结合表格触差异较大分析即可得解

【详解】：这组数据中有差异较大的雌，求平均数会导致平均数较大，

.不J用中位数与众数可以更好地反映这组甥§的集中趋势.

故选择：A

【点第】本题考查了众数，中位数，解超的关键是分析数据特征，理解并掌握中位数及众数的定义.

7.

【答案】c

【分析】先根据一次函数的解析式可以判断其必过点(2.0),即团居一次因数是递增函数，将点(2.0四选项各点逐一比较即可得解.

【详解】-y-kx-2k-k(x-2),

.可知一次函数必经过点(2.0),

A.K2,1>0,此时不满足H魄v的增大而增大，故A项错误,不符合题意；

B.-K2,3>0,此时不满足,随'的增大而增大，故B项错误,不符合题意；

C.0<2,-K0,此时满足।倍t的增大而增大，故C项正确，符合题意；

D.3>2,-K0,此时不满足随'的增大而增大，故D项错误.不符合题意；

9C.

【点禁】本题考查了一次函数的增减性，找到一次函数经过定点(2。是解答本题关键.

【答案】B

【分析)设马每匹、两，牛每头「两，由“马四匹、牛六头，共价四十八两”可得4x+6,r=48,木弱“马二匹、牛五头，共价三十八两，”可

得2L5J，=38,即可求解.

【详阚解：设马每匹两牛码两根据题意可得

(4.V+6F=48

12K+5)，=38

雌B

【点层】本题考直了列二元一次方程组，理解题意列出方程组是解假的关键.

【空室】B

【分析】延长8C到点尸，使。尸-G4,连接XF,过点。作CH,月尸于点“，牛幽OE平分A.48。的周长，。为8。中点，推出

AC+CE=BE,得到EF「8£,推出是A/8F的中腐.得到。E〃月F，DE~\AF,根据三角形外角性断等边对等

角，ZJCB-60°,CF-CA^2,得到NF=NC4--30。，推出一本才仁一㈠，推出/尸一2月，-2£，得到

DEf.

【详解】解：延长8C到点尸，使。尸=。4连接』广，过点。作CH1.月广于点H,

•••DE平分AM3。的周长，且。为8c中点，

:.AC+CE=BE

:.EF=BE,

.••£)£是A48尸的中媵.

t.DEMF.DE-\AF

vZF+/.CAH^Z^Cfi=60°,CF=C4=2.

zF=乙04,=30°,

，XH=£/C=0，

："F=2AH=2日

.-.DE=3

雌：B.

【点喜】本殷主要考查了三角形中位线，等腰三角形，三角形外角，含30。角的直角三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握

三角形中位线的判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含30。角的直角三角形边的性质.

【答案】C

【分析】根据对称轴求出"帕值，从而得到.V--I、6时的函数尸二』值再根据一元二次方程M+心-〃-诲-1<尸(例范国内有

好相当于.V「城+必与yf在'的范围内有交点解答.

【详解】样.抛物线的对称轴x=-号=2,

则方程9+，，g，=0,即14一"=0的解相当于y=xJv与直线r=，，的交点的横坐标，

【方程=。在-1<x<6的范围内有实数解.

..当r=-l时，y-1+4=5,

当x=6时，_y=36-24=12,

又二v=/4=(x-2)2-4,

，在-l<x<6的范围，-4<v<12,

的取值范围是"£“<12,

嬲：C.

【点本题主要考查抛物线与、轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.难点是把一元二次方程V+加一"-(底

-\<x<6的范围内有实数解,转化为函数.Vr2+心与直线L〃在一I<X<6的范围内有交点的问题进行解答.

11.

【级】-2<x<3

【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集.

【详阚产法

卜-3«0②

解不等式①得x>-2,

解不等式②得.v£3,

故不等式的解集为-2<xW3.

故答案为：-2<xS3

【点睛】本踵考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了.

正确求出每个不等式的解集是解题关键.

12.

【答案】6

【分析】利用正多边形的外角和即可求出答案.

【详解】360°+60°=6,

故答案为：6.

【点录】本翅主要考查了多边形的外角和定理.掌握任何一个多边形的外角和都是360。是关键.

13.

图】4

【分析】根据，OAB的面积等于2即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出俏.

【详阚解：设点”的坐标为（％5,ABly.

-

由题意可知:SAOARTOB-AB-^y（•.Vj2,

叫「"4，

又点4在反比例函数图像上，

故有人=."，）=4.

故答案为：4.

【点注】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键.

【答案】y

【分析】利用根与系数的关系得到$+.9=*,$.巧=-1,再利用完全平方公式进行计算即可.

【详解】解：根据题意得\］打2-¥，x&=-I.

­%V|2+-（町+4/-2A•卜巧

=（¥「-2x（-1）

_17-

T-

故答案为：孑.

【点胤本题考直了根与系数的关系：若“，4是一元二次方程遍+灰+。-0（"0）的两根，则有一+二-->1,w广务

15.

【答案】④等式两边除以零，无意义.

【分析】根据等式的性质：等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变，可得答案

【详解】解：由a=b,得a-b=O.

第④步中两边都除以（a-b）无意义.

故答案为：④；等式两边除以零，无意义.

【点露】本题考查了等式的性质，等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的整式，结果不变.

【答案】①④⑤

【分析】①正确.如图1中，在*'上截取环连接£〃.证明AEHC（SAS）即可解决司题.②③错误.如图2中，延

长力。到"使得DH=BE,则AC8£WACO〃（SAS）,再证明AGC£三AGC〃（SAS）即可睇决问题.④正确.设

BE-x.则/£-°-1.4尸-石皿构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题.⑤正确.当8£:.4£-1:2时，设

DG-x.则=+利用勾股定理构建方程可得v=O.W即可解决问题.

【详制解：如图I中，在*'上截取8〃-连接EH.

BE=BH、乙EBH=900,

NF=«BE，

AF-EH.

'LDAM-乙EHB-45。,乙BADn

^LFAE-，E〃C=I35。，

.BA-BCBE=BH,

AE-HC.

.△FAE三A£//C（SAS）,

.EF-EC、5EF=LECB.

乙ECH+乙CEB-900,

•£.4EF+LCEB-9。。,

ZF£C-9OC,

'Z.ECF-N£TC=45。，故①正确，

图1

如图2中，延长.4。到〃，使得。〃—BE.则ACBE三ACD//(SAS),

，£ECB=LDCH.

LECH=48c0=90。，

ZECG=乙GCH=45°,

CG=CG,CE=CH,

.AGCEWAGC〃(SAS),

EG=GH,

■:GH=DG+DHQH-BE,

EG-BE+DG,故③^误,

A.4£G的WK-AE^EG+AG-AE-AH=AD+DH+AE-AE+EB-AD-AB-AD-2a.故@

设BE=x,则.4E=。-x,.4F=隹t，

"^MEF=5•(a--V)*.r=-,.H+ilax5(x2-ar+^a2-~-4(-v-5a)+^a-,

•—40.

."T"时，A/EF的面积的最大值为*R.故④正确，

当8E:.4£T:2时，设。G-x,则EG=x+#a,

在RtA/lEG中，则有(x+£a)=(a-x)*+(^a),

解得「号，

AG^GD,即。是线段/。的中点，故⑤正确，

故答案为：①④⑤.

【点注】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.

【答案】-班

【分析】先计算负整数指数靠、化简二次根式、去绝对值，再进行加减计算即可.

【详解】解：原式：-2-邛+2-下

=-玷

【点m】本题考查二次根式的混合运算，涉及负整数指数幕.化简二次根式和去绝对值.掌握二次根式的混合运算法则是解题关键.

【答案】见解析

【分析】首先由ABUCD,根据平行线的性质可得/BACMECD,再由条件AB=CE,AC=CD可证出〃BAC和-ECD全等，再根据全等三角

形对应边相等证出CB=ED.

【洋解】证明：-.ABUCD,

.'.zBAC=zECD,

.在，BAC和AECD中，

AB=ECfZBAC=ZECD,AC=CD,

.“BAgAECD(SAS).

,CB=ED.

【点蹈】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质.

19.

【标】品G

【分析】先将括号里面的进行通分计算，除法改写为乘法，各个分子分母进行因式分解，再进行化简，最后将.、的值代入进行计算即可.

【详阚解：筋一苦言

AH-I3(.v-2)

E(x+|)2

当l/t时，原式「石七丁瓦

【点污】本题主要考查了分式的化简求值及二次根式的化简，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序.

20.

【答室】(I)①见解析；②见解析

⑵6

T

【分析】(1)①根局乍垂线的方法进行画图即可；②根据线段垂直平分线的作法画图即可.

(2)解直角三角形求出8c..4C,可得结论.

【详解】(1)①如图，直线8c即为所求作.

②如图，射线CD即为所求作.

(2)由作图可知，EF垂直平分线段HC,

-DA=DC-5,

BD=3,8cL90。，

BC^yjcb2-BD^-4.AB-AD+BD-S.

在RtA48C中，AC^^BC2+AB2+-4^51

[--]本题考查作图-基本作图、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常

考题型.

【答案】(1)40,0.25

(2)见解析

(3)88.125分

(4)图表见解析，宫

【分析】(1)根据'濒率=频数-总数”和频率之和为1可得答案；

(2)用总人数减去其他组的人数即为80.5到85.5组人数，即可补全频数分布直方图;

(3)利用平均数的计算公式计算即可；

(4)列出树状图即可求出概率

【详解】⑴解：由图表可知："-2+0.05=40,a=40-2-1-11-2-0.25

(2)解:由⑴可知，80S到85.5组人数为40-2-15-11-2=10(人)，

(3)解：^)(2x78+10x83+15x88+11x93+2*98)-88.125(分)

(4)解：用必表示75.5人＜80.5中的两名学生，用片,々表示95.5点＜100.5中的两名学生，画树状图，得

AiAiBiBi

AiBiBiAiB\BiAiA2BiA\A2Bi

由上图可知，所有结果可能性共12种，而每一种结果的可能性是一样的，其中每一组各有一名学生被选到有8种.

•.每一组各有一名学生被选到的概率为备=5-

【点禁】本题主要考查本题考查读频数分布直方图，求平均数，利用树状图求概率，掌握相关的概念以及方法是解题的关键.

22.

【答案】(1)见解析

⑵6;r-94

【分析】(1)连结如图，根据圆周角定理，由分心-彼得到/8.4Q-LACD,再根据圆内接四边形的性质得

LDCE=BAD,所以N/CO-Z.DCE；利用内错角相等证明0cli8C,而。£18C,则。。J.OE,于是根据切线的判

定定理可得为的切线；

(2)作OHJ.8C于"易得四边形。。E〃为矩形，所以O0-E//-6,则C7/-HE-CE-3,于是有z.=30。，得

到zCOD-60%然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S扇形进行计算即可.

【详解】(1)直线E。与相切.

理由如下：

连结”。，如图，rZiB-怒，

**•Z.BAD-Z.A(JD•

・・•ZDCE+Z.DCB-180°,ZBCD^rABAD-180°,

NDCE=/BAD

/.乙ACD=CDCE.

vOC-OD.

:.LOCD-LODC,

而4or。-Z.DCE,

・•.Z.DCE-LODC,

^OD\\BC

-DEIBC.

IODIDE,

・•.£)£为G)O的切线；

(2)作OHIBC于兄

又DE1BC,OD1DE,

则四边形OOE”为矩形，

：・OD=EH.

•:CE=3.4C=12,

：.OC=OD=6,

:・CH=HE-CE=6-3=3.

在RlAO〃C中，VOC-6,CH-3.4OH-90。,乙HOC：3。。,

，・.ZCOD-60°,

阴影部分的面积rS扇形0c［厂5人”。

_6()•乃•6°z2

=-3604-*6

=6^-9^3•

【点⑴本题考宜了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某

点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可.也考直了扇形面积的计算.

23.

【答案】(l)v--2V+180

(2)售价为65元件时，周销售利润最大，为1250元

(3)/n=2

【分析】(1)依题意设,V-AX+"解方程组即可得到结论；

(2)根据利润=售价-进价，周销售利润=周销售量>(售价-进价)列出函数关系式，根据性质解答即可;

(3)利用二次函数的性质解答即可.

【详解】(1)解：设，与'的函数关系式为严打+〃，将(50,80),(60,60)分别代入得，

1504十加80«iaM=-2

(60A*7)=60'80'

7与用)函数关系式是v=-Zv+180;

故答案为：.v=-2r+l«0;

(2)解：设进价为。元，由售价50元时，周销售量为S0件，周销售利润为800元，得

80(50-fl)-X00,

解得：a=40

即该商品的进价为40元件；

fife®意有(-2r+180)(.v-40)=-2x2+260.v-7200---2(.r-65)2+1250

----2<0,

抛物线开口向下，

，当X-65时，，，有最大值为1250,

即售价为65元件时，周销售利润最大，为1250元.

(3)解：意有ir=(-2v-180)(x-40-/n)=-2r-+(260+2in).v-7200-180m,

-m>0i

.对磷「当位>65,

,,-2<0,

VA-<60

随珀勺增大而增大，

'•当.v-60时，“有最大值(-2x60+180)(60-40-??/)—1080,

-'in-2.

【点六】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键.

【答案】探究发现：见解析；类比迁移：2;拓展应用：芈或印

【分桁】探究发现：用正方形性质和旋转变换证明A.4OPWA480(SAS),即可证得结论；

类比迁移：如图2,过点N乍?HJ.48于点“，连接8P,先证明A4£)e£AzlB0(SAS),可得80-。尸，Z.APD-LAQB

,再证明：A.4PQ是等边三角形，A.4P"是等腰直角三角形，A8P0是等候直角三角形，利用解直角三角形即可求得答

案；

拓展应用：分三种情况讨论：①当48KP-90。时，②当/P8R-9(T时，③当48PR-90。时，分别求出的长即可.

【详解】探究发现：证明：如图I,；四边形/8C。是正方形，

LD.4P+ZBJ.W-900,

vZ40=90。,

Z.BAO+484M=90°,

:.LDAP-zBAQ,

.•将.，俨绕点，顺时针方向旋转至/。，

：.AP-AQ,

・•.A.4OPWA/180(SAS),

：.BQ-DP.

类比迁移：解：如图2,过点N乍尸"±.48于点儿连接8P,

1,四边形/8C。是菱形，

AD^AB,

由旋转得：AP-AQ.

%­/.DAB-a-600,即乙。彳8一，R4。-60。，

・•.ZD.4P+LBAM-60°,，8/0+ZBAM=60。，

・•.LDAP^乙BAQ,

:.A.4OPWA.480(SAS),

・・.BQ-DP,LAPD-LAQB,

VAP^AQ.，/M0=6O。，

:，△.4P。是等边三角形，

Z.40P=6O。,

“018。

・•・480Ph90。，

ALAQB=△40P+，80P=6O。+90。=150°,

・•.乙APD-LAQB-150°,

・•.ZDP.W=180°-Z.APD-1800—150°「30°,

vLMAD-^15°,

・•.LADP-乙DPM-ZA/JD=3O°-15。=15。，

・•・Z.ADP=ZMAD,

:.AP=DP,

・,.AQ-BQ-PQ-AP,

・•.£ABQ=LBAQ-，同力。=15°,

・•.LPAH-LPAQ-4840—60。-15°—45°,

-PHLAB.

・・・乙AHP=ZB//P-900,

A△.4P〃是等腰直角三角形，

在

：.AH^PH-AP^45Q-\AP'

-BQ-PQ.Z.尸08-90。，

・•・A是等腰直角三角形.

•INPBQ=45。,

・・・乙PBH=LPBQ-4力80—45。-15°—30°,

B厂

PHr

ABH=lanLPBH~tan30°一~TAP

rrR.r

vzvov，十

.•・AB-4H+BH=*AP十?AP-"24P’

,：AB-示一0，

.•.与£日后+亚，

.,.AP-2\

拓展应用：解：①当48RP=9(r时，如图3,连接OP,PQ,过点B作8EJ.X。于点E,

设J.M交C。于点£过点F作尸GL4C于点G,

.「四边形」18co是矩形，

；.Z.84W+Z,。月尸=90°,ZJDC=900.

vZBAM-*-zB.4/?-90°,

.%£DAPz.BAR,

,•AD—3tAB~4»

.AD3

f不

%,AR-

・•.AADPsAABR,

；.佛-普T，即8R=§DP,

•・・4M平分iD4C,FDJLAD.FGJLAC,

:.FD=FG,

在RtA/CD中，AC~^ADr^CDr-y32+42-5<

AsinZACD-4^--1»

v_sinZ.4CD=i,

**CF亨

,:DF+CF=CD=4,

ADF=5,CF=J,

在RlAADF^P,=J/D2+DF?=b+(g)-

7Z.BAR=LDAP,LAEB=ZJDF-900,

AAAEB^AADF.

8。4J5

・・.力£>+'8£=+'

•・•乙BRP-9。。,

・•.乙ARP+/法-90。，

・・・Z.ARP+Z..4PR=90。，

・•.LBRE=LAPR,

:.tanLBRE_tanZAPR.

.HE_AR_4

5-f

•♦瓦7T3

:・FR=ARE-2艾亚一生，

vAR+ER-AE,

②当乙P8R-90。时，如图4,过点Pf乍PGJ..4。于点G,PH上4B于点讯

・・•£GAH=LAGP-ZJ/7P-900,

.・四边形/G/7/是矩形，

Js2J5

:.AH-PGAP，PH-AG-^AP'

一行

・•・BH=AB-AH=4-^AP'

:.BP2=PH2+B心［半斗（4-£.4尸|-/尸2-芈.40+|6'

SRtAQPG中,0P2=£X;2+PG2=Q-芈"）+倬/尸）=^--^-^+9,

：.BR2-^DP2-^AP2-^J-AP+\6,

SERtA/lPH中，P^-A^+Al^^Al^^^Apf-^AP2'

在RIAP8R中，PR2-^BP2+BR2'

:.^AP2-AP2-^J-AP+\6+^AP2-^-AP+\6'

解得：』尸「¥；

③当LBPR-90。时，

由②知：8解=普"2-^^.4尸+16"炉一普4产，BP?-/产-畛”+16,

•••尸解+3产=8科

■■■^AP2+AP2-^-AP+

解得：/p-0或--芈，均不符合题意；

综上所述，”的长为更或座.

411

【点建】本题考查了正方形.菱形、矩形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角

三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，采用分类讨论的思想，作出辅助线是解决本题的

25.

[(I)V-----4-V2+5V+

【分析】(1)用待定系数法求出函数解析式即可；

(2)构造出A.4GE〜△/)£〃，可得唯一竽，而。£和.46都可以用含自变量的式子表示，最后用二次函数最大值的方法

求值.

(3)先发现A.43「是两直角边比为2:1的直角三角形，由&BPQ-AACB,构造出A8。。，表示出。点的坐标，代入解析

式求解即可.

【详解】(I)分别将,4(T.0),8(4,0)代入v=av2+/n+2中得

10=a-/)+2

I。二।2'

a=-5

解得：