2024年高考数学一轮复习考点-等式与不等式性质（教师版）（新教材新高考）

专题04等式与不等式性质、一元二次不等式

（核心考点精讲精练）

【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质解决有关问题

3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及根的个数

4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式:并能用集合和区间表示

5.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系

考点梳理

知识讲解

1笺#的枇雨

2.作差法比较大小关系

a-b>Ooa>b

a-b=O<^>a=b

a-b<O<^>a<b

3.不等式的性质

性质1对称性a>bob<a

性质2传递性a>b,b>ca>c

性质3可加性a>h^>a+c>h+c

性质4可乘性a>b,c>O=>ac>bc

性质5同向可加性a>h,c>d=>a+c>b+d

性质6同向同正可乘性a>b>0,c>d>O=>ac>bd

性质7可乘方性a>b>Ona">^'(neN+,n>2)

性质8可开方性a>b>0^>'4a>呵nGN+,Z?>2)

Jb+mhb-maa+maa-m

右心QO,">0,则L］工；-S-〃AO)；声用；；广广方3f“)・

4.二次函数的图象与性质

y=ax2+bx+c(aw0)6Z>0Q<0

V/2

_1

49-»-i

函数图象•a«\°*y4/:f91Jy45

7

开口方向向上向下

b

对称轴方程x=-----

2a

4ac-b2

最值y=

4A。

5.一元二次方程求根公式及韦达定理

一元二次方程求根公式

ax2+bx+c=0(a70)的根为：x=—―~-——(a^0,b2-4ac>0)

韦达定理(根与系数的关系)

b

+%2=----

ax2+/?尤+c=0(aw0)的两根为当，修；则《a

c

X「％2=_

a

6.解一元二次不等式

“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系

判别式

A>0△=0A<0

△二〃-4ac

一元二次方程有两个相等实根

有两个不等实根

2(。牛)b无实数根

ax+bx+c=00==

X],/(设芭<%2)X,-----

的根-2a

以IL

二次函数上

y=ax2+bx+c(a>0)

的图象|Xl=X2X

2

ax+hx+c>0(6f>0)同九〈%或¥>%2}Jib\

1R

的解集I2力

2

ax+"x+c<0(a>0)<x<x}

{小］200

的解集

af+bx+cXXaWO)恒成立的充要条件是：«>0且/?2—4(zc<0(xGR).

g2+法+cVO(a=O)恒成立的充要条件是：“<0且加一4acV0(x6R).

7.解分式不等式

②^^>0=/(x)g(x)>0

①<°o'(x)g(x)<°

③爵77(x)g(x)<o7(%)g(%)>o

./(+0④卷H./(*o

例题：

^^>0=>(3x+2)(2x—3)>0nx<-2或无>3

2九一332

±^<0n(x-5)(2x+l)<0n」<x<5

2x+l2

3x—2.(3x-2)(4x+l)<0

------<0=>^=>V43

4x+l4x4-1^0143

——

4

x<--^x>-

名&0n旦40n(3x+l)(3x-l)>0_

33=>x<--^x>-

1

l-3x3x-l3x-lw0龙工一33

3

]I1—Xx—1xU-l)>0x<0或x>1,,

Yin——1<0=>—-<0=>--20川=>=>x<0或xNl

XXXxwO户0

8.解单绝对值不等式

凶>a（ci>0）=x<—a或xNa

国<a（a>0）=>-a<x<a

凶>1的解集为：卜|*<一1或%>1}

73

|2x+5|<2=>-2<2x+5<2=>-7<2x<-3=>——<x<——

22

考点一、由不等式性质判断式子大小关系

☆典例引领

1.（2023•山东枣庄♦统考模拟预测）若“，b,ceR,且a>b,则下列不等式一定成立的是（）

/\,c2

A.a+c>b-cB.\a-h）c~>0C.ac>bcD.------>0

a-b

【答案】B

【分析】利用不等式的性质，判断选项的结论是否成立.

【详解】若。=2,/?=1,。二一2,满足a>b,但a+c=O,b-c=3,。+。>力一c不成立，A选项错误；

22

a>b,c>0,则有a匕雨，np（a-^）c>0,B选项正确；

a>b9当c<0时，历不成立，C选项错误；

当。2=0时，」_=0,则D选项错误.

a-b

故选：B

2.（2023•辽宁葫芦岛•统考一模）若mb,c为实数，且。<力，c>0,则下列不等关系一定成立的是（）

A.a+c<h+cB.—<TC.ac>beD.b-a>c

【答案】A

【分析】由不等式的基本性质和特值法即可求解.

【详解】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，

不等号方向不变，则a<b=>a+c<b+c,A选项正确；

对于B选项，由不等式的基本性质知,不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若a=-2,

b=-l,则B选项错误；

对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，c>（）,

0<a<b=>ac<bc,C选项错误；

对于D选项，因为avZ?=>2-c>0»所以无法判断人一。与。大小，D选项错误.

即时检测

1.（2023•湖北武汉・统考模拟预测）下列不等式正确的是（）

A.ac2>be2,则aNZ?

B.若则。<人

ab

C.若a+10,c-b>0,贝

D.若。>0,b>0,/??>0,且则；+->f

b+mb

【答案】D

【分析】举例说明选项ABC错误；利用作差法证明选项D正确.

【详解】对于A,当c=0,a=-\,人=2时满足a,之历2,但4<风所以人错误;

对于B,当c=—l,。=一2,人=一3时，满足,但所以B错误;

ab

3

对于C,由不等式的基本性质易知a+c〉0,当〃二一1b=G,c=2时满足〃+b>0,c-Z?>0,但〃<c,

所以C错误;

a+ma(h-a]m〜…a+ma.._

对于D,——>0所以•;——>-,故DIE确.

b+ntb[b+m)bb+mb

故选：D.

2.（2023•广东广州•广州市第二中学校考模拟预测）^-<7<0,则下列结论中不正确的是（）

ab

A.a2<b2B.ab<b2

C.a+b<0D.时+网>|a+@

【答案】D

【解析】由题意先求出匕<a<0,根据它们的关系分别用作差法判断A和8选项，利用不等式的性质判断C

选项，由几何意义判断。选项.

【详解】解：-<7<0,:.h<a<0,

ab

A、Q/?<«<(),/.a2-b2=(a-b)(a+b)<0,JJjlJa2<b2f故A对；

B、ab-b2=b(a-b)<0,则4。<从，故5对；

C、Qb<a<0,a+b<0,故C对；

D、QZ?<〃<0,..Ja|+|b|=M+b|成立，故。不对.

故选：D.

3.(2023•湖南永州•统考三模)已知a也cwR,下列命题为真命题的是()

A.若b<a<0,则B.若b>a>0>c,则£<£

ab

c>b>a>0,则”>〃一“

C.D.若a>b>c>0,则f>：+°

c-ac-bbb+c

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质结合作差法逐项判断即可.

【详解】对于A项，ac2-be2=c2(a-b),因为〃<a<。，所以。一Z?>。，所以

所以c2(a-b)Z0,EP：l>c2<a-c2,故A项错误;

对于B项，£-cc(b-a)，因为6>a>0>c,所以cS-a)<0,而>0,所以即：£<£,

abahababah

故B项正确;

hc(a-h)

对于C项,,因为所以c-a>0,c-b>0,a-b<0,

c-ac-b(c-a)(c-b)

所以士一/〃(cc-(a)a(-cb-)b)

<0,HP：—故c项错误;

-ac-b

“丁cla+ca(b+c)-b(a+c)(a-b)c

对于D项，因知-忘=---------------=一

b(b+c)b(b+c)

又因为a>b>c>0,所以。一力>0,Z?+c>0,

所以器管即：—故D项正确.

故选：BD

4.(2023・吉林・统考模拟预测)已知实数a,b,Gd满足0<。<上。<4<0,则下列不等式一定成立的是()

cc

A.—<—B.ac<be

ab

a-ca-dcc

C.---->-----D.---->----

b-cb-da-db-c

【答案】AC

【分析】根据作差法，结合举反例判断即可.

【详解】对A,因为£，=e一叱,又0<“<"c<0,故（j）c<0,则£<5,故A正确;

abababab

对B,取a=l,方=2,c=-l,因为故B错误;

a-d他一d)(q-c)-(Q-d)(Z?-c)(a-fe)(c-J)

对C,因为公由题意,c<d,b>c,b>d,

b-d{b-c^(b-d^(b-c)(b-d)

故^即

故C正确;

-2

对D,取〃=1,/?=2.=—2,。=-1,则]_(_])--,则」7<片，故D错误;

2-(-2)2a-d

故选：AC

考点二、由不等式范围求解不等式范围

☆典例引领

1.（2023•江苏南通•模拟预测）已知。->«0,1],。+6W2,4],则4a-2/>的取值范围是（）

A.[1,5]B.[2,7]C.[1,6]D.[0,9]

【答案】B

【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.

[详解】设4。-2人二机(。-6)+〃(。+/?)=(加+〃)〃一(〃2—〃)/?,

(ni+n=4f/n=3

所以解得「

[m-n=2[n=l

所以4a-2Z?=3(a-b)+(a+b),

又a-be[0,[2,4],

所以3(j)e[0,3],4.-342,7],故A,C,D错误.

故选：B.

即时检测

1<6f+Z?<3

1.（2023•全国•高三专题练习）已知。，beR,且满足---人‘则4"2b的取值范围是？

【答案】[2,10]

【分析】由4“+26=3（a+b）+（a-。），再结合同向不等式的可加性求解即可.

4+3=4A=3

【详解】设4a+%=A(a+h)+8(j),，解得

A-B=2B=1

所以4Q+2人=3（〃+力）+（Q—〃），

Xl<a+fe<3,所以343（a+b）W9,

5L-\<a-b<\,

所以3-144。+2/?<9+1,

BP2<4（7+2Z7<10.

故4a+劝的取值范围为⑵10].

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

☆典例引领

1.（2023・全国•高三专题练习）比较（2a+D（a—3）与（a—6）（2a+7）+45的大小.

【答案】（2a+l）（a-3）<（a-6）（2a+7）+45

【分析】做差比较大小即可.

【详解】（2a+l）（a-3）—[（a-6）（2a+7）+45]=（2a2-5a-3）-（2/-5a+3）=-6<0,

（2a+l）（a-3）<（«-6）（2n+7）+45.

即时检测

L（2。23•全国•高三专题练习）设a>。>0,比较舞与£的大小

a1-b2a-b

【答案】a2+b2>a+b

【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.

【详解】a>b>0=>a+b>0,a-b>0,

.Y--（。+6）（。-6）

a1+b2a2+h2'a+h

.（a+份22ab

2222

"a-b~a+b-a+b

a+Z7

a2-b2a-b

---------->-------

a2+b2a+h

2-（2。23・全国•高三专题练习）已知a>°'试比较寻与£的值的大小.

■小廿口▼_i_p,11.（cT—b~ci—h.।；,ici~-h~a—h.cr—b~a—h

【答案】若则一5->：右a<b,则^~-<；若。=力，­—7=

a+/?7-a+ba-+b-a+ba-+b-a+b

【分析】利用作差法，结合分类讨论，比较会与f的大小即可.

a2-b2a-b_2ab(a-b)

【详解】由

a2+Z?2a+h(a2+h2)(a+h)

当a>b>On寸，所以3~1-巴―->0,即a2-h2^a-h

a-+ba+ba2+b2a+b

当Ovavb时，a-b<0.所以~~^一^—^<0,即写*;

a"+b"a+b

、“八,_L7cr-rHIa—-b〜a—b八ci~—b"ci—b

当0va=Z?n时，a-h=0,所以二一------=0,BHPn———=-------

a+b-7a+btr+b7a+b

考点四、由不等式性质证明不等式

典例引领

1.（2023・全国•高三专题练习）已知a>b>c,求证^----1------->-------.

b-ca-ba-c

【答案】证明见解析.

【分析】由于所证不等式的左边是两分式和的形式，宜采用作差比较法再对差式通分、变形，由于分母是

因式积的形式，故重点在对分子的变形，尽量化为因式积成平方式和，便于运用条件。>人>。加以讨论.

111(a-b)(c-a)+(c—d)(b-c)+S—c)(a-b)

【详解】证明:------+----------------

b-ca-ba-c(b-c)(c-a)(a-b)

_(d-h)(c-a)—(h-c)2

(b-c)(c-a)(a-b)

由可知1々一/?>0,c-a<0,从而(。一份(。一々)<0,

又人一c>0,(b-c)(c-a)(a-b)<0f又-(b-c)?<0,

因此上式分子、分母均小于零，

b-ca-ba-cb-ca-ba-c

即时检测

1.（2023•全国•高三专题练习）证明命题：“若在"ABC中。、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则

cab„

-----<------+------”

1+C--1+〃---1+8

【答案】证明见解析

cc+(a+Z?-c)a+b

【分析】由作差法证明用<1+,(〃+/)=由=引+W,再由

ab/bch

------<----，-------<--证明----<---+----.

1+a+b1+。l+a+b14-/?1+c1+a1+/?

c+mc^d+ni)-d^c+m)m(c-d)

【详解】i正明：取l+c=",a+O-c=机,

dd+tnd(d+m)d(d+m)

〃?((?一1)cc+m

因为d>c>0,m>0,所以<0,即un一<-----

d(d+tn)dd+m

c+(〃+Z?-c)a+ba

所以±<——H----------------

l+c+(〃+/?-c)l+a+h1+a+Z?\+a+h

aabbaab

又因为---------<------,---------<------,故----+-------<+---，

\+a+h1+Q\+a+h1+b1+a+b1+a+b\+al+b

cab

所以。7<而+币.

考点五、解不含参的一元二次不等式及分式不等式

〈七典例引领

1.（2023・全国•高三专题练习）求下列不等式的解集：

（1）-X2+8A-3>0；

（2）-^-<0

2x+l

【答案】⑴{x|4-ViI<x<4+g}：（2）6』.

【分析】（1）根据“三个二次''之间的关系来解不等式即可；

（2）可以分类讨论或者转化为整式不等式.

【详解】（1）因为A=82-4x（-l）x（-3）=52>0,

所以方程-Y+8x-3=O有两个不相等的实根％=4-9，9=4+Jil

又二次函数y=-/+8x-3的图象开口向下，

所以原不等式的解集为{x|4-jm<x<4+JB}.

X-1x-l<0[x-l>0

工0等价于2x+l>0,叫2x+l<0

（2）方法一:2x71②

解①得彳eq,解②价xe0.

所以原不等式的解集为（-；/

(x-l)(2x+l)<0,

方法二不等式百T400

2x+l。0,

所以由二次不等式知2一]所以-51＜工(1.

所以原不等式的解集为(-;,1.

即时检测

1.(2023•全国•高三专题练习)解下列不等式:

⑴一31+6x42

(2)9X2-6X+1>0

(3)x2<6x-10

(4)—1<+2,x—142

⑶0

(4)[-3,-2)(0,1]

【分析】运用因式分解和配方法逐一解下列不等式即可.

21

【详解】(1)-3X2+6X<2,即3X2-6X+2N0OX2-2X+§20,配方可得*一产2§,解得

(3-6]「3+石)

xeHO,二一二一，+8

(2)9x2-6x+1>0-B|J(3x-1)2>0,解得；

(3)x2<6x-10,即公-6》+10<0,ffi]0>x2-6x+10=(x-3)2+1>1,从而不等式无解，即解集为0；

(4)一1<》2+21一1420/+2%>0且犬2+2》—340同时成立.

由V+2x>0解得xe(YO,-2)u(0,+oo),

由f+2x-340,B[J(x-l)(x+3)<0,解得xw[-3,1].

于是XG[—3,-2)U(0J

2.(2023・全国•高三专题练习)解关于x的不等式1^42.

3x-4

【答案】卜|x>g或工臼

【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解

2x-3-4x+54x-5

【详解】<2o^^-2<0<^<0<x>>0

3x-43x-43x-43x-4

=（4x-5）（3x-4）>0

3元一4。0

45

解得或

所以不等式留42的解集为1|x>g或“q卜

考点六、解含参的一元二次不等式

☆典例引领

1.（2023・全国•高三专题练习）解关于X的不等式公2—（a+l）x+l<0（­R）.

【答案】答案见解析

【分析】对不等式变形为（⑪-D（x-1）<0,然后对。进行合理分类讨论即可.

【详解】原不等式变为（陋-1）*-1）<0,

①当。>0时，原不等式可化为。卜x-D<0,

所以当a>1时，解得一<x<1；

a

当a=l时，解集为0;

当0<〃<1时，解得l<x/

a

②当。=0时，原不等式等价于-x+1v0,即工>1.

③当〃<0时，^<1,原不等式可化为卜一

解得X>1或

a

综上，当0<a<l时，不等式的解集为卜11<%<1},

当4=1时，不等式的解集为0,

当时，不等式的解集为

当a=0时，不等式的解集为{xlx>l},

当a<0时,不等式的解集为{川x<4或彳>1}.

即时检测

1.（2023•全国•高三专题练习）解关于x的不等式/-依+140.

【答案】答案见解析

【分析】根据判别式分类讨论。>2或。<-2、。=±2和-2<。<2•.种情况，即可求出一元二次不等式的解

集.

【详解】由题意知△=/一4,

①当片一4>o,即々>2或aV—2U寸，

方程M1=0的两根为x=。土40r,

2

'I|a7⑴-4-,a+yja~

所以解集为W---------4x4---------卜

②若储―4=0,即&=±2时,

当a=2时，原不等式可化为丁-2犬+140,

即(x—1)240,所以x=l,

当a=-2时，原不等式可化为f+2x+”0,

即（x+l）2w0,所以产一1；

③当/-4<0，

即-2<a<2时，原不等式的解集为0；

综上，当。>2或”-2时，原不等式的解集为M竺咚三4x4至咚三

当a=2时，原不等式的解集为｛1｝；

当a=-2B寸，原不等式的解集为｛T｝；

当-2<a<2时，原不等式的解集为0.

2.（2023•全国•高三专题练习）解下列关于x的不等式以2+（a+2）x+l>0（aw0）.

【答案】见解析

【分析】一元二次不等式，讨论开口方向即可.

【详解】方程：O¥2+（67+2）X+l=0且。H0

/.△=(a+2)2-4。=〃2+4>0,

-a-2-V7+4-a-2+77+4

解得方程两根：为

la~2a

当a>0时，原不等式的解集为:

-a-2+\la2+4或工<一。-2-y/a2+4

vx|x>

2a2a

当〃＜0时，原不等式的解集为:

-a-2+5+4-a-l-yja1+4

,划<x<--------------

2a

综上所述，当。＞0时、原不等式的解集为:

一"2+\/a2+4或x<

<x\x>一。一

2a2cl

当a＜0时，原不等式的解集为:

_2+\/a2+4-a-2-yJa2+4

•x\<x<

2a-----------2a

考点七、一元二次不等式在对应区间的恒成立和有解问题

典例引领

1.（2023•全国•高三专题练习）已知关于x的不等式2》-1＞利卜2-1）.若不等式对于加e[-22恒成立，求实

数x的取值范围

【答案】＜x\^^＜x＜

【分析】由不等式2X-1＞研Y-1）对于/ne[-2a恒成立，转化为当me[-2,2]时,

7（2）＜0

/（加）=（/一1）加一（2》-1）＜0恒成立，则满足，求解对应不等式组即可得出答案.

【详解】由题知,

当me[-2,2]时，/(〃?)<()恒成立.

[⑵<°即2f—2.x-1<0

当且仅当|/(-2)<0'W

—lx~-2,x+3<0

解得上生＜*＜匕立且

222

_ix1—5/31+y/3r-j—14-yfl

或——<X<——且X>-----

222

22

所以X的取值范围是

2.(2023•全国•高三专题练习)已知xw[-3,4].

(1)不等式a4/-2x+2恒成立，求实数”的取值范围；

(2)若不等式awY-2x+2有解，求实数。的取值范围.

【答案】(1)a<l；(2)a<17.

【分析】⑴令/*)=/-2%+2,求出析x)在[-3,4]上的最小值即可;

⑵令f(x)=x2-2x+2,求出/(x)在[-3,4]上的最大值即可.

【详解】令/(X)=X2-2X+2=(X-1>+1,当xel-3,4]时，f(x)在上单调递减，在[1,4J上单调递增,

/'(%.=削=1，/(X)M="-3)=17,

(1)因〃4/一2》+2在xe[-3,4]恒成立，于是得“Ml,

所以实数”的取值范围是

(2)因不等式a4f—2x+2在xe[-3,4]有解，于是得“V17,

所以实数a的取值范围是a417.

即时检测

1.(2023•全国•高三专题练习)当ae[2,3]时，不等式加-x+1-aWO恒成立，求x的取值范围.

【答案】

r,(7X2)40

【分析】令/(“)=(》2-1)。+(-X+1),a《2,3],依题意;即可得到不等式组，解得即可;

[J—u

【详解】解：由题意不等式/-尤+l-a«0对。W2,3]恒成立,

可设/(a)=(x2-l)a+(-x+l),«e[2,3],

则/⑷是关于。的一次函数，要使题意成立只需博社即，m解―‘。，即

(2%+1)(工_1)<0得_1]4》41,解3丁_》—240，即(3x+2"x_l)W0得一o所以原不等式的解集

为一《』，所以无的取值范围是一；/

2.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/。)=/+2以一a+2.

(1)若对于任意xeRJ(x)20恒成立，求实数。的取值范围；

(2)若对于任意xe[-1,1],f(x)20恒成立，求实数。的取值范围;

(3)若对于任意。€[-1,1],/(幻>0成立，求实数x的取值范围.

【答案】⑴[-2』；⑵[一3』；⑶{小〜1}.

【分析】(1)由题意利用二次函数的性质可得A,0,由此求得求得。的范围；(2)由于对于任意1],

/(x)..O恒成立，故/(x),,“.O.利用二次函数的性质，分类讨论求得。的范围；(3)问题等价于

^(a)=(2x-l)a+x2+2>0,再由g(-l)、g⑴都大于零，求得》的范围.

【详解】(D若对于任意xeRJ(x)=—+2奴一。+2之0恒成立，

则有△=敏-4(-。+2)40,解得-24aWl；

(2)由于对于任意xJ-U],20恒成立，故/■(x)020.

又函数“X)的图象的对称轴方程为x=-a,

当—a<—1时，Zrt„(x)=/(-l)=3-3a>0,求得。无解；

当一。>1时，加(x)=〃l)=3+aNO,求得一34a<-1；

当—。目―1,1]时，(11a)=/(—“)=—/—a+2,求得—iWaWL

综上可得，。的范围为卜3,小

(3)若对于任意ae[—1,1],f+2ax-°+2>0恒成立，等价于g(a)=(2x-++2>0,

[g(―1)=丁—2x+3>0/।)

二，2cI八，求得xw—1，即X的范围为XXH—1.

[g(l)=/+2x+l>0-)

【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，对于二次不等式恒成立，要结合二次函数的

图象和性质，对于在某区间上恒成立的二次不等式，要注意讨论函数的对称轴与区间的关系，对于第(3)

小题，要注意分清自变量是。,从而转化为线型函数在区间内大于零的问题.

考点八、多选题综合

寸,典例引领

1.(2023•全国•高三专题练习)已知关于x的一元二次不等式/+5X+,〃<0的解集中有且仅有2个整数，则

实数，”的值可以是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】AB

【分析】令函数“幻=/+5》+小，结合二次函数/⑶的图象性质，列出不等式组，求解判断作答.

【详解】函数，(x)=/+5x+m的图象开口向上，其对称轴为x=-g,

因为/+5》+〃?<0的解集”中有且仅有2个整数，因止匕-2eM,-3eM,其它的整数都不属于集合M,

[f（—2）<0（m一6<0

由对称性得：[二、八，即《彳、八，解得4工机<6,显然选项AB满足，CD不满足.

故选：AB

2.（2023•全国•模拟预测）已知实数。”>0>c>d,则下列不等式正确的是（）

A.ab>cdB.a-d>b-cC.ad2>be2D.

bead

【答案】BC

【分析】根据不等式的性质即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A,D,。=3,b=i,c--Ld=-7,满足a>b>0>od,此时必<cd,故A,D

bead

错误.（判断•个结论错误时，举反例即可）

对于B,a>b,-d>-c>得a-d>b-c,故B正确.

对于C,由0>c>d得d2>02>o，又a>。>0,所以42>bc、2,故C正确.

故选：BC

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1.（2023•全国•高三专题练习）已知关于x的不等式加+foc+c>0的解集为（—,-2）53,”），则（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式cd-〃x+a<0的解集为（-8,-；）5g,+℃）

【答案】ABD

【分析】根据不等式以2+区+00的解集判断111a>0,结合根与系数关系、一元二次不等式的解法判断

BCD选项的正确性.

【详解】关于x的不等式加+fee+c>0的解集为（一双一2）U（3,+8）,,a>0,A选项正确；

-2+3=--

且一2和3是关于x的方程加+bx+c=0的两根，由韦达定理得|“,

-2x3=-

a

则。=-a,c=-6a,则々+/?+c=-6a<0,C选项错误；

不等式fer+c>0即为一以一&/>0,解得x<~6,B选项正确；

不等式cf—bx+a<0即为一6ax?+ax+a<0,即6f—工一1>0,解得x<或x>：,D选项正确.

32

故选：ABD.

2.（2023・山东•校联考二模）已知实数。也。满足心b>c,且〃+"+c=0,则下列说法正确的是（）

A.——>—--B.a-c>2bC.a2>b2D.ab+bc>0

a-cb-c

【答案】BC

【分析】根据已知等式可确定。>。,。<。，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.

【详解】对于A,a>b>c,:.a-c>h-c>0,--——,A错误；

a-cb-c

对于B,a>b>cta+b+c=0,:.a>0,c<0,:.b+c=-a<0,a-b>0t

:.a-b>b+c,BPa-c>2b»B正确；

对于C,a-b>Q,a+b=-c>0:/一/=（。+力）（。_力）>0,即a?〉/,C正确；

对于D,ab+bc=b（a+c）=-b2<0,D错误.

故选：BC.

3.（2023•全国•高三专题练习）若（or-4乂/+3川对任意xe（一,（”恒成立，其中“，人是整数，则的

可能取值为（）

A.—7B.—5C.—6D.-17

【答案】BCD

【分析】对力分类讨论，当此0时，由但一4乂/+匕”。可得以—420,由一次函数的图象知不存在；当6<（）

时，由（奴-4乂丁+冲20,利用数形结合的思想可得出。力的整数解.

【详解】当620时，由3-4）（/+冲之0可得以—4»0对任意xe（-o）⑼恒成立，

即对任意X«Y,0]恒成立，此时。不存在；

当1<0时,由⑷-4）（/+1）20对任意x€（Y0刈恒成立,

可设/（力="一4,8（力=心+匕，作出f（x）,g（x）的图象如下,

4<°（a~—1~4—2

4l，再由叫人是整数可得•[二:「或C或：一一（

-=7-b[b=-16[h=-\[h=-4

a

所以。+〃的可1能取值为-17或-5或-6

故选：BCD

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【基础过关】

1.(2023•辽宁丹东•统考二模)不等式二4>1的解集为()

x+2

A.{小<1,工片-2}B.{Rx>l}

C.{A|-2<X<1}D.{x[x<-2或x>1},

【答案】C

【分析】根据分式不等式即可求解.

3Y-1

【详解】不等式3>1等价于土4<0,等价于(x—l)(x+2)<。解集为{x|—2<x<l}.

x+2x+2

故选：C

2.(2023•山东枣庄•统考模拟预测)若。，b,ceR,且则下列不等式一定成立的是()

c2

A.a+ob-cB.(a-fe)c2>0C.