2023-2024学年江西省高二年级上册期末考试数学质量检测模拟试题（含解析）

2023-2024学年江西省高二上册期末考试数学质量检测模拟试题

一、单选题

1.方程，+3_/一3）五二4=0表示的曲线是（）

A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线

C.一条直线D.一个椭圆

【正确答案】C

【分析】方程（x2+3V-3）^/7=7=0可转化为1+V=l（x*4）或47=0，由于

?+y2=l（x*4）不成立，可得X-4=0,从而可得答案.

【详解】解：因为方程卜2+3V-3）4^=0,

所以》2+3_/-3=0,即\+/=1（X*4）或Jx-4=0，

丫2

因为X24时，土+丁=1不成立，

3

所以工-4=0,

所以方程（丁+3/-3）GZ=0表示的曲线是一条直线，

故选：C.

2.在空间直角坐标系Oxyz中，平面过点《（2,0,7）,它的一个法向量为7=（3,1,-1）.设点

P（x,y,z）为平面内不同于兄的任意一点，则点尸（x,y,z）的坐标满足的方程为（）

A.3x+y+z-5=0B.3x+y+z—7=0

C.3x+y-z-7=0D.3x+y-z-5=0

【正确答案】c

【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程即可.

【详解】因为4（2,0,-1）,P（x,y,z）,所以群=（x—2,y,z+l）,

由已知兄尸_L〃，«=（3,1,-1）,

所以3（x—2）+y—z—1=0,所以3x+y_z_7=0,

故选：C.

3.P为圆/+炉=1上任一点，则P与点河（3,4）的距离的最小值是

A.1B.4C.5D.6

【正确答案】B

【分析】先确定点加在圆x2+/=i外，因此圆上的点到点”的距离的最小值即等于圆心

与〃的距离减去半径，进而可得出结果.

【详解】因为“（3,4）在圆》2+必=1外，且圆心与加（3,4）的距离等于行彳=5,又P为

圆/+/=1上任一点，所以p与点/（3,4）的距离的最小值等于圆心与M的距离减去半径,

因此最小值为5-1=4.

故选B

本题主要考查定点到圆上的动点的距离问题，结合圆的的性质以及点到直线距离公式即可求

解，属于基础题型.

4.在空间直角坐标系中，有一棱长为。的正方体Z8CO-48'C'Z）',则/'C的中点E与AB

的中点F之间的距离为

A.y/2aB.aC.aD.-a

22

【正确答案】B

【分析】求出4,C的坐标，利用中点坐标公式，可以求出反尸的坐标，利用空间两点间的

距离公式求出E,F两点间的距离.

【详解】由题易知4（a,0,0）,C（0,a,0）,则后仁,肮）.易知尸（吟0）,

；.IEF[=后+。2+不争.选B.

本题考查了空间两点间的距离，考查了数学运算能力，正确求出点的坐标是解题的关键.

5.直线x+y-4=0分别与x轴，夕轴交于A,B两点，点P在圆/+/+以+2=0上，则PAB

面积的最大值是（）

A.4亚B.3亚C.16D.8

【正确答案】C

【分析】先求得|/同，然后利用点到直线距离公式，求得圆上的点到直线的最大距离，

由此求得PZ8面积的最大值.

【详解】在x+y-4=0中，令y=0,得x=4,令x=0,得了=4,

所以4(4,0),8(0,4),所以|/8|=4后,

由x2+y2+4x+2=0化为(x+2)2+y2=2,

所以圆心为。（-2,0）,半径“7L

|-2+0-4|

所以圆心C到直线x+y-4=0的距离"==3近,

Vi+T

所以点P到直线x+y+2=0的距离〃4"+/•=3夜=4&，

所以市面积的最大值为R入4G⑹

故选：C.

6.已知圆C：（x-4）2+（y-2）2=4（。＞0）及直线/：x7+3=0,当直线/被C截得弦长为

26时，贝la等于（）

A.&B.2-石C.72-1D.72+1

【正确答案】C

【分析】由题意根据垂径定理可求圆心到直线/的距离4=1,利用点到直线的距离公式建立

关于。的方程，求解即可.

【详解】由题意可知：圆C的圆心为S，2）,半径r=2,

则圆心（a,2）到直线/：x-y+3=0的距离为d-㈣I,

1^7—2+31

可得小；（-1）'=1'解得”=0-1或°=-五-1（舍去），

故a=C-\.

故选：C.

22

7.已知抛物线V=16.x的焦点与双曲线。：二-4=1（4＞0力＞0）的焦点尸重合，C的渐近

crb

线恰为矩形的边。I,。8所在直线（O为坐标原点），则双曲线。的方程是（）

【正确答案】D

【分析】根据四边形0/E8为矩形以及双曲线的渐近线关于x轴对称，可得利用抛物

线方程求出c=4,再根据可求得力=/=8,从而可得结果.

【详解】因为四边形O4EB为矩形，所以04_L0B,即双曲线的两条渐近线垂直，

TT

根据双曲线的渐近线关于X轴对称，可得N40F=ZBOF=£,

4

所以2=1,即。=6,

a

又抛物线V=16x的焦点尸(4,0),所以双曲线中c=4,

所以由+〃=可得2c/=]6,所以〃2=62=8，

所以双曲线C的方程为工-己=1.

88

故选：D

关键点点睛：根据四边形。4F8为矩形以及双曲线的渐近线关于x轴对称，得到〃是解题

关键.

8.已知圆C方程为(x-10)2+(y-852=?，将直线/：N=x-1绕(1,0)逆时针旋转15。到4的位

置，则在整个旋转过程中，直线与圆的交点个数()

A.始终为0B.是0或1

C.是1或2D.是0或1或2

【正确答案】D

【分析】先判断直线y=x-l与圆C的位置关系，得到公共点的个数，同理再判断旋转后的

直线y=G(x7)与圆C的位置关系，同时判断圆心与直线的位置关系，即可解决问题.

【详解】圆C方程为(x-10y+(y-8万)2=。，圆心(10,86),半径r=在，

故圆心C到直线/:y=x-l的距离为dJ10当夕二”=吗」,

V2V2

而2(8A/5—9)>2(8x1.7—9)=9.2>>/_2x-x/~3,—>-—,

y/22

故直线y=x-i与圆。相离，没有公共点；

将x=10代入直线y=x-i得了=9<84，故圆心C在直线y=x-i的上方,

将直线/：歹="1绕。,0)逆时针旋转15。到4的位置，所得直线4过点(1,0),且倾斜角为

450+15°=60",

故止匕时4:y=y/3(x-V),即火工一y一百=0,

此时圆心c到直线4的距离为：4=|1。6-姐—-14=小

此时直线4与圆c相切，有1个公共点，

而x=10代入直线y=G中，得y=96>8后,

故圆心C在直线y=J£-6的下方，

所以将/：y=x-1绕(1,0)逆时针旋转15。到/,的位置的过程中,

经历了与圆相离、相切、相交、再相切的过程，

故公共点的个数为0个或1个或2个，

故选：D.

关键点点睛：解答此题的关键是判断在直线旋转的过程中，直线和圆的位置关系并且判断圆

心和直线的位置，从而判断答案.

二、多选题

9.对于直线/：x=my+\,下列说法错误的是()

A.机=6时直线/的倾斜角为60'B,直线/斜率必定存在

C.直线/恒过定点(1,0)D.加=2时直线/与两坐标轴围成的三角形面

积为!

4

【正确答案】AB

【分析】由斜率、倾斜角的定义判断AB,由方程可判断CD.

【详解】当,”=行时，夕=号（》-1）直线/的倾斜角为30",故A错误；

当团=0时，直线/斜率不存在，故B错误；

由直线方程可知直线/恒过定点（1,0）,故C正确：

当加=2时，直线/与两坐标轴交点为（1,0）,（0,-；）,所以直线/与两坐标轴围成的三角形面

积为!，故D正确.

故选：AB.

10.已知。£（0,兀），曲线。:父5m。+歹2（：05。=1,下列说法正确的有（）

TT

A.当2=3时，曲线C表示一个圆

4

JT

B.当。==时，曲线C表示两条平行的直线

C.当兀）时，曲线C表示焦点在x轴的双曲线

D.当时，曲线C表示焦点在y轴的椭圆

【正确答案】ABC

【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可.

【详解】对于A,当。二:时;曲线/sina+y2cosa=1表示圆f+/=&,所以A正确;

TT

对于B,当。=彳时，曲线C表示两条平行的直线x=±l,所以B正确.

对于C,当曲线C*卜ina|-V|cosa|=l表示焦点在X轴的双曲线，所以C

正确.

对于D,当时，0<sina<cosa<l,曲线C表示焦点在x轴的椭圆，所以D不正

确.

故选：ABC.

11.正方体/BCD-44GA中，E、F、G、”分别为CG、BC、CD、的中点，则下列

结论正确的是（）

A.B\GLBCB.平面ZEFc平面44。。=/。

7T

C.4〃//面ZE/D.二面角E-4/一。的大小为一

4

【正确答案】BC

通过线面垂直的判定和性质，可判断A选项，通过线线和线面平行的判断可确定B和选项C,

利用空间向量法求二面角，可判断选项。.

【详解】解：由题可知，8。在底面上的射影为8G,而8c不垂直8G,

则8Q不垂直于8C,则选项A不正确;

连接/〃和BC-E、F、G、H分别为CG、BC、CD、BB、3与的中点,

可知EF//BQ//AR,所以\AEFu平面AD.EF,

则平面ZEFc平面所以选项8正确;

由题知，可设正方体的棱长为2,

以。为原点，。/为x轴，。。为V轴，。，为z轴，

则各点坐标如下：

/(2,0,0),C(0,2,0),E(0,2,1),4(2,0,2),“(2,2,1),尸(1,2,0)

福=(0,2,-1),下=(-1,2,0),丽=(1,0,-1)羽=(),0,2),

设平面4EF的法向量为G=(x/,z),

则牌二即仁”

令歹=1，得x=2,z=2,

得平面的法向量为3=(2,1,2),

所以福i=0,所以4，//平面4EF,则C选项正确;

由图可知，44,平面/尸C,所以五彳是平面NFC的法向量,

AA•/?2

贝ijcos<AAn>=X

]9Mfl3,

TT

得知二面角E-“尸-c的大小不是7,所以。不正确.

故选：BC.

本题主要考查空间几何体线线、线面、面面的位置关系，利用线面垂直的性质和线面平行的

判定，以及通过向量法求二面角，同时考查学生想象能力和空间思维.

12.抛物线C：工2=切的焦点为F,P为其上一动点，设直线/与抛物线C相交于4,8两

点，点”（2,2）,下列结论正确的是（）

A.|PM+I叩的最小值为3

B.抛物线C上的动点到点“（0,3）的距离最小值为3

C.存在直线/,使得48两点关于x+y-3=0对称

D.若过/、8的抛物线的两条切线交准线于点7,则4、8两点的纵坐标之和最小值为2

【正确答案】AD

根据抛物线的性质对每个命题进行判断.

【详解】A.设/是抛物线的准线，过P作PN门于N,则归闾+忸用=|尸网+|尸网23,当

且仅当PW三点共线时等号成立.所以归例|+|"|最小值是3,A正确；

|PM=JX2+(U-3)2="-)2=*7)2+8,y=1时，归叫而。=次=2应，B错误:

C.假设存在直线/,使得48两点关于x+y-3=0对称，设/方程为x-y+m=O,由

x2=4y,

,"八得x--4x-4加=0,

x-y+m=0

所以△=16+16〃?>0,m>-\,设/(王,凶),8。2，%),则々=4,n8中点为。(%,%),

则为=*'=2,y0=x0+m=2+m,。必在直线x+y-3=°上，

所以2+2+〃?-3=0,^=-1,这与直线/抛物线相交于两个点矛盾，故不存在，C错误:

D.设心/"“），由心外即…%"得/=9，则切线/T方程为

二必=5芭（工_须），

即V=1■再工一;片，同理87方程是y=；工2%一；工；，

l121、

y=~xix--xix=-(zxx+%)

由，f:,解得，由题意r在准线y=-i上,

1121

y=-xix--x2y=-\x2

所以;再3=_1,X|X2=-4,

所以M+%=!(x；+x；)=!〔(X[+x,『-2X]X2]=!(X]+x,『+2,

444

所以西+々=0时，M+%=2为最小值.D正确.

故选：AD.

本题考查抛物线的性质，涉及抛物线的定义，抛物线上的点到定点距离的最值，抛物线上的

点关于定直线的对称性，抛物线的切线问题，难度较大.

三、填空题

13.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿了轴向上平移1个单位长度后，回到原来的

位置，则直线/的斜率为.

【正确答案】y

【分析】设直线方程为，=米+》，根据平移的应用得到平移后的直线方程为

y=k(x-2)+b+l,结合题意得出丘+6=米-2左+6+1,化简计算即可.

【详解】由题意，设直线方程为：y=kx+b,

直线沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向上平移1个单位后，

直线方程为：y=k(x-2)+h+1

化简，得y=Ax-2%+6+l

因为平移后与原直线重合，则Ax+6=云-24+6+1

解得A=(,即直线的斜率为g.

故3

14.已知向量£=(2,6),3=(-1㈤，若向量£与向量区的夹角为钝角，则力的范围是

【正确答案】(-8,-3)U(-3,；)

【分析】由题意可得鼠分<0,且］与各不共线，由此求得义的取值集合.

【详解】解：:向量2=(2,6),^=(-1,2),若向量方与向量B夹角为钝角，

••ab=—1x2+6Z<0,且a与b不共线，

即且”工-1x6,即且义W—3,故九w,

33\

故(-8,-3)u13,；).

15.已知〃是A48c内的一点，且)瓦配=2百，N84C=30。，若AWBC,\MCA,\MAB

iI4

的面积分别为则一+一的最小值为

【正确答案】18

【详解】试题分析：由湘.就=2正，N8/C=3(r得，|色|梨4=邛，所以

S_w.=工4bm30--1,则八一1一1=1即.所以

二+±=2（X+J）（L+3）=2O-2+M）之2（5+4）=18当且仅当=:时，取得

xyxyxy63

最小值.

均值不等式求最值.

【方法点睛】本题应先从已知条件入手，得到适当的结论，即利用面积关系得到，X-I=二,

-2

14

此时才能看到已知与所求的关系，然后对所求式子-----进行变形得

xy

乙+±=2（丁+＞）（二+3）=2（$-^+汇）求最值得关键，接下来易求最大值.本题的难点

xyxyxy

在于，不能直接看到条件和所求的关系，我们应相向考虑即由已知可得到什么，所求需要什

么，这样考虑一步，题目可能就有思路了，望同学们做后多思.

r2v23

16.已知双曲线0-4=1上的一点到两渐近线的距离之积为:，若双曲线的离心率为2,

a2b24

则双曲线的虚轴长为.

【正确答案】2百

【分析】由离心率可以知道。、c的关系，再根据的关系，求出。、/,的关系，

设双曲线上任意一点的坐标，它是方程的解，得到一个方程，再根据点到两渐近线的距离之

积为又得到一个方程，由这两个方程可以求解出。的值，进而求出6的值，最后求出双

4

曲线的虚轴长.

【详解】由题意可知双曲线的离心率为2,••.e=£=2nc=2a又02=/+/

a

.-.b2=3a2,所以双曲线的渐近线方程为：y=±任，设点P（x。,%）是双曲线上一点，

.•总-及=1=3片-必=3/①.由题意可知点P（x。,%）到两渐近线的距离之积为。，

a3a4

,If：一%］的+%L卜琲3②,把①代入②得/=1,0=1

4（后+1&厉+1411

=73所以双曲线的虚轴长为2百.

本题考查了双曲线的离心率公式、渐近线方程、点到直线距离公式、虚轴长的计算.

四、解答题

17.已知直线/:ax+(l-2a)y+l-a=0.

(1)当直线/在x轴上的截距是它在了上的截距3倍时，求实数a的值：

(2)当直线/不通过第四象限时，求实数。的取值范围.

【正确答案】(1)U1或a=g

「1J

(2)］，1

【分析】(1)先求出4*0且。片；，再求出直线/在x轴上的截距，在y上的截距，列出方

程，求出。的值；

(2)考虑直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，列出不等式组，求出实数。的取值范

围.

【详解】(1)由条件知，。工0且awg,

在直线/的方程中，令y=0得%=叱1,令》=0得了=三1

al-2tz

.Q—1Cl-1.《_1X1

・・-----=--------x3,解得：a=\,或。=一，

a1-2a5

经检验，。=1,1均符合要求.

(2)当q时，/的方程为.(x+!=0即x=-l,此时/不通过第四象限；

222

当时，直线/的方程为.夕=1?x+"

2\-2a\-2a

-^->0

/不通过第四象限，即［J?：,解得:

-02

{\-2a

综上所述，当直线不通过第四象限时，。的取值范围为1,1

18.已知圆G：x~+0y2—2x+1Oy—24=0和C2:+y"+2x+2.y—8=0相父于48两点.

(1)求直线48的方程，

(2)求弦长卜理

【正确答案】（l）x-2y+4=0

（2）网=2右

【分析】（1）将两个圆的方程相减可得直线的方程；

（2）求出圆心C"l,-5）到直线距离d,由勾股定理计算|/同=2肝丁■即可求解.

2

【详解】(1)因为圆G:+y~—2x+1Oy—24=0,0C2x~+y+2.x+2y—8=0,

两圆方程相减得4x-8y+16=0即x-2y+4=0,

所以直线4B的方程为x-2y+4=0.

(2)由圆G：/+/-2x+10y-24=0可得(x-l『+(y+5)2=50,

所以圆心G（L-5）,半径4=5后,

|1+10+4|

圆心G（L-5）到直线48：x-2y+4=0的距离是1=3石,

V1+4

所以|/却=zJS-d?=2/0_(3际『=2后.

19.如图，在三棱锥P-/8C中，PZ_L平面/8C,平面P/8_L平面尸8C,PA=2,BC=1.

（1）求证：8CJ.平面尸48；

（2）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值的最大值.

【正确答案】（1）证明见解析

【分析】（1）过A作力于点"，通过证明出P/_L8C,AM±BC,可得8CJ,平面

PAB;

（2）过8作于点E,证明8EJL平面4C可得PB与平面4C所成角为/3PE,

在三角形8PE中求出表示出sinZBPE,再利用基本不等式求最值即可.

【详解】(1)：尸/1平面/8C,，尸/148且P/_L8c

过A作NM_L尸8于点M,

•.•平面尸48_L平面尸8C,平面尸48c平面P8C=PB,4Wu平面尸4?,AM±PB,

二4W2平面P8C,又8Cu平面P8C

AM1BC

：尸/(1/Af=",8CJ,平面P/8.

(2)过B作5E_LZC于点E,

,.•/〃_1平面48。，尸/u平面P/C

，平面尸NC_L平面Z8C,又平面？/CD平面48C=/C,8Eu平面P4C

BE_L平面R4C,

/.PB与平面R1C所成角即为N8PE

BF

XsinZBPE=—

PB

设=m,/.AC=\lm2+1»BE=PB=dW+4，

m1

sinZBPE=-

yjm2+13

,4

当且仅当〃/=',即加=加时取

m"

直线PB与平面PAC所成角的正弦值的最大值为;.

20.如图(1)是将一副直角三角尺拼成的平面图形，己知8C=C，4c8=45。，Z£>=60°,

现将力8。沿着8C折起使之与△88构成二面角，如图(2).

（1）（2）

⑴当三棱锥A-BCD体积最大时，求三棱锥A-BCD的体积;

（2）在（1）的情况下，求/C与5。所成角的余弦值.

【正确答案】（1）交

2

（2）当

4

【分析】（1）作N0/8C,根据题意先求得C。，/。的值，折起过程中，△BCD面积不变,

当40为三棱锥Z-8C。的高时;三棱锥体积最大，再根据三棱锥的体积公式求解

即可；

（2）在（1）的情况下建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】（1）如图，作

由题意。£）=正，AO=—.

2

折起过程中，△8CD面积不变，当/。为三棱锥/-88的高时，三棱锥/-8CO体积最大,

v_1c_1&,@6

^A-BCD=§SBCD，40=§2'~2~=.

（2）如图，建立空间直角坐标系,

则N0,0,当,B*,0,0,C-告,0,0,D4,6,0

AC=一日，°，—半)，丽=(5,后,。)，

设/C,8。所成的角为(9,

则cosO=|cos（^AC,8。）卜3_二

布？&一'T

：.AC与BD所成角的余弦值为逅.

4

21.已知动点P到直线l：y=-2的距离比到点尸(0,1)的距离大1

(1)求动点尸的轨迹M的方程；

(2)48为M上两点，O为坐标原点，kOA-kOB=-^,过48分别作〃的两条切线，相交

于点C,求AJ8C面积的最小值.

【正确答案】(1)轨迹/为抛物线，其方程为f=4y.(2)8&

(1)设点P的坐标为(x,y),根据条件列出方程+(y-1)?=1+2|-1,然后化简即可;

(2)设直线"的方程为歹=b+6,/(国,凶),8(%,外)，联立直线与抛物线的方程得出

X1+X2=4A,X/2=T6,然后用无表示出|/邳和点C到直线/B的距离d,然后可得到

3

$枷。=4|尸+平，即可求出其最小值.

【详解】(1)设点P的坐标为(xj)

因为动点尸到定直线/：y=-2的距离比到点尸(0,1)的距离大1

所以y>-2,且信+(1_1)2=年+2卜1，化简得x2=4y

所以轨迹M为抛物线，其方程为》2=勺

（2）依题意，设直线48的方程为夕=丘+6

y=kx+b

由2,，得了2一4kx-4Z)=0

x=4y

因为直线AB与抛物线M交于两点

所以△=16F+166>0

设/（再,必）,5（》2，72），西+工2=4%,中2=-46,

又因为后囚-kOB=-；

所以五,返=一5

必y22

所以?,：?=

442

所以演》2=-8

所以-46=-8

所以6=2

2222

\AB\=Vl+A：J（X1+X2）-4X,X2=J1+/J16/+32=4-J]+ky/k+2

由x2=4y,y=3，y'=q

42

过点A的切线方程为夕-必=T（x-xJ,即尸二—日①

224

2

过点8的切线方程为"为=三a1）,即夕=皆_号-②

芭+々

由①②得x=^^=24，x,2%/°,

244

所以过48的两条抛物线的切线相交于点C（2人,-2）

|2r+4|

所以点C到直线月8的距离d=L/—」

收+1

SMBC=--\AB\-d=--441+—"2+2邛J=4"?+2卜+21=4卜+2产

22yjlc1+1

当上=0时，A48c的面积最小，最小值为4,2==亚=班

涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整

体带入”等解法.

22.已知双曲线C：，*=l（a>0,6>0）经过点4L0）,其渐近线方程为y=±JIr.

（1）求双曲线C的标准方