2023-2024学年苏科版九年级上册开学考试数学试卷

2023-2024学年苏科版九年级上学期开学考试数学试卷

（时间：120分钟满分：150分）

一.选择题（每小题3分共30分）

1.下列式子中，最简二次根式是（）_

A∙√θ7δB.√a2+b2C.√gD.Il

2.若关于X的一元二次方程（a+l）x'+x+a?-1=0的一个根是0,则a的值，为（）

A.1B.-1C.1或-1D.工

2

3.把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（）

4.一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按

得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88,72,

50,则这位选手个人总分为（）

A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32

5.一元二次方程/+7/_=0,配方后可化为()

4

222

A.(j+A)=1B.(y-A)=1C.(j+A)=AD.(y-A)2=3

222224

6.如图，已知长方形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点，E,F分别是AP,RP的中点，当

点P在BC上从点B向点C移动,而点R不动时，那么下列结论成立的是（)

A.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少

C.线段EF的长不变

7.如图，反比例函数yι二七Lf口正比例函数丫2—k2x的图象交于A（-2,-3）,B⑵3）

X

两点.若上L〉kX,则X的取值范围是（）

X2

A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2或0<x<2D.-2<x<0或x>2

8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为

BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4,则ADEK的面积为（）

A.10B.12C.14D.16

9.将6X6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为

格点，每个小正方形的边长都是1,正方形力腼的顶点都在格点上，若直线y=4x（4W0）

与正方形4?⑦有公共点，则在的值不可能是（）

Λ.ɪB.1C.3D..ʒ

222

10.已知实数πι,n同时满足1^+/-12=0,m2-5n-6=0,则n的值为（A）

A.1B.1,-6C.-1D.-6

二.题空题（每小题3分共30分）

11.把长方形力腼沿着直线所对折，折痕为能对折后的图形而'切的边R?恰好经过

点C,若//F=55°,则/湖=

12.如图，在四边形4%/中，AB=Ag4,/1=60°,BC^4√5)面=8,则四边形46G9

的面积为.

13.如图，平行四边形加州中，对角线交于点长双曲线y="（k>0）经过小£两点，若

X

平行四边形力次的面积为30,则A=.

14.如图，点A在双曲线y=右上，且0A=4,过A作AC,X轴，垂足为C,OA的垂直平分线

X

交OC于B,aABC的周长为24，则k=

15.若关于X的分式方程一¼∙+jE二2有增根，则m的值是—

16.己知菱形ABCD的边长为6,NA=60。，如果点P是菱形内一点，且

PB=PD=2√3，那么AP的长为.

17.如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形£FG”不动，将矩形/WCD按如下方式缠绕：如

图2所示，先将点8与点E重合，再先后沿尸G、E"对折，点A、点C所在的相邻两边不

重叠、无空隙，最后点。刚好与点G重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=

第17题图第18题图第19题图第20题图

3

18.在图中，一次函数y=x-2与反比例函数y=—的图象交点为A、B.则一次函数值小

X

于反比例函数值时X的取值范围是

19.已知，如上右图，动点P在函数y=」-（x>0）的图象上运动，PMJ_x轴于点M,PNly

2x

轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1相交于点E,F,则AF∙BE的值是

20.如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一点，且EB=3,F是BC上一动点,

若将aEBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为.

≡.解答题（90分）

21.（18分）解方程

（I）X2-2X-3=0（公式法）（2）3Y-7x+4=0（配方法）；

(3)(x-2)2=(2x+3)2(因式分解法)(4)(X-I)2=2x-2(适当的方法).

（5）XJ+2X-1=0；（用配方法）（6）3XJ+5X=3X+3.（选择适当的方法）

22.（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

（I）AC的长度等于____；

（H）在图中有一点P,若连接AP,PB,PC,满足AP平分/A,且PC=PB,请在如图所示

的网格中，用无刻度的直尺，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证

明）.

23.（10分）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地.两车行驶的

时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与X之间的函数关系，根据图象解决

以下问题：

（1）慢车的速度为km/h,快车的速度为km/h；

（2）解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；

（3）求当X为多少时，两车之间的距离为500km.

24.(10分)阅读下面问题：

√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2

l×(^-√2)_石

(^+√2)(^-√2)W'2，

1_l×(√4-√3)_厂口冲+

"+百一("+国"-我一"-5试求：

(1)w⅛=-------;

1

(2)当〃为正整数时，/------7=—________；

√∕7+1+√∕?

11111

(3)求*方+百方+京石+…+夜7夜+回+网的值.

25.(10分)如图，已知直线y=Jx与双曲线y=&(k>0)交于A,B两点，且点A的横

zX

坐标为4,(1)求k的值；(2)利用图形直接写出不等式;x>V的解；(3)过原点0

/X

的另一条直线1交双曲线y=L(k>0)于P,Q两点(P点在第一象限)，若由点A,B,P,

X

Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.

26.(10分)如图铁路上A、B两点相距25km,C>D为两村庄，DAJ_AB于A,CBJ_AB于B.已

知DA=15km,CB=IOkm,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得：

(1)①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少km处？②若E站到C、

D站的距离之和最短，则E站应建立在离A站多少km处？

(2)受⑴小题第②问启发,你能否解决以下问题：正数a、b满足条件a+b=5,且

≡=√a2+16+√b¼'则S的最小值=--------

27.（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的

结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则《见微知著》谈到：从一

个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，

知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方

法.

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母

的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与

一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法

为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变

形带分数的方法进行，如：χ2-2x+3.=X（X-I）+χ-2x+3=χ+-（X-I）+2=X-

χ-lχ-lχ-l

i+N_,这样，分式就拆分成一个分式2与一个整式x-ι的和的形式.根据以上阅读材

料解答下列问题：

（1）假分式”可化为带分式形式；

X+4

（2）利用分离常数法，求分式缉至的取值范围；

x2÷l

2

（3）若分式.5X+9仁3拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：

x+2

5m-11+--—,贝!]m2+n^+mn的最小值为.

n-6

28.（12分）【阅读理解】对于任意正实数a、b,因为（F-JE）2>O,所以a-2√⅛+b

20,所以a+b22√豆，只有当a=b时，等号成立._

【获得结论】在a+b22。"^（a、b均为正实数）中，若ab为定值p,则a+b22j^,只有

当a=b时，a+b有最小值2几.

根据上述内容，回答下列问题：若m>0,只有当m=时，m+工有最小值_.

ID

【探索应用】如图，已知A（-3,0）,B（0,-4）,P为双曲线产丝（x>0）上的任意一

X

点，过点P作PC_LX轴于点C,PD_Ly轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时

四边形ABCD的形状.

教师样卷

一.选择题（每小题3分共30分）

1.下列式子中，最简二次根式是（B）_

A∙√θ7δB.√a2+b2C.√gD.

解：4√θ7δ=∣√^＞不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、Ja2+b2是最简二

次根式，故本选项符合题意；C、√8=2√2,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；

A需=1√3,不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：B.

22

2.若关于X的一元二次方程（a+l）x+x+a-1=0的一个根是0,则a的值，为（A）

Λ.1B.-1C.1或-1D.工

2

解：把x=0代入方程（a+l）χ2+x+a2-1=0得：a2-1-0,解得：a=±l,•.•方程为一元二次

方程，Λa+l≠0,.*.a≠-1,Λa=l,故选：A.

3.把水匀速滴进如图所示玻璃容器，那么水的高度随着时间变化的图象大致是（D）

解：因为根据图象可知，物体的形状为首先大然后变小最后又变大，而水滴的速度是相同

的，

所以开始与最后上升速度慢，中间上升速度变快，故选：D.

4.一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按

得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88,72,

50,则这位选手个人总分为（C）

A.68.24B.64.56C.65.75D.67.32

解：这位诜丰个人总分为88X1+72X4+50X3=65.75,故选：C.

1+4+3

5.一元二次方程/+歹一旦=0,配方后可化为（A）

4

2

A.（广上）2=1B.（y-A）=1C.（产工）2=JLD.（y-A）2__3

222227

解：∙.∙∕+y超=0.∙.∕+y=3,则六产4=&_+_1,即（ʃ+JL）2=1,故选：A.

44'4442

6.如图，已知长方形ABCD,R,P分别是DC,BC上的点，E,F分别是AP,RP的中点，当

点P在BC上从点B向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（C）

ʌ.线段EF的长逐渐增大B.线段EF的长逐渐减少

C.线段EF的长不变D,线段EF的长先增,大后变小

解：连接AR.；E、F分别是AP、RP的中点，.∙.EF为AAPR的中位线，.∙.EF=∙∣∙AR,为定

7.如图，反比例函数y∣=且和正比例函数y2—kzx的图象交于A（-2,-3）,B（2,3）

两点.若±L〉k°x，则X的取值范围是（C）

X2

A.-2<x<0B.-2<x<2C.x<-2∏gθ<x<2D.-2VXVo或x>2

8.正方形ABCD,正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，且G为

BC的三等分点，R为EF中点，正方形BEFG的边长为4,则ADEK的面积为（D）

A.10B.12C.14D.16

解：连DB,GE,FK-,则DB〃GE〃FK,在梯形GDBE中,S.B=S（同底等高）

∙,∙SAGDB-公共二角形二SAEDB一公共二角形即∙*∙SZ∖ME=S^GEB,SZ∖GKE=S^GFE同理S^GKE=SAGFE***S阴影二

DC

2、P

DfiE÷SΔGKEzzS∆GEB÷S∆GEF≈S正方形GBEF=4?=16故选：D.J

ARE

9.将6义6的正方形网格如图所示的放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为

格点，每个小正方形的边长都是1,正方形/8（力的顶点都在格点上，若直线y=M（4W0）

与正方形4?必有公共点，则在的值不可能是（D）

Λ.ɪB.1C.3D..ʒ

222

解：由图象可知力（1,2）,（7（2,1）,把/1的坐标代入y=4x中，求得在=2,把C的坐

标代入尸中，求得*=∙∣∙,根据图象，当∙∣<k42时，直线尸履（AWo）与正方形

［时有公共点，所以，左的值不可能是〃，故选：D.

10.已知实数m,n同时满足产+1?-12=0,m2-5n—6≈0,则n的值为（A）

Λ.1B.1,—6C.—1D.-6

解:两式相减，得(m2+n2-12)—(m2-5n—6)=0,.*.mj÷n2-12—m^+5n+6=0,Λn^÷5n

—6=0,即(n+6)(n—1)=0,.∖n∣=-6,∏2=1.把n=-6代入m?+!?—12=0,得m?=一

24,不合题意，舍去；把n=l代入m''+!?-12=0,得即m=±4五，.'.n=1.

题空题(每小题3分共30分)

11.把长方形力腼沿着直线)对折，折痕为防对折后的图形旗'〃的边尾恰好经过

点G若N4ΛF=55°,则/初=70°.

解：如图，在长方形4成》中，AD//BC,则/限=N"F=55°.：.NBEF=\8Q°-55°=

125°.根据折叠的性质知：AB'EF=/BEF=125°.：.4CEB=4B'EF-/FEC=∖25°

-55°=70°.故答案是：70°.

第11题图第12题图

12.如图，在四边形46G9中，AS=AD=4,N4=60°,BC=4√5,CD=8,则四边形四徵

的面积为_12√2.

解：连接班."：AD=AB=/4=60°,；.△/被是等边三角形，：.BD=AD=4,

a

•：BC=4疾,CD=S,：.Be=BIhC广,：.ABDC=W,；•Sroi彩≡a=5k胸+5k∞∙=返X4，+」

42

×4×4√3=4√3+8√3=12√3.故答案为12√1

AD

13.如图，平行四边形”式、中，对角线交于点6,双曲线y=&(k>0)经过小£两点，若

X

平行四边形力次的面积为30,则A=_10______.

k

解：如图，过力作49_LcB于〃，EFIOB于F,设力(x,-),B(a,0),Y四边形加％

X

是平行四边形，••"后典.∙.R7为△/劭的中位线，:.E六三梏七,〃伫!(a-χ),

2Ix2

。+尤za+xk、.k,α+xk

O?=OND2-------,：.E(-----,——),•・・《在双曲线六一上，・•・----------=k9：.a=3%,

22IxX22x

kk

YSwoB*AF33：.a∙-=3Λ∙-=3k=30,解得：ZFIO.故答案为10.

XX

k

14.如图，点A在双曲线y=一上，且0A=4,过A作AC_LX轴，垂足为C,OA的垂直平分线

X

交OC于B,aABC的周长为2",则k=【答案】6解：：》的垂直平分线交

OC于B,.∙.Λ9=①，.∙.ZX∕8C的周长=协∙∕C,...纺Me2g①，Vft4=4,4CJ轴，垂足为

C,.∙.4d+M=16②，由①②可得：AC∙OOf5,ΛA=6,故答案为6.

15.若关于X的分式方程一⅛+∙^L=2有增根，则m的值是-1

解：方程两边都乘以(χ-3)得,2-x-m=2(x-3),・・,分式方程有增根,・・・x-3=0,解得

x=3,2-3-m=2(3-3),解得m=-1.

16.已知菱形ABC。的边长为6,NA=60。，如果点。是菱形内一点，且

PB=PD=2√3，那么AP的长为_4石或2g.

解：当P与A在BD的异侧时:连接AP交BD于M,：AD=AB,DP=BP,.∙.APL3D(到线段两

端距离相等的点在垂直平分线上)，在直角AABM中，ZBAM=30o,

o,22

ΛAM=AB∙cos30=3+,BM=O.5AB=3,..PM=yJpβ-BMɪ√3.；.AP=AM+PM=4B当P

与A在BD的同侧时：连接AP并延长AP交BD于点MAP=AM-PM=2√3；当P与M重合时，

PD=PB=3,与PB=PD=26矛盾，舍去.AP的长为46或26.故答案为：4g或

17.如图1有两张等宽的矩形纸片，矩形£FG〃不动，将矩形ABCD按如下方式缠绕：如

图2所示，先将点3与点E重合，再先后沿FG、EH对折，点A、点C所在的相邻两边不

重叠、无空隙，最后点。刚好与点G重合，则图1中两张纸片的长度之比AD:EG=7:5

解：由题意可知，M=AB,ZF=ZABM=90°ZABN+ZNBM=ZNBM+ZFBM=90°,

:.ZABN=AFBM,.∙∙ΔABNMΔFBM(AAS),.∙.BM=BN,由折叠过程可知，

MN=NQ=PQ,BN=MQ,:.ABMN是等边三角形，；.ZNBM=60。,

.∙.ZABN=AFBM=30o.BMMNQMPG,:.AHPG=ANBM,EH//FG,

..ABMF=ZHBM,..AHPG=ABMF,BF=HG,:.ABFMAGHP(AAS),

.-.PH=FM,设BN=a,AN=b,.∖EH=2a+b,AD=3a+b,在RtΔBFM中，，

.∙.a=2b,:.EH=5b,AD=7b,:.AD:EH=7:5,

3

18.在图中,一次函数y=x-2与反比例函数y=3的图象交点为A、B.则一次函数值小

X

于反比例函数值时X的取值范围是—x<—1或0<x<3

y=x—2x=-l[%=3/、

解：解方程组43得《->或〈，.所以A点坐标为(-l,-3),B点坐标为

y=­l>,=-3ι>>=ι

(3,1),.,.当χ<T或0<χ<3,一次函数值小于反比例函数值.

19.己知，如上右图，动点P在函数y=」-(x>0)的图象上运动，PMJ_x轴于点M,PNly

Ix

轴于点N,线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+l相交于点E,F,贝∣JAF∙BE的值是

________1___________

解:作FGLX轴，YP的坐标为(a,—),且PN_LOB,PMLOA,.'.N的坐标为(0,—),

laIa

M点的坐标为(a,0),ΛBN=1-ɪ,在直角ABNF中，ZNBF=45o,OB=OA=I,ZXOAB是

2a

等腰直角三角形，.∙.NF=BN=1-—L,.∙.F点的坐标为(1-—L,1-),同理可得出E点的

2a2a2a

坐标为(a,1-a),.∙.AF=(1-1+ɪ)2+

2a

222

.∙.ΛF∙BE=-ɪv∙2a=l,即AF∙BE=1.故选C.

2a^

20.如图，矩形ABCD中，AD=12,AB=8,E是AB上一点，且EB=3,F是BC上一动点,

若将AEBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为10.

解：如图：连接PD,DE,VAD=12,AB=8,EB=3ΛΛE=AB-EB=5,Y四边形ABCD为矩

形，ΛZA≈90o,ΛDE=√AE2+AD2=13,由翻折可得PE=EB,.∙.PE=4,∙.∙DP3DE-

EP,.∙.当E,P,D三点共线时，DP最小，...DPQMI=DE-EP=13-3=10.选：A.

≡.解答题（90分）

21.（18分）解方程

（DX2-2X-3=O（公式法）(2)3f-7x+4=0（配方法）；

（3）（X-2）2=（2X+3）2（因式分解法）(4)(X-I)2=2x-2（适当的方法）.

⑸d+2x-l=0;（用配方法）(6)3x"+5x=3x+3.（选择适当的方法）

【答案】⑴解：∖*-2X-3=0,：a=↑,6=-2,c=-3,

-b±∖∣b2-4ac

.∙.Δ=⅛2-4ΛC=(-2)2-4×1×(-3)=I6>O,二χ=2±4Xl=3,

2

22274

(2)解：V3X-7X+4=O,：.3X-1X=-4,：.X~3x~~3,

2

.277•x'=+2._4

•∙AA十xx

33)T~τ]S"6一6’・・。

(3)解：V(Λ-2)2=(2%+3)2(x-2)2-(2x+3)2=0,

1

Λ(X—2+2x+3)(x-2-2x-3)=0,Λ(3x+l)(x+5)=O,西=5，XtI=

2-

(4)解:V(X—I)=2x—2,(X—1)^—2(x—1)=O,.*.(x1—2)(x-1)=O,x1=3,

∙r2=ɪ•

(5)解：X2+2X-1=0,X2+2X=1,X2+2X+1=1+1,即(x+l)2=2,.,.x+l=±√2,

.,.x∣--1+72，X2=-1-√,2.

(6)解：3x"+5x=3x+3,3X2+2X-3=0Va=3,b=2,c=-3,.∖Δ=22-4×3×(-3)=40

、八.—2+2∖∕Γθ—1+>∕10.-1+Λ∕10—1—ʌ/lθ

>0,..X=----------------------------------------,..Xj=--------------------,x2≈----------------.

2x3333

22.（8分）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A,B,C均在格点上.

（I）AC的长度等于5:

（II）在图中有一点P,若连接AP,PB,PC,满足AP平分NA,且PC=PB,请在如图所示

的网格中，用无刻度的直尺，画出点P,并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）

取格点0、E、F,M,N,作射线AO,连接EF,MN交网格线于H,Q,HQ与射线AO的交点于

点P,点P即为所求.

（2）如图所示：点P即为所求：故答案为：取格点0、E、F,M,N,作射线AO,连接EF,

MN交网格线于H,Q,HQ与射线AO的交点于点P,点P即为所求.

23.(10分)一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地.两车行驶的

时间为xh,两车之间的距离为ykm,图中的折线表示y与X之间的函数关系，根据图象解决

以下问题：

(1)慢车的速度为80km/h,快车的速度为120km/h：

(2)解释图中点C的实际意义并求出点C的坐标；

解：(1)设慢车的速度为akm∕h,快车的速度为bkm∕h,根据题意，得俨6(a+b)=720,

15.4a=3.6b

解得［a=80,故答案为80,120；(2)图中点C的实际意义是：快车到达乙地；Y快车走

Ib=120

完全程所需时间为720÷120=6(h),.•.点C的横坐标为6,纵坐标为(80+120)X(6-

3.6)=480,即点C(6,480)；(3)由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的

距离为500km.即相遇前:(80+120)x=720-500,解得X=I.1,相遇后:'∙,C(6,

480)慢车行驶20km两车之间的距离为50Okm,：慢车行驶20km需要的时间是空=

80

0.25(h),Λx=6+0.25=6.25(h),故X=LIh或6.25h,两车之间的距离为500km.

24.(10分)阅读下面问题：

√2+l(√2+l)(√2-l)√3+√2

l×(√3-√2)_z-K

73v25

(√3+√2)(√3-√2)^^

ɪl×(√4-√3)_r-_r-Tf

1

(1)

1

(2)当刀为正整数时,

+1+y[n

(3)求帛方+石国+京石+…+回+μ+/+闹的值.

解：(1)-LIL=LL=币任，故答案为：√7-√6;

√7+√6(√7+√6)(√7-√6)

(2)~/故答案为：

√n+l+√n(√n+l+√n)(√n+l-√")

Λ∕Π+1-y∕n;

(3)

1]]]]

l+√2√2+√3√3+√4•…√98+√99√99+√lθδ

=√2-l÷√3-√2÷√4-√3+...+√99-√98+√lθδ-√99

=JIOo—1=10—1=9.

25.（10分）如图，已知直线y=Jx与双曲线y=&（k>0）交于A,B两点，且点A的横

zX

坐标为4,（1）求k的值；（2）利用图形直接写出不等式;x>V的解；（3）过原点0

/X

的另一条直线1交双曲线y=L（k>0）于P,Q两点（P点在第一象限），若由点A,B,P,

X

Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.

解：（1）；直线y=4x与双曲线y=K（k>0）交于A,B两点，且点A的横坐标为4,

2X

.∙.1×4=2,即：A点的坐标为（4,2）,.∙.k=4X2=8,即：k的值为8.（2）;点A与

点B关于原点。对称，.∙.点B的坐标为（-4,-2）,又Y不等式当>回的解，是函数图

象上直线位于双曲线上方的部分对应的X的取值，；.由图象可知：不等式4x>K的解

2X

是：-4（xV0和x>4.（3）作AM_Lx轴于点M,PNJ_x轴于点N.设P点的坐标为（a,

-）.VP.Q关于0点对称，A、B关于0点对称，.∙.四边形APBQ为平行四边形，

a

Λ4SΔ0AP=24ΛSΔ0AP=6.①当点P在直线AB的下方时，如图1所示，

SΔOΛP=⅛×4×2+⅛∙（-+2）（a-4）-熹区6,.∙.a2-6a-16=0,解得：aρ-2,42=8,

z2a2a

.∙.此时点P的坐标为（8,1）；②当点P在直线AB的上方时，如图2所示，

2

SΔOAP⅛∙-+ɪ（—+2）（4-a）-ɪ×4×2=6,Λa+6a-16=0,解得：al=2,a2=-8,

2a2a2

.∙.此时点P的坐标为（2,4）.综上所述：点P的坐标为（8,1）或（2,4）.

26.（10分）如图铁路上A、B两点相距25km,C、D为两村庄，DALAB于A,CBLAB于B.已

知DA=15km,CB=IOkm,现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E,使得：

（1）①若C、D两村到E站的距离相等，则E站应建立在离A站多少kɪn处？②若E站至IJC、

D站的距离之和最短，则E站应建立在离Λ站多少km处？

解：(1)①设AE=Xkm,则BE=(25-x)km,在RtaDAE中，DE2=DΛ2+ΛE2=225+x⅛Rt

△CBE中，CEZ=BE2+BCZ=(25-x)2+100,VDE2=CE2,Λx=10,ΛAE=IOkm.答：E站应

建立在离A站IOkm处；

②“将军饮马”问题，作点D关于AB的对称点D',连接CD'交AB于点E',即E'站到

C、D站的距离之和最短，过点D'作D'F_LCB的延长线于点F,贝∣J/F=90°,D'F=AB=

,,z

25,CF=CB+BF=CB+AD'=CB+AD=25,ΛDF=CF,ΛCD52+252=25√2∙E

C+E,D的最小值即为CD',此时NBCE'=45°,CNAE'D,=ZCE,B=45o,

ΛZΛDzE,=ZADE,=45°,ΛΛE,=ΛD=15km.答：E站应建立在离A站15km处；

222222,

（2）同（1）②的方法：s=√a+16+√b+9=√（a-0）+（0-4）+√（a-5）+（0-3）

则S表示点（a,0）到（0,4）和（5,3）距离之和的最小值，，s的最小值=<52+72=

√74∙故答案为：√74∙

27.（12分）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的

结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则《见微知著》谈到：从一

个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，

知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方

法.

阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母

的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与

一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法

为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离常数可类比假分数变

形带分数的方法进行，如：χ2-2x+3.=X（X-1）+X-2X+3=χ+-（x-1）+2=χ_

χ-