江西省横峰中学等五校2024届数学高二年级上册期末经典试题含解析

江西省横峰中学等五校2024届数学高二上期末经典试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

1.已知函数/(»=£的图象过点(4,2),令4=----------------------------GN*.记数列｛4｝的前〃项和为Sn,则S,

/(〃+1)+/(〃)202

()

A.V2021-1B.J2021

C.J2022D.V2022-1

2.已知xcR,向量0=(羽0,1),b=(2,7,T),若则x的值为()

A.-1

C.-2D.2

»,八-risin6+3cos夕/、

3.若tan6=—2贝！I---------------=()

sin夕+cos。

A.-2B.-1

D.2

4.在空间直角坐标系中，已知点A(3,0,4),5(-1,4,2),则线段AB的中点坐标与向量AB的模长分别是()

A.(123)；5B.(123)；6

C.(―2,2,—1)；5D.(—2,2,—1)；6

5.已知随机变量J服从正态分布N(3,02),P(J<4)=0.68,则P《22)=()

A.0.84B.0.68

C.0.32D.0.16

9

6.在等比数列｛4｝中，a6=~,公比q=石，则/=()

A.汉IB.6

3

C.—F2yD.2

3

7.已知A,3是球。的球面上两点，ZAOB=90°,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,

则球。的表面积为()

A.367cB.647r

C.144万D.2567r

8.ABC内角A、B、C的对边分别为。、b、c,若4=2,A=45°,5=60，则5=()

A.6B.26

D-V2

9.在等差数列｛4｝中,S”为数列｛4｝的前〃项和，生+46=9,55=-10,则数列｛%｝的公差为O

BT

C.4D.-1

10.圆(%—1)2+(丁+2)2=2关于直线/：%+y—2=0对称的圆的方程为()

2222

A,.(x-4)+(y-l)=2B,(x+4)+(y+l)=2

22

(x-4)+(y+l)=2D'.(X+4)2+(3；-1)2=2

11.《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小

满、芒种这十二个节气日影长依次成等差数列，若冬至、大寒、雨水的日影长的和为36.3尺，小寒、惊蛰、立夏的

日影长的和为18.3尺，则冬至的日影长为()

A4尺B.8.5尺

C.16.1尺D.18.1尺

12.已知命题0：,sinxvtanx,则「P()

A.V%E[0,—j,B.3x€I0,-1-1,sinx>tanx

sinx>tanx

D.Vx[0,—j,sinx>tanx

0,^j,sinx>tanx

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若正数小y满足％+丁=孙，则%+4y的最小值等于.

14.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点歹为(1,0),过点尸的直线交该抛物线的准线于点A,与该抛物线的一个交

点为8,S.FA=-3FB>贝!=

15.已知球的半径为3,则该球的体积为

16.已知过点T（-1,2）作抛物线C：丁=2Px（p>0）的两条切线,切点分别为A、B,直线AB经过抛物线C的焦点F,

则+|2『=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在棱长为1的正方体中，求平面ACd的一个法向量

18.（12分）已知椭圆G:，■+，=1（。>6>0）的离心率为，,右焦点为（2后,0），斜率为1的直线/与椭圆G交于A,3

两点，以A3为底边作等腰三角形，顶点为「（-3,2）.

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△PAB的面积.

19.（12分）A6C中，三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosB+^b=c

2

（1）求角A；

（2）若c=2,角A的角平分线AO交BC于O,AD二处,求a

3

20.（12分）已知抛物线/=2夕%（0〉0）的准线方程是X=—3.

（I）求抛物线的方程；

（II）设直线y=2）（左/0）与抛物线相交于河，N两点，。为坐标原点，证明：OM±ON.

21.（12分）已知函数y=，（xw0）的图像为曲线C,点耳（夜,、历）、F］卜母,-吟.

（1）设点〃（演，儿）为曲线。上在第一象限内的任意一点，求线段P耳的长（用与表示）；

（2）设点。为曲线C上任意一点，求证：||。用-依用为常数；

（3）由（2）可知，曲线。为双曲线，请研究双曲线C的性质（从对称性、顶点、渐近线、离心率四个角度进行研究）.

22.（10分）已知圆G：（x+4）2+y2=16,点A是圆G上一动点，点以4,0）,点C是线段A3的中点.

（1）求点C的轨迹方程；

（2）直线/过点（1,1）且与点。的轨迹交于A,3两点，若|A耳=2百，求直线/的方程.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】由已知条件推导出4=标斤-6，nwN*.由此利用裂项求和法能求出S2021

【详解】解：由/(4)=2,可得半=2,解得a=g，则〃x)=W.

a”=---------------=/1----；==-Jn+1-G,

/(«+1)+于(底)Jn+1+4n

S2021=V2-l+^-V2+V4-V3+...+72022-72021=72022-1

故选：。

【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

2、D

【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.

【详解】因向量a=(羽0,1),匕=(2,7,T),a_L6,贝Ua.6=2x-4=0，解得x=2,

所以x的值为2.

故选：D

3、B

【解析】分子分母同除以cos。，化弦为切，代入即得结果.

.、乂b-n.八〜八mI~1rr人八一rzi=tSill0+3COS0tUH6+3—2+3.

【详解】由题意，分子分母同除以COS。，可得一^-----=——==-1.

sin0+cos0tan6+1-2+1

故选:B.

4、B

【解析】根据给定条件利用中点坐标公式及空间向量模长的坐标表示计算作答.

【详解】因点4(3,0,4),5(-1,4,2),所以线段因5的中点坐标为(L2,3),

|AB|=J(-L-3A+(4-0)2+(2-4)2=6.

故选：B

5、B

【解析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果

【详解】根据随机变量J服从正态分布N。,。?)，所以密度曲线关于直线％=3对称,

由于W4)=0.68,所以尸(424)=1-0.68=0.32,

所以P("2)=0.32,

则尸(2WJW4)=1-0.32-0.32=0.36,

所以尸(422)=0.36+0.32=0.68

故选：B.

【点睛】本题考查的知识要点：正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题

6、D

【解析】利用等比数列的通项公式求解

【详解】由等比数列的通项公式得：4=4勺2=$32.

故选：D

7、C

【解析】当。平面。时，三棱锥O-ABC体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面

积.

【详解】当。平面。时，三棱锥O—ABC体积最大.

11*

又NAQB=90。，则三棱锥体积％=36,解得r=6；

故表面积S-41r2=144万.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当OCL平面。3时，三棱锥

O—ABC体积最大.

8、C

【解析】利用正弦定理可求得边b的长.

■、斗岫、占十力』ebaasinB2sin60斤

【详解】由正弦定理----=-----得匕7=---------=-----------=16.

sin3sinAsinAsin45

故选：C.

9、A

【解析】由已知条件列方程组求解即可

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

因为的+4二乡，S5=-10,

CL+2d++156?=94——4

所以,解得W

5《+10d=-10d—\

故选：A

10、A

【解析】首先求出圆（X—1）2+3+2）2=2的圆心坐标与半径，再设圆心（L—2）关于直线/:无+y-2=。对称的点的

坐标为（a,»,即可得到方程组，求出。、b,即可得到圆心坐标，从而求出对称圆的方程;

【详解】解：圆（x—iy+（y+2）2=2的圆心为（1,—2）,半径r=后，设圆心（1,—2）关于直线/:x+y—2=。对称的

点的坐标为（。涉）,

b+2/

“(T=T1

Q^34

则,解得b~1,即圆（X—1了+（尹2）2=2关于直线/：x+y-2=0对称的圆的圆心为（4,1）,

工工2=0

122

半径r=后,

所以对称圆的方程为（％—4）2+（y—仔=2；

故选：A

11、C

【解析】设等差数列{4},用基本量代换列方程组，即可求解.

【详解】由题意，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个

节气的日影长依次成等差数列，记为数列{4},公差为d,

q+%+%=36.3即产+6[=36.3a=16.1

则有＜解得:}

%+%+4。=18.33%+15d=18.3d=-2

即冬至的日影长为16.1尺.

故选：C

12、C

【解析】由全称命题的否定：将任意改存在并否定结论，即可写出原命题?的否定力.

【详解】由全称命题的否定为特称命题，

:.力是0,-|,sinx>tanxw

故选：C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、9

(1］、

【解析】把要求的式子变形为(x+4y)-+-,利用基本不等式即可得结果.

Uy)

11,

【详解】因为％+y=孙，所以一+—=1

xy

(11'

%+4y=(1+4y)—+—

5y)

=1+-+^+4>5+2A/4=9,

y犬

x4y-

当且仅当一=一时取等号，故答案为9.

【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，

二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值(和定积最大，积

定和最小)；三相等是，最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用之

或w时等号能否同时成立).

32

14、—

3

【解析】作3。垂直于准线，垂足为。，准线与％轴交于点E,根据已知条件，利用几何方法，结合抛物线的定义得

到答案.

【详解】抛物线/=4x的焦点坐标b(1,0),准线方程x=-1,

作瓦)垂直于准线于。，准线与*轴交于点E,则EF/AD6,...二A即〜qAD5.

'-'FA=-3FB，A|BD|=-|EF|=j,

Q

由抛物线的定义得忸刊=\BD\=j,

：.\AB\=4\BF\=-.

32

故答案为：—.

3

15、367c

【解析】根据球的体积公式计算可得;

44

【详解】解：因为球的半径H=3,所以球的体积V=—%&=—乃*33=36

33

故答案为：36〃

16、64

【解析】用字母进行一般化研究，先求出切点弦方程，再联立化简，最后代入数据计算

设点A处的切线方程为.y-必=左（》-占）

所以点A处的切线方程为y-x=£（x-xj,整理得%y=M%+x）

同理，点B处的切线方程为y2y=P(%2+X)设T(x0,为)为两切线的交点，则

%%=。(玉+%)

%%=。(%2+不)

所以4(%,X),5(9,%)在直线为y=P(%+%)上

即直线AB的方程为为>=。(/+%)

又直线A3经过焦点

所以0=P，+，即°=-2x0

”2

y=-4xx

联立《0n

[y0y=-2x0(x0+x)

2232

得y2_2%y_4*=0,4x0%+(8x0-4x0j0)尤+4尤;=0

2

所以另+%=2%，X%=无i=—-2X0,^X2=XQ

x°

所以|7A『+|=|2=&—%)2+(%一%)2+(々—飞了+但―y。)2

=片+宕一2巳(%+/)+y；+£—2%(%+%)+2焉+24

=(%+x2)2—一2%(玉+/)+(%+%了一2%%—2%(弘+%)+2%：+2y；

(2、24

=--2x0-2x：=吟+16%：+8%

、/Jxo

本题中小=-1,%=2

4

所以|K4|2+|7»|2=4+16,+8y：=16+16+32=64

%

故答案为：64

【点睛】结论点睛:过点T(x0,为)作抛物线C:丁=2px[p>0)的两条切线，切点弦的方程为%〉=P(%+力

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、n=(1,1,1)

【解析】建立空间直角坐标系，由向量法求法向量即可.

【详解】如图，建立空间直角坐标系，则A(LO,O),C(O,L0),〃(0,0,1)

设平面ACDi的法向量n=(x,y,z).

AC=(-1,1,OXADj=(-1,0,1),又“为平面AC/%的一个法向量

n-AC=0fx=y

，化简得

n-AD,=0x=z

I1I

令x=l,得y=z=L

•••平面ACDi的一个法向量n=(1,1,1).

【点睛】本题主要考查了求平面的法向量，属于中档题.

Y2y29

18、(1)—+^=1.(2)-

1242

【解析】(1)根据椭圆的简单几何性质知。=2有，又02=4,写出椭圆的方程；(2)先斜截式设出直线

y^x+m,联立方程组，根据直线与圆锥曲线的位置关系，可得出A5中点为E(x。，为)的坐标，再根据为等

m

2---

腰三角形知？ELAB,从而得PE的斜率为左=——在=-1，求出力=2,写出A3：x—y+2=。，并计算

-3+细

4

\AB\=342,再根据点到直线距离公式求高，即可计算出面积

【详解】(1)由已知得°=2狡，，解得。=26,又02=4,

a3

22

所以椭圆G的方程为土+工=1

124

(2)设直线/的方程为V=》+，",

y=x+m,

由Idy2^4x2+6mx+3m2—12=0,①

---1---二L

124

设A、3的坐标分别为(%,%),(%,>2)(王<尤2),AB中点为£(%,%)),

7，%=%+”2=工

因为AB是等腰A八43的底边，所以？

解得罚=—3,x2=0,所以％=—1,%=2,所以|A3|=30,

|-3-2+2|_3V2

此时，点P(—3,2)到直线A3：x—y+2=0距离d=

所以△上钻的面积=2

2112

考点：1、椭圆的简单几何性质；2、直线和椭圆的位置关系；3、椭圆的标准方程；4、点到直线的距离.

【思路点晴】本题主要考查的是椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，属于

难题.解决本类问题时，注意使用椭圆的几何性质，求得椭圆的标准方程；求三角形的面积需要求出底和高，在求解

过程中要充分利用三角形是等腰三角形，进而知道定点与弦中点的连线垂直，这是解决问题的关键

19、(1)A=—

3

(2)a=2y/3

【解析】(1)根据正弦定理统一三角函数化简即可求解；

(2)根据角平分线建立三角形面积方程求出瓦再由余弦定理求解即可.

【小问1详解】

由acosB+L/?=c及正弦定理，得sinAcosi3+Lsin3=sinC

22

VsinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsin5,

:.—sinB=cosAsinB

2

「sin8w0,

:.cosA=

,:A£（0,»）,

【小问2详解】

」2办正」(2+。＞0,

22232

解得6=4

由余弦定理，得/=/+<?-2&ccosA=42+22-2x4x2cos—=12,

3

a=2^3•

20、（I）y2=2x（II）详见解析

【解析】（I）利用排趋性的准线方程求出p,即可求解抛物线的方程；（II）直线y=k（x-2）（k/0）与抛物线联立,

通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM1.ON

试题解析：（I）解：因为抛物线丁=2内5〉0）的准线方程为工=-5，

所以—¥=—1，解得。=1，

所以抛物线的方程为y2=2x.

（II）证明：设〃■（%%）,N（苍,％）.

将y=k（x—2）代入y2=2%,

消去V整理得k2x2-2（2k2+V）x+4k2=Q.

所以看々=4.

由yi=2无],%=2X[,两式相乘，得y；%=4玉%，

注意到为,异号，所以%%=-4.

所以直线加与直线附的斜率之积为±£=-1,

即OMLON.

考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程

21、(1)\PFi\=\x0+--j2\.

xo

（2）具体见解析；（3）具体见解析.

【解析】（1）由两点间的距离公式求出距离，进而将式子化简即可;

（2）求出|。耳|,|。鸟I,进而讨论x>O,x<。两种情况，然后结合基本不等式即可证明问题;

(3)根据耳，鸟为双曲线。的焦点，结合双曲线的图形特征即可求得该双曲线的相关性质.

【小问1详解】

由题意,

1因1=

H—；—2A/2XQH--+4=~A/2=|x0H-------V2|•

X。)不

【小问2详解】

x+1_回,|Qg|=J(%+0)

设Q(X»),由(I)\QF.\=\

若x>0,则x+L〉2jx-L=2