安徽省高一年级上册期末考试数学试题（解析版）

一、单选题

1.已知集合4={x|x41},5={xeZ|0<x<4],则/门8=()

A.{x|O<x<l}B.{x|0<x<1}C.{x|O<x<4}D.{0,1}

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】由8={XEZ|04XM4}得8={0,1,2,3,4},所以/08={0,1},

故选：D

2.'3=工"是"sinx=L”的()

62

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】若x=J，则sinx=《成立，逆命题不成立，可得出结论.

62

7T]

【详解】当彳="时，sinx=-,

62

JT\

所以“X=，，是"sinx=9的充分条件，

62

当sinx=—时，x=—+2k,7tx=—+2k^,k&Z,,

266

TT]

所以“X=>是"sinx=：”的不必要条件，

62

即“x=>是"sinx=1”的充分不必要条件，

62

故选：A.

3.己知a>0>0,则下列不等式成立的是

A.->-B.4a>4bC.lga<lgbD.2-a>2~h

ab

【答案】B

【分析】由于a>b>0,可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即

可.

【详解】va>。>0,.,'<4，y[a>y/b,lga>lgb,2T<2一".

ab

只有B正确.

故选B.

【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.

4.函数/(力=万5+士的定义域是()

A.[-3,+oo)B.[-3,-2)

C.[-3,-2)u(-2,+oo)D.(-2,+oo)

【答案】C

【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.

【详解】因为/(》)=在行++，

fx+3>0

所以c八，解得x-3且…2,

x+2/O

即函数/(X)的定义域为卜3,-2)5-2,+8).

故选：C.

【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.

.71

.、sm—x,x>0八/、

5.己知函数/(力=4,则/(-3)的值为()

/(x+2),x<0

A.-1B.—C.1D.--

22

【答案】B

【解析】根据函数解析式，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果.

【详解】依题意/(一3)=/(-3+2)=/(_1)=/(_1+2)=八1)=疝?=孝.

故选：B

【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及特殊角的正弦值，属综合简单题.

x+3

6.设函数/&)=-则下列函数中为奇函数的是()

x+1

A./(x-l)-lB./(x-l)+l

C./(x+l)-lD./(x+l)+l

【答案】A

【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.

【详解】函数〃x)=y=i+i,

x+lx+1

2

对于A,/(x-l)-l=-,其图象关于原点对称，是奇函数，A是；

x

2

对于B,/(x-l)+l=-+2,其图象关于原点不对称，不是奇函数，B不是；

2

对于C,/(x+l)-l=-其图象关于原点不对称，不是奇函数，C不是；

x+2

2

对于D,/(x+l)+l=--+2,其图象关于原点不对称，不是奇函数，D不是.

x+2

故选：A

7.基函数/(')=(/-加在区间(0,+功上单调递增，且〃+b〉o,则/(〃)+/S)的值

()

A.恒大于0B.恒小于0

C.等于0D.无法判断

【答案】A

【分析】由已知条件求出〃，的值，则可得基函数的解析式，再利用基函数的性质判断即可

【详解】由函数〃X)=(/一切-1)X""2+5是寨函数，可得病解得机=2或机=T.

当机=2时，/(x)=x3；当加=-1时，/(x)=x-6.

因为函数“X)在(0,+8)上是单调递增函数，故〃x)=d.

又a+b〉0,所以。>-8，

所以/,)>/(询=一/伍),则/⑷+/9)>0.

故选：A.

8.德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，

如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底

与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为72。的等腰三角形(另

一种是两底角为36。的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图

所示，在其中一个黄金A48C中，生=正1.根据这些信息，可得sin54。=()

AC2

A

;

A4+V5口3+石

A.-----D.

88

1+V5275-1

4

【答案】C

【分析】先求出cos720,再借助倍角公式求出cos1440,通过诱导公式求出sin54。.

【详解】正五边形的一个内角为垩幽=108。，贝148c=48=72。，

5

-sin54"=2cos2372°-1=-“十］,所以sin54"="十】

故选：C.

二、多选题

9.与角-4:7终r边相同的角是（

3

4410乃

T

【答案】BD

【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项.

47rf4

【详解】与角一半终边相同的角的集合是灯+26'MwZ

210

当&=1时，a=-n,当左=一1时，a=---万.

33

故选：BD

10.已知不等式62+&+°>0的解集为{x[2<x<3},则以下选项正确的有（）

A.。＜0B.c＞0

C.ex2+bx+Q＜0的解集为《犬3＜工＜5

D.c/+bx+avO的解集为〈XX、或

【答案】AD

【分析】依题意可以判断。<0,c<0,利用根和系数的关系求出b=-5a,c=6a代入

c/+6x+a<0求解即可.

【详解】；不等式ax2+bx+c>0的解集为{x\2<x<3}

hr

・•・根据一元二次不等式解法可知”0,且-g=5,-=6>0

aa

c<0

故由上可知A正确，B错误；

bc

由—=5,—=6可知：将6=—5。，C=6Q代入c/+以+〃

aa

6ax2-5ax+a<0

由a<0可得：6x2-5x+l>0.解得：或x>；

故0x2+反+4<0的解集为｛》》<；或工>；｝,C错误，D正确；

故选：AD

11.已知函数/(》)=/$访(0*+夕)(/>0,0>0,阚<51勺部分图象如图所示，下列说法正确的是

B./卜)的图象关于直线x=-三对称

C./(x)在卜§,-外上单调递减

3o_

D.该图象向右平移自jr个单位可得N=2sin2x的图象

6

【答案】ABD

【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项.

【详解】根据函数/(x)=/sin(s+e)(/>0,。>0,网<?|的部分图象，可得4=2,

彳=；'型-尚，所以0=2,故A正确；

44。312

利用五点法作图，可得2x^+9=%可得eg所以/(x)=2sin(2x+g),令乂=喑，求得

Sir

./■(x)=-2,为最小值，故函数y=/(x)的图象关于直线对称，故B正确：

当X€-y,-^时，2X+色卜兀,0],函数/（X）没有单调性，故C错误：

把/"）的图象向右平移£个单位可得V=2sin2x的图象，故D正确.

故选：ABD.

12.已知函数/（羽）=1咀（1）+108“（3+」）（。＞0且arl）在定义域内存在最大值，且最大值为

2,g（x）="马二1,若对任意占j-1,；],存在々€[-1,1],使得/&）*（2）,则实数加的取值

2'L2」

可以是（）

A.-1B.0C.log,7D.3

【答案】ABC

【分析】先求出〃X）=1暇[山+炉+4],得到-1,；时，〃x）w[log27-2,2].

再由题意得到bg27-2..m-2,即可求出用的范围，对照四个选项即可得到正确答案.

【详解】/(x)定义域为(T1).

/(X)=log”(l-x)+log,,(3+x)=log,,(-X2-2x+3)=log“卜(x+1丫+41

由题意知x=—1时，/(冗)=2,即log〃4=2,二.。=2.

此时/(工)=1。82卜卜+1)2+41，

;.xe-1,；H-j',/(x)e[log27-2,2].

=时，g(x)m„,=m-2,由log/"...机-2得％log1.

对照四个选项，可以选:ABC.

故答案为：ABC

三、填空题

13.若a是钝角，sin（兀一a）=；,则tana=.

【答案】一跖一上屈

1515

【分析】由诱导公式求得sina,再由同角关系式求得tanc.

【详解】sin（兀一a）=sina=；,

因为。是钝角，所以cosa=-，1-sin?a,tana=S^naV15

4cosa

故答案为：_她.

15

3

14.已知半径为3的扇形面积为万万，则这个扇形的圆心角为.

TT

【答案】y

【解析】由扇形的面积公式直接求解.

【详解】由扇形面积公式S==•/，

_3几

可得圆心角2sz2万，

a=—=——=—

r2323

故答案为：y.

【点睛】（1）在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷.

（2）求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于a的不等式或利用二次函数

求最值的方法确定相应最值.

15.设二次函数/（》）="滔+2x+〃（加，«eR）的值域是［0,+8）,则工+^的最小值是

mn

【答案】2

【分析】结合二次函数图象，由值域为［0,+e）,求得加>0,机〃=1,再由基本不等式求解即可.

【详解】当二次函数/（x）=，nx2+2x+〃的图象开口向上，且与x轴有且只有一个交点时，其值域

为［0,+8）,

（加>o

・•・〈人7//A八，・•・=1,加>0,〃>0.

［A=2"—4mn=4—4mn=0

•••由基本不等式，-+->2.^=2,

mn\mn

当且仅当阳=/?=1时等号成立.

.•・工+’的最小值是2.

mn

故答案为：2.

12v-l|,x<0

16.已知函数/（、）=11，若方程/（x）-左二0有3个实数根，则实数%的取值范围是

x--2x+l,x>0

【答案】（0,1）

【分析】将问题转化为/(•。与'=及有3个交点，根据分段函数解析式确定“X)的区间性质，结合

函数图象判断交点情况，进而求人的范围.

【详解】由题意，方程〃x)-k=O有3个实数根，即为八幻与夕=左有3个交点，

由，(x)的解析式知:当x＜0时，由x)e(O,l)；当,。0时,对称轴为x=l且〃x)€[0,+oo)；图象如

.•・当且仅当0＜々＜1时，/(x)与＞=左有3个交点，即/(x)—左=0有3个实根.

故答案为：(0,1)

【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确

定参数的范围.

四、解答题

⑴计算际L0).

17.♦

(2)若x晦4=1,求4*+4的值.

【答案】(1)1；(2)—

【分析】(1)化成同底数指数基的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.

(2)通过方程求出x的值，代入表达式即可.

I1I

2311151

【详解】(1)原式="丁丁="一十丁7.7=m0=1.

，m4

(2)vxlog34=l,

1।、

=-------=1og3,

log,44

4'+41=4豚八+4'log43=3+4%叮=3+-=—.

33

18.已知集合4=卜，-2办+/-440},8={幻-1＜》＜2}.

⑴若。=3,求力uB；

(2)若“x£A”是“xe8”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1”U8={X|-1<X45}

⑵[0」

【分析】(1)由已知确定集合A,再根据集合的并集运算即可；

(2)若“xeN”是“xe8”的必要不充分条件，则8是/的真子集，列不等式求解，即可得实数〃

的取值范围.

【详解】(1)解：若。=3,则4={X|X2-6X+540}={X|14X45},又8={X|-1<X<2}

所以Zu8={x|-l<x45}；

(2)解：A=^x\x2-lax+a2—4<o|=1x|a-2<x<a+2},

因为“xe是“xe8”的必要不充分条件，所以5是N的真子集，

所以解得0«。41，所以实数。的取值范围是[0』].

[a+2>2

fj

19.已知函数/(x)=—cos2x+sinxcosx+l.

⑴求/(x)的最小正周期和单调递增区间；

jr冗

(2)当xe时,求/(力的最大值和最小值.

54TT

【答案】⑴乃，囱"而+五1(4♦Z)；

(2)最大值2,最小值

【分析】(1)利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数/(力，再利用正弦函数的性质求解作答.

(2)在给定条件下求出(1)中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答.

【详解】(1)依题意，/(x)=gsin2x+*cos2x+l=sin(2x+q)+l,则/(x)的最小正周期

_2万

T=--=7T,

2

由2k兀-y<2x+y<2k7i+/(攵eZ),得女乃一言4xW”乃+•^■(4wZ),

所以/⑺的单调递增区间是［氏-1|,丘+自(G).

(2)由(1)知，/(x)=sinf2x+—^+1,由xw~~7>~7，得2x+ge

I3)1_44」3|_66

当2x+q=q,即》="时，〃x)有最大值/倍］=1+1=2,

当2x+q=q时，即x=_(时，/(x)有最小值=+1

20.已知函数〃x)=lng差，其中加>0且/(1)+/(-1)=0.

(1)求机的值并写出函数的解析式；

(2)判断并证明函数/(x)的奇偶性；

(3)己知/(x)在定义域上是单调递减函数，求使/(x)<ln3的x的取值范围.

【答案】(1)机=1,/(x)=ln|^

(2)奇函数，证明见解析

(3)XS(-1,2)

【分析】⑴由/⑴+/(-1)=0求解即可;

(2)由函数奇偶性的定义判断并证明即可;

2-(-1),、

(3)由ln3=In^亡a=/(一1)，结合函数单调性求解即可.

【详解】(1)由已知，/(1)+/(-l)=ln^y+ln^^=ln^^+ln(2+w)=ln^^-=0,

4—ni~

.-----=1,解得m=7(舍)或加=1,

.•.〃力士

(2)/(可为奇函数，证明如下:

=.•.由三>0即(2-x乂2+x)>0,解得-2<x<2,

2+x2+x

••J(x)的定义域为(-2,2),

VXG(-2,2),都有-x«-2,2),

且〃x)+〃r)=ln芸+ln|^喏蓝::卜lnl=0,即〃川=-/(江

.•・函数〃X)是定义在(-2,2)上的奇函数.

(3)•••/(X)在定义域上单调递减，/(x)=ln1^<ln3=ln；'?=

Z+X2+(—11

・•・解得x>T,

又「/(x)的定义域为(-2,2),

・•.x的取值范围是(-1,2).

21.某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每

生产x万册，需要生产成本C(x)万元，若生产量低于20万册，C(x)=f+20x：若生产量不低于

20万册，C(x)=54x+型独-500.上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册

X

能全部售出.

(1)设总利润为F万元，求函数y=/(x)的解析式(利润=销售额-成本)；

(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值.

-x2+30x,0<x<20

【答案】(l)/(x)=2500.、”

500-(4x+------),x220

.x

(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元

【分析】(1)按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数y=/(x)的解析式;

(2)分段求得函数/(0的最大值，二者中较大者为最大总利润.

【详解】(1)当0<x<20时，/(x)=50x-(x2+20x)=-x2+30x

当x220时，/(x)=50x-(54x+-500)=500-(4x+

XX

-x2+30x,0<x<20

所以/(x)=〈500-(4x+^^),x>20

X

(2)当0<x<20时，/(x)=-x2+30x=-(x-15)2+225

当x=I5时，〃x)取得最大值为225