第4章 正弦交流电路教材

确定不同参数和不同结构的各种正弦交流电路中电压和电流的关系以及功率。建立“交流”的概念。第4章正弦交流电路正弦交流电路含有正弦电源（激励）而且电路各部分所产生的电压和电流（响应）均按正弦规律变化的电路。目的和任务关键参考方向：正半周时的方向。

负半周时，参考方向与实际方向相反。

正半周时，参考方向与实际方向相同。2.实际方向：电压实际方向用“+”“-”表示。电流实际方向用虚线表示。0i,ut+_uiR正半周§4.1正弦电压和电流正弦电压和电流的方向uiR负半周3.正弦电压和电流等物理量统称为正弦量一、频率与周期周期：正弦量变化一次所需要的时间。记为T，常用单位：秒。频率：每秒内变化的次数。记为f，单位：赫兹（Hz）角频率：每秒内经历的弧度数，记为ω，单位：弧度/秒（rad/s）正弦量三要素：频率(周期)——变化快慢幅值(有效值)——正弦量大小初相位——正弦量初始值正弦量在任一瞬间的值称为瞬时值，用小写字母表示，如e、i、u分别表示电动势、电流和电压的瞬时值。瞬时值中最大的值称为幅值或最大值，如Em、Im、Um分别表示电动势、电流和电压的幅值。正弦交流量的数学表达式为：a=Amsin(

t+ψ

)二、幅值与有效值有效值是从电流的热效应来规定的：在同一周期时间内，正弦交流电流i和直流电流I对同一电阻具有相同的热效应，就用I表示i的有效值。注意：该式只适用于周期量，不适用于非周期量。i=Imsin(

t)u=Umsin(

t)正弦量是随时间变化的，选取不同的计时零点，正弦量的初始值就不同。为加以区分引入相位及初相位的物理量。0it+_正弦电流的一般表达式为其中(

t+

)为正弦电流的相位，

称为初相位。两个同频率正弦量的相位比较：对于三、初相位定义

=(

1–

2)为相位差或初相差。正弦交流电的广泛应用，是因为其电力的产生、传输和变换既方便快捷又灵活简单，不仅电阻电路中的响应为正弦量，也在电感及电容电路中为正弦量响应。当

=(

1–

2)>0

时，称u

比i

超前

角；当

=(

1–

2)<0

时，称u

比i

滞后

角；当

=(

1–

2)=0

时，称u

与i

同相。当

=(

1–

2)=180°

时，称u

与i

反相(相位相反)，或相差180°对于在复数平面建立直角坐标系OX为实轴、OY为虚轴。设在复平面上一复数A(a,b)在直角坐标系上可表示为jyx0AabA=a+jb用极坐标系则表示为A=r/

变换关系为：或：§4.2正弦量的相量表示法一、复数jyx0Aab

A=r(cos

+jsin

)考虑欧拉公式：可改写为：A=re

j

或简记为：A=r

由此可得到复数的三种表示法，即直角坐标式、指数式及极坐标式，三者可以互换。其中直角坐标式便于进行加减运算、指数式及

极坐标式便于进行乘除运算。A=a+jb为了与一般的复数相区别，把表示正弦量的复数称为相量，表示方法是在大写字母上打“.”或(幅值电压相量)(有效值电压相量)正弦量u=Umsin(

t+

)的相量式为：由幅值（或有效值）和初相位确定注意：相量只能表示正弦量，不等于正弦量。二、相量Why按照各个正弦量的大小和相位关系画出的若干个相量的图形，称为相量图。注意：只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上，不同频率的正弦量不能画在一个相量图上，否则无法比较和计算。三、相量图jyx0j=ej90°

j×j=j2=ej90°×ej90°=ej180°=–1

oxjyjj2–1–jj3j41同理及由此，可认为虚单位j是复平面上角度为90°的旋转因子。乘以j是向逆时针旋转90°；乘以(-j)是向顺时针方向旋转90°。即j—虚部单位例4.2.1

对如图电路，设试求总电流i。解：ii1i2由KCL求i的相量则有如图，选择电流和电压的参考方向。根据欧姆定律可得Riu或即电阻端电压与其电流成正比。若设则显然或§4.3单一参数的交流电路一、电阻元件的交流电路用相量表示比较上面，可知交流电路中的电阻，其电流和电压相位相同。这就是相量形式的欧姆定律。也可写成或或且或或电阻的瞬时功率为瞬时功率是在一个直流分量UI的基础上，另加一个幅值为UI的正弦量。但总有p

0。电阻在交流电路中的功率特性(1)瞬时功率在任意瞬时，电压瞬时值u与电流瞬时值

i的乘积，称为瞬时功率，用字母p表示。交流电路中电阻元件的平均功率为例一100

电阻接入50Hz、有效值为10V的电源上，问电流是多少？若频率改为5000Hz呢？因电阻与频率无关，所以(2)平均功率在一个周期内，电路消耗电能的平均速率，即瞬时功率的平均值，称为平均功率。iueLL当线圈中有电流i通过时，产生自感电动势eL。应用基尔霍夫定律可列出方程：当设电流为参考相量时则电感端电压为L—电感，单位：亨利(H)二、电感元件的交流电路计算得u

2

t写成相量，有比较上面，在电感元件电路中，相位上电压比电流超前90

(相位差=+90)。前已导出及其中由前两式得其中称为感抗。其值（大小）与频率和感抗值成正比。电感电路相量形式的欧姆定律称为复感抗。

注意：感抗只是电压与电流幅值或有效值之比，而非瞬时值之比，因为电压与电流非线性关系，是导数关系。分析计算交流电路时，选择电压或电流作为参考相量均可。电感上电压与电流的相量关系图对电感的分析由XL=ωL，电感线圈对高频信号(f很大)阻碍作用很大，对直流(f=0)可视为短路。由电感元件的电压和电流的变化规律，可知电感元件瞬时功率的变化规律为：可见，p是以幅值为UI、角频率为2t变化的交变量。当u与

i的瞬时值为同号时，p0，电感元件取用功率(为负载)，磁能增加；当u与

i的瞬时值为同号时，p0，电感元件发出功率(相当于电源)，电感元件的磁能减少。电感电路的功率计算可见，电感元件在电路中没有能量损耗，只与电源间进行能量交换。这种能量交换的规模，用无功功率Q来衡量。即电感元件的平均功率为零。无功功率的单位是乏(Var)或千乏(kVar)。规定无功功率为瞬时功率p的幅值UI，即为加以区别平均功率亦称为有功功率。电感元件平均功率为iuC根据电磁学理论，电压变化时，电容器极板上的电荷量也要发生变化，在电路中要引起电流如果电容器加正弦电压则三、电容元件的交流电路

电容元件电路中，电压幅值（或有效值）与电流幅值（或有效值）之比称为容抗，用XC表示：

容抗与f、C成反比，故电容元件对高频电流(f很大)呈现的阻碍效果很小，对直流(f=0)呈现的阻碍很大，所以电流的作用是隔直通交。

电容元件中，在相位上电流比电压超前900i

2及并考虑可得或电容电路相量形式的欧姆定律电压与电流的相量表示关系根据电压电流瞬时值电容电路的瞬时功率为电容电路的平均功率为电容元件的功率特性为与电感元件的无功功率进行比较，定义电容元件的电流及电压瞬时值分别为：和得瞬时功率为由此可见，电容元件的无功功率如此规定，电容性无功功率要取负值。电容元件的无功功率

电阻R电感电容参考电压电流相量关系瞬时功率平均功率无功功率

相位关系

无同相电压超前电流超前电阻、电感和电容在交流电路中的电特性iuuLLuRuCRCLRC§4.4电阻、电感与电容元件串联的交流电路一、电流与电压的关系——电路的阻抗单位：欧姆；对电流起阻碍作用电压与电流相位之差阻抗模幅角阻抗Z的实部为“阻”，虚部为“抗”，它表示了电路的电压与电流之间的大小关系（阻抗模），又表示了它们之间的相位关系（辐角）。若以电流为参考相量，则若以电压为参考相量，则阻抗模幅角

XL>XC，则，电路呈电感性，电压超前电流。

XL<XC，则，电路呈电容性，电流超前电压。

XL=XC，则，电路呈电阻性，电压电流同相。电路参数决定电路性质设以电流为参考相量平均功率功率消耗主要由电阻R引起。瞬时功率相量图功率因数视在功率电压与电流有效值之积单位：伏·安(V·A)或千伏·安(kV·A)平均功率P、无功功率Q、视在功率S，意义不同，以不同单位区分。无功功率阻抗三角形电压三角形三种功率的关系求:(1)电路的感抗、容抗和阻抗大小；

(2)电流有效值及瞬时值的表达式；

(3)各部分电压有效值及瞬时值的表达式；

(4)作相量图；

(5)电路的功率P和Q。例4.4.2RLC串联电路，已知R=30,L=127mH,C=40F,

电源电压u=220(sin314t+20º)V解：(1)

感抗容抗阻抗(2)

电流有效值相位差角电流瞬时值(3)电阻端电压电感端电压电容端电压(4)相量图如右所示：20º(5)电路的功率电路的无功功率视在功率显然：只有：电压相量复数阻抗电流相量R、L、C的电压相量相量法Ci＋＋＋－－－R解：例4.4.2

有一如图所示RC电路，R=2KΩ，C=0.1uF。输入端接正弦信号源，U1=1V，f＝500Hz。（1）试求输出电压U2，并讨论输出电压与输入电压间的大小与相位关系；（2）当将电容C改为20uF时求（1）中各项；（3）将频率改为4000Hz时，再求（1）中各项。(2)C=20uF(3)f=4000Hz(1)此图为晶体管交流放大器中常用的RC耦合电路。串联电容C的目的是为了隔断直流。在传递交流信号时，又不希望电容C上有电压损失（电压降）而要求输入电压基本上能传递到输出端。因此，要根据信号频率选择电容值的大小，使XC<<R。(2)此图也是一种移相电路，U2的相位与U1不同，改变C或R的数值都能达到移相的目的。(3)输出电压的大小和相位随着信号频率的不同而发生变化。这是因为频率越高，容抗越小，电容C的分压作用也就越小。说明Z1Z2Z§4.5阻抗的串联与并联一、阻抗的串联注意：一般情况下即结论：通常：对于XK，感抗XL取正号，对于容抗KC取负号。分压公式和阻抗模阻抗幅角Z1Z2+-Z+-分流关系：二、阻抗的并联和在具有电容和电感元件的电路中，如果调节电路的参数或电源的频率，使电路两端的电压和流过的电流同相，这时电路中出现谐振现象。1.串联谐振iuLRC§4.7交流电路的频率特性谐振电路电源电压和电路中电流同相，此时电路发生谐振，称为串联谐振。由得谐振频率：调节电路参数L，C或电源频率f，都可使电路发生谐振。当XL=XC时(1)

电路的阻抗模为最小值。电路的电流为最大值。(2)谐振电路呈现电阻性。电源供给电路的能量全部被电阻所消耗，电源不与电路进行能量互换，能量的互换只发生在电感线圈和电容器之间。串联谐振的特性(3)由于XL=XC

，于是UL=UC

。而与在相位上相反，互相抵消，对整个电路不起作用。因此电源电压U

=UR

，且相位也相同。但是，UL和UC的单独作用不可忽视，因为及当时，UL和UC都高于U。危害：UC过高击穿电容。应用：利用谐振，对所需频率信号进行放大，抑制其他信号。品质因数串联电路谐振时，电容或电感端电压与电源电压的比值称为电路的品质因数，用Q表示收音机的调谐接收电路L1LCLCe3e1e2f3f1f2谐振选频的说明0.707I0I0f1

f0f2fI0I0f1

f0f0fQ大Q小通频带RLCuiiCi1通常线圈电阻很小，谐振时一般有

L>>R，则上式为上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为2、并联谐振电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为(1)谐振时电路的阻抗为最大值谐振电流有最小值(2)

电路的总电压与电流相位相同(=0)，呈现电阻性。(3)各并联支路电流为及并联谐振的特性并联谐振电路的品质因数谐振时，支路电流IC或I1是总电流I0的Q倍，即谐振时，电路的阻抗模是支路阻抗模的Q倍。I0f1

f0f0fQ大Q小L、C值不变时，R越小，Q越大，阻抗模|Z0|越大，谐振曲线越尖锐，选择性越强。>>故此，并联谐振也称电流谐振。直流电路：P=UI，电源提供的功率都被消耗掉，

利用率100%交流电路：P=UIcosψ，电源提供的功率部分被利用，余下部分用于能量交换，即

无功功率，利用率不到100%上式中的cos

是电路中的功率因数。其大小决定于电路（负载）的参数。对纯阻负载功率因数为1。对其他负载来说，其功率因数均介于0和1之间。§4.8功率因数的提高一、提高功率因数的意义(1)

发电设备的容量不能充分利用：发出的能量只有有功功率部分被利用。P=UNINcos

例如：一台容量为1000VA（视在功率）的发电机，如果cos

=1，则能发出1000W的有功功率。

当电压与电流之间的相位差不为0时，即功率因数不等于1时，电路与电源之间就会发生能量互换，出现无功功率Q=UIsin

。这样就引起了下面两个问题：在发电机电压U和功率P一定时，现接上电容，则功率因数降为cos

=0.6，此时只能接100W的白炽灯6盏D100W10盏100V10A6盏(2)增加了线路和发电机绕组的功率损耗：线路和发电机绕组上的功率损耗△P则与功率因数的平方成反比式中的ｒ是发电机绕组和线路的电阻。由上述可知，提高电网的功率因数有着极为重要的意义。功率因数的提高，能使发电设备的容量得到充分利用，同时也能使电能得到大量节约。也就是说，在同样的发电设备的条件下能够多发电。提高功率因数的方法：并联静电电容器iuRLi1CiC

功率因数不高的根本原因在于：电路中存在电感性负载。由于

的存在，与的夹角即功率因数提高注意：功率因数提高，但有功功率未变。好处：(1)

无功功率降低，能量交换发生在L与C之间，不消耗电源的能量。(2)

电流减小，损耗降低。并联电容后，线电流例：

有一电感性负载，其功率P=10KW，功率因数cos

1=0.6，接在U=220V的电源上，电源频率为50HZ。如要将功率因数提高到cos=0.95，应并联多大的电容？电容并联前后的线路电流是多大？cos

1=0.6，即1=53ocos=0.95，即=18o并联前电流并联后电流cos=1，即=0o矩形波电压锯齿波电压§4.9非正弦周期电压和电流几种典型非正弦周期信号三角波电压全波整流电压几种典型非正弦周期信号一个非正弦周期函数，角频率为，只要满足狄里赫利条件，都可分解为下列傅立叶级数：式中，是不随时间而变的常数，称为恒定分量或直流分量，也就是一个周期内的平均值；一、非正弦周期电压和电流第二项的频率与非正弦周期函数的频率相同，称为基波或一次谐波；其余各项的频率为周期函数的整数倍，称为高次谐波。例如，k＝2，3，……的各项，分别称为二次谐波、三次谐波等等。矩形波电压锯齿形波电压三角形波电压全波整流电压几种常见非正弦周期信号的傅立叶级数其中,各为基波、二次谐波等的有效值。同理，非正弦周期电压u的有效值为：利用电流有效值定义o10解：平均值有效值例：如图所示是一可控半波整流电压的波形，在π/3~π之间是正弦波，求其平均值和有效值。设非正弦周期电压和非正弦周期电流如下：则有平均功率：二、非正弦周期信号的功率结论：非正弦周期电流电路中的平均功率等于恒定分量和各正弦谐波分量的平均功率之和。为了便于分析和计算，将非正弦周期电压和电流用等效正弦电压和电流代替。等效条件等效正弦量的有效值等于已知非正弦周期量的有效值；等效正弦量的频率等于已知非正弦周期量基波的频率；等效后的功率等于电路的实际功率。三、等效正弦电压和电流P是非正弦周期电流电路的平均功率，U和I是非正弦周