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文档简介
2023-2024学年上海市松江区高一下册期中数学质量检测模拟试题
一、填空题
4
1.设m为实数,点P(,〃,4)为角α的终边上一点,且Sina=W,贝IJm=.
【正确答案】±3
【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解.
44
【详解】解:点P(〃?,4)为角α的终边上一点,且Sina=∣?g=三,
√w+43
・'•解得〃7=±3.
故土3.
兀
2.已知∣“I=3,g|=4,5]〉=2?,则人在。方向上的投影为.
【正确答案】-2
【分析】直接根据向量的投影公式计算得到答案.
【详解】b在d方向上的投影为WeoS,&=4x(-g)=-2.
故-2
3.把函数y=sin(2x-^|图象上每一个点的横坐标变为原来2倍,纵坐标不变,则所得图象的函数解
析式为.
【正确答案】y=sin(x-j
【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式.
【详解】将函数y=sin(2x-∙^)图象上每一个点的横坐标变为原来2倍,纵坐标不变,
所得图象的函数解析式为y=sin"χx~)=Sin(T).
故答案为.y=sin(x-.]
4.若SinC贝IJCOS0+α)=.
【正确答案】一
【分析】由已知结合三角函数的诱导公式求解cos(苧+4)的值.
4
【详解】解:sin(ɪ-ɑ)=1,
43
/5乃、.7t∕7t、
.∙.cos(—+0)=cosr[æ+(―+a)]=-cos(-+0)=-cos
444
故T
5.设向量aS满足Ial=2,|切=3,〈。力〉=TT;,则∣2α-切=
【正确答案】√B
【分析】根据向量的数量积公式计算|2。-6|2=(2。-6『=13,得到答案.
U详解】|2a-Z?『=(2d-6)=4a-4a∙b+b=16-4×2×3cos∙^+9=13,
故12α-X=JTL
故答案为.TiI
6.若函数/(x)="sinx+cosx的图像关于直线x=;对称,则&=_________.
6
【正确答案】息
3
【分析】由题知/(v)=±√^w,进而解方程即可得答案.
【详解】解:因为函数/(x)=βsinr+cos0:的图像关于直线X=J对称,
所以函数/(x)=αsiιu+cosx在x=g时取得最值,
O
所以,结合辅助角公式得:∕W=±√77T,即l∙α+3=±GTT,
16;22
整理得:3a2-+1=^∖∣3a-1j=0♦解得4=
故在
3
7.函数y=-cos2X-SinX的值域为.
【正确答案】[-ɔl
_4_
【分析】设SinC=r,则函数化成),=-(l-∕)τ,其中fef-l,ɪ].然后根据二次函数在闭区间上的最
值,即可求出函数的值域.
【详解】解:设Sina=f,则以《2£=1—产,
.∙.y=-cos2a-sina=-(∖-t2)-t=(t--)2--
f=sinx∈[-1,1]
,当t=-g时,>',ni,,=-|;当1=一1时,‰=ι;
因此,函数N=-COS^a-Sina的值域是
故V,∣].
4
8.若sin。、CoSe是关于X的方程f一以+〃=0的两个根,则“=.
【正确答案】
【分析】先通过根与系数的关系得到SinaCOSe的关系,再通过同角三角函数的基本关系即可解得.
Δ=a2-4a>0
【详解】由题意:`sin0+cosθ=a,所以4≥4或a≤0,且Sine+cos。=SineCos。,
SineCOSe=〃
所以(Sin,+cosO)?=(SineCos=>l+2sinOcos,=(SineCoS,BPa2-2«-1=O,因为α≥4或
α≤0,所以”=1-∖∣2-
故答案为.1-√Σ
9.赵爽是我国古代数学家、天文学家,约公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾
股圆方程''亦称“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的个大正方形,如图
是一张弦图已知大正方形的面积为25,小正方形的面积为1,若直角三角形较小的锐角为。,则
【分析】结合已知条件设直角三角形两直角边分别为X、x+l,由勾股定理求出X的值,进而可得tan。
的值,由两角差的正切公式即可求解.
【详解】设直角三角形的较小的直角边为X,则较长的直角边为x+l,
因为大正方形的面积为25,所以有正方形的边长为5,
每一个直角三角形中由勾股定理可得:X2+(X+1)2=25,
即/+x-12=0,解得x=3或X=Y(舍),
直角三角形较小的锐角为α,
X3
可得tanα=-----=—,
x+14
兀3
/、tana-tan———1ɪ.
所以tan[ɑ-^]=---------------ʒ-ɪʌ—=---
I4)πɔ.7
17ɪ1÷tanatan—l1+-×l
44
故答案为・
TTX
10.已知函数y=sin号在区间[O,a上至少取得2次最大值,则正整数f的最小值是
【正确答案】8
jrχST15
【分析】由函数y=sin胃,求得最小正周期为7=6,得到?=根据函数在区间[0,H上至少取
得2次最大值,结合图象得f≥^,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,函数y=sin?,可知最小正周期为T=至=6,可得"=V
3w42
又由函数y=Sin曾TTY在区间[0,〃上至少取得2次最大值,
如图所示,则满足此蓝,又因为reN+,所以正整数f的最小值为8.
本题主要考查了三角函数图象与性质的应用,其中解答中熟记三角函数的图象与性质,结合图象得到
实数r满足的不等关系式是解答的关键,着重考查了数形结合思想,以及推理与运算能力,属于基础
题.
11.对于函数y=∕(x),其中/(x)=αsin2x+btanx+3.若/(-2)=1,则/(π+2)=
【正确答案】5
【分析】代入计算得至IJaSin4+"an2=2,再计•算/(π+2)=θsin4+Aan2+3,得到答案.
【详解】f(-2)="sin(T)+btan(-2)+3=-αsin4-6tan2+3=l,故αsin4+∕∏an2=2,
/(π+2)=αsin2(π+2)+btan(π+2)+3=αsin4+⅛tan2+3=5.
故5
12.函数y=2sin(5+?J在区间(万,2万)内不存在零点,则正实数0的取值范围是.
【正确答案】[o,ɪ][∣,⅛
【分析】由题意利用正弦函数的零点,可得2wr+g,5,或防+2”,2防+J,,2万,由此求得正实
OOO
数0的取值范围.
【详解】解:函数y=2sin(ox+J)在区间(肛2玻内不存在零点且。>(),所以工≥2万一万,即二≥2),
62ω
所以O<0≤l,
π_π\
因为xw("),所以Feωπ+-,2ωπ-,r-,
66)
π
ωπ+-..JF
6解得口工4或∙∣≤G≤二,
2ωπ+~,,4或,
6"612
2ωπ+—„2π
6
因为。>0,所以。VG≤:■或一≤ty≤—,
12612
故正实数0的取值范围为(0,白]号2
I12JL612」
二、单选题
17
13.设XeR,则'飞布犬=一'’是"8$2%=—”的()
39
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用二倍角公式及充分条件必要条件的概念即得.
71
【详解】由COS2x=l-2si∏2χ=-,可得SinX=±—,
93
1771
所以由SinX=-可推出COS2x=—,而由CoS2x=—推不出SinX=-,
3993
17
所以“SinX=§”是“cosIx=-"的充分不必要条件.
故选:A.
14.下列等式中不恒成立的是()
A.a`b-baB.λa`b—a∙{λb)
C.(tz∙⅛)2=a2∙b2D.∣β∣2-∣⅛∣2=(6f+⅛)∙(6Z-⅛)
【正确答案】C
【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的运算律,准确化简,即可求解。
【详解】由题意,根据向量的数量积的运算公式,可得荽=口WosGMK=I4口3(剂,所
以a∙b=b∙a是正确;
Il11
根据向量的数量积的运算律,可得4α∙%=α∙(2%)是正确;
由向量的数量积的运算公式,可得(a))?=W∙Wcos2(",",J=W池2,所以不恒成立;
由(α+b)∙(α-6)=J+)=∣α∣2-向2,所以是正确的。
故选:Co
本题主要考查了向量的数量积的运算公式及其运算律的应用,其中解答中熟记向量的数量积的运算公
式和运算律是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。
15.在/ABC中,sin2A≤sin2β+sin2C-sinBsinC.则,∙∕的取值范围是()
JTJtJTJT
A.(0,—]B.[―,乃)C.(0,1]D.[一,n)
6633
【正确答案】C
【详解】试题分析:
,2221
由于si/AWsin?B+si∏2C-sin3sinC,根据正弦定理可知4WA?+/一历,故COSA=——.....—≥—.又
2bc2
AG(OM),则A的范围为(Og.故本题正确答案为C.
三角形中正余弦定理的运用.
ha≤h
16.定义运算:a*b=∖,,对于函数/(χ)和g(x),把函数l∕(x)-g(x)l在闭区间3,勿上的最大
aa>b
inc
值称为F(X)与g(x)在闭区间3句上的“绝对差”,记为"金”(x),g(x)),则OSAS.(SX*°sχ,D=
A.I-也B.qC.1D.1+也
222
【正确答案】A
根据题意将M^/sinx*CoSX,1)写成分段函数的形式,再分段讨论求解即可.
COSΛ,0≤X≤-I-CoSX,0≤x≤?
【详解】由题意冼化简SinX*cosx=,,则卜inX*cos工一”=<
πππ
smx,-<x≤-1-sinx-<x<,4—
42942
⅛0<∣sinx*Cosx-11≤Δ(sinx*cosx,l)=
112o≤χ≤o∙5ι2
故Y
本题主要考查了新定义与三角函数值域的问题,需要根据题意分段讨论三角函数的范围,再根据新定义
的问题进行分析即可.属于中等题型.
三、解答题
17.已知向量〃、6是同一平面内的两个向量,其中∣4∣=石.
(1)若|。I=正,且α+b与〃垂直,求4与〃的夹角
2
(2)若|匕I=J向量C满足G+b+3=O,且Iel=JΣ,求G∙A+/?∙c+c∙α的值.
【正确答案】(I)TE
⑵一5
【分析】(1)根据垂直得到(。+。”=1。5。+:=0,得到答案.
(2)计算(4+b+c)2=O得至∣J5+3+2+2(α∙b+b∙c+c∙α)=0,得到答案.
【详解】(1)α+人与〃垂直,贝∣J(4+/?)•〃=02+b=pz∣,∣^∣cos0+∣⅛∣=—cos0+-=0,
故COSe=—J,^∈[o,π],故
(2)&+/?+C=0,故(〃+〃+c,=0,BPtZ2÷⅛2+c2+2(67•/?+/?∙c+d∙^)=0,
即5+3+2+2(a•/?+/?∙c'+Go)=。,故Q∕+8∙C+C∙Q=-5.
18.设函数/(x)=cos(2x+ɪ)+sin2X
(I)求函数/(X)的最小正周期;
TTTtI
(U)设函数g(x)对任意XeR,有g(x+])=g(x),且当xe[0,"时,g(x)=--∕(x);求函数g(x)
在[-肛0]上的解析式.
1.71
——sin2x(——≤%<0)
【正确答案】(DT=";(∏)g(x)={J2
—sin2x(-π<x<-—)
22
【详解】f(x)=-ɪcos(2x+∙^)+sin2x=~COS2x-ɪ∙sin2x+;(1-cos2x)=g-;sin2x
(I)函数∕*)的最小正周期T=夸="
πɪ1
(2)当X€[0,耳]时,g(x)=--f(x)=-sin2x
当XeI-?。]时,(%+/)e§虱力=式X+ɪ)ɪɪsin2(X+ɪ)ɪ-ɪsinIx
⅛x∈[-^∙,-y)时,(x+乃)e[θ,ɪ)g(x)=g(x+万)=ɪsin2(x+π)=gsin2x
-ɪsin2x(-—≤x≤0)
得:函数g(x)在[-%。]上的解析式为g*)={J2
—sin2x(-%≤x<
22
19.在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16日上午,高423米的东莞第一高
楼民盈•国贸中心2号楼(以下简称“国留中心’)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东
堇最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商
大厦高出134米,“在同学们的叹中,老师提出了问盈:国贸中心真有这么高我我们能否运用所学知
识测量脸证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
第一小组采用的是“两次测角法”,他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的
仰角为ɑ,正对国贸中心前进了S米后,到达B点,在8点测得国贸中心顶部的仰角为户,然后计算
出国贸中心的高度(如图1).
第二小组采用的是“镜面反射法”,在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心于同一水
平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:
①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为
《米;
②正对国贸中心,将镜子前移。米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为生米,然后计算出国
贸中心的高度(如图2).
实际操作中,第一小组测得s=310米,α=30。,夕=45。,最终算得国贸中心的高度为小;第二小组
测得4=1.45米,4=12米,%=l∙40米,最终算得国贸中心的高度为凡假设测量者的身高力都为1.60
米.
DP
图1图2
(1)请你用所学知识后两个小组完成计算(参考数据:√2≈1,4,√3≈1.7,结果保留整数);
(2)你认为哪个小组的方案更好?请说明理由.
【正确答案】⑴“产444;H2=417
(2)第一组方案更好,理由见解析
【分析】⑴根据三角函数知识得到"'=F~+'",根据相似得至IJ也=*-+33,代入数
a
tan-a-----t-a-n--βn∖~a,
据计算得到答案.
(2)第一组方案测量方法容易理解,普适性强,计算思路简洁,操作性强,故更好.
ACqCDCD
【详解】(1)第一小组:BC=-S=AC-BC=
tanatanβtantztanβ
CD=
故441
tanatanβ
H.^CD+h=~~~-——+A=4H-+l.60≈444
_J______L√3-ι
tanatanβ
第二小组:LMKEXPQE,EQ=PQ'KE-=^~^-
MKh
∕∖NTF∆PβF,FQ=PQTF=PQq
NTh
故EQ-FQ==故PQ=^-,
hha∖~a2
f,z12x16
⅛⅛2=PQ+33=---+33=--+33≈417.
"ι—"21.45—1.40
(2)第一组方案更好:
①:测量方法容易理解,普适性强;
②:计算思路简洁;
③:操作性强;
20.设函数y=f(x)定义域为£>,对于区间/U。,如果存在布与e/,X产々,使得/(Λ1)+∕(Λ2)=2,
则称区间/为函数y=/(X)的“P区间
⑴求证:(0,+8)是函数y=IgX的“P区间”;
⑵判断(-∞,+∞)是否是函数y=sin(x+雪)+3的“P区间”,并说明理由;
(3)设0为正实数,若[兀,2兀]是函数y=8S°x的“p区间”,求0的取值范围.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)不是,理由见解析
⑶<y∈{2}[3,-κo)
【分析】(1)取特殊值验证得到答案.
(2)根据三角函数的有界性得到g(xj+g(w)≥4,得到答案.
(3)代入计算得到区间[。,2例至少上有两个不同的偶数,考虑<υ=2,2<o<3,3≤<y<4,o≥4四
种情况,计算得到答案.
【详解】(1)y=∕(x)=lgx,取为=2,x2=50,则/(办)+/(々)=吆2+他5。=IgloO=2,
故(0,+8)是函数y=IgX的“P区间”;
(2)y=g(x)=sin(x+昌+3,
则g(x∣)+g(x2)=sin(x∣+^)+3+sin(x2+]j+32-4+3-1+3=4,
故(-00,+00)不是函数y=sin(x+∕)+3的“P区间”,
(3)y=Cos6t>x∈[-1,1],y=Λ(x)=Cos<yχ,
则⅛(Λ⅛)+A(x2)=cos6Λτl+cos叫=2,故c0s3χ∣=cosωx1=1,
fωx,=2k∖Tt
故〈ɔ,,k∖,lc1wZ,不妨设兀≤χ<%≤2兀,
∖ωx2=2κ2π
则πω<2⅛1π≤2πω,πω<2k2π≤2πω,故g≤2年<2k1<2ω,
即在区间[他2句至少上有两个不同的偶数,20-3≥2,即322,
当0
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