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文档简介
2022-2023高二下数学模拟试卷
请考生注意:
1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答
案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知“,"ceR,命题“若a+8+c=3,则23”的否命题是
A.若a+b+co3,则。2+。2+o2<3B.若a+/;+c=3,则/+。2+<?<3
C.若a+Z?+c/3,贝!1/+/+。223D.a+b+c>3,贝!|a+/?+c=3
2.若集合4={刀|一2<%«3},3={*|%〈一1或»4},则集合AcB=()
A.{x|x〈3期)4}B.{x|-l<x<3}
C.{x|3<x<4)D.{x|-2<x<-l}
3.已知随机变量X服从二项分布8(〃,,),若E(X)=50,D(X)=30,则〃,夕分别等于()
3223
A.n=100>P--B.n=100>p=-C.〃=125,p=—D.n—\25,p=—
5555
4.已知函数/(x)=x2—ar+Inx在区间(0,2)内既有极大值又有极小值,则实数”的取值范围是()
A.卜加mB.272,jjC.(272,8)D.[2垃,8)
5.已知/(X)为定义在(F,0)D(0,+8)上的奇函数,当x>()时,/(x)=x+i,则/(X)的值域为()
A.(-8,-2][2,+oo)B.[—2,2]
C.(-<»,-1].[1,+<»)D.[2,+oo)
6.已知单位向量。4,OB的夹角为60,若OC=2Q4+OB,则AABC为()
A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
3
7.准线为丫=--的抛物线标准方程是()
4
3,,3,
A.x2-3yB.y=--^x2C.x=3y2D.x=-^y2
8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,则满足怆(%2+2/)=怆(3力+怆3;的概率
为()
1111
A.-B.—C.-D.一
8432
9.执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为()
A.4B.5C.6D.7
10.设函数/(力=X一111(2%-1)的极小值为。,则下列判断正确的是
A.a=lB.0vavln2
C.a=\n2D.\n2<a<\
11.如图过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆(彳-1)2+:/=1于人、B、C、D,贝!=
A.4B.2C.1D.-
2
12.)
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数/(x)=e'—x,g(x)=x2一八+4,若对任意石e(-1,1),存在/w(3,4)则实数〃的取
值范围为.
14.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点6与椭圆的两个焦点瓦、尼组成的三角形的周长为
2乃
4+2百,且/片5舄=7,则椭圆的方程为.
15.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几
16.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他
人各参加1天,则不同的安排方法有种(结果用数值表示)
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元.此外,每生产1件这种产品还需要增加投入25万元.
经测算,市场对该产品的年需求量为500件,且当出售的这种产品的数量为,(单位:百件)时,销售所得的收入约
为5一父2(万元).
2
(1)若该公司这种产品的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量
的函数;
(2)当该公司的年产量x为多少时,当年所得利润最大?最大为多少?
18.(12分)如图,直三棱柱ABC-AB|G的底面为直角三角形,两直角边和AC的长分别为4和3,侧棱的
长为5.
(1)求三棱柱ABC—AAG的体积;
(2)设M是8c中点,求直线4"与平面ABC所成角的大小.
19.(12分)已知曲线C的极坐标方程是。=4cos9.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立
平面直角坐标系,直线/的参数方程是〈(,为参数).
y=,sina
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若直线/与曲线C相交于A、B两点,且|/止|=而,求直线,的倾斜角a的值.
20.(12分)已知过点A(0,2)的直线二与椭圆C:曰+二;=:交于P,Q两点.
(1)若直线一的斜率为k,求k的取值范围;
(2)若以PQ为直径的圆经过点E(b0),求直线二的方程.
22
21.(12分)已知椭圆C:二+1=1(。〉8>0)的上、下焦点分别为白,工,上焦点6到直线4x+3y+12=0的距
ab
离为3,椭圆。的离心率e=1.
(1)求椭圆C的方程;
(2)椭圆E:4+三=1,设过点M(O,1)斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点,试问),轴上是否存在点P,
a216b2
使得PM=4(潟+^^)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
22.(10分)设全体空间向量组成的集合为V,。=(4,4,%)为V中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,
“应变量”也是向量的“向量函数”/(X):/(X)=-X+2(X-«)6/(XGV).
(1)设“=(1,0,0),v=(0,0,1),若〃M)=U,求向量〃;
⑵对于V中的任意两个向量x,y,证明:=
(3)对于V中的任意单位向量x,求的最大值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
根据否命题的定义:即否定条件又否定结论,
命题“若a+b+c=3,则M+b2+c2N3”的否命题是
“若a+b+c#3,贝(Ja2+b2+c2<3M
故选A
2、D
【解析】
试题分析:解:AcB={x|-2<x<3}c{x|x〈-l如)4}={x|-2Kx<-l}
所以选D.
考点:集合的运算.
3、C
【解析】
分析:直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.
详解:随机变量X服从二项分布3(〃,P),若E(X)=50,O(X)=30,
f7279=5032
可得《cc,4=二,•二〃=1-4=二,〃=125.
npq=3055
故选:C.
点睛:本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.
4、A
【解析】
分析:先求导得到/"'(x)=2『一取+1,转化为方程g(x)=2f一批+i=o在(o,2)内有两个相异的实数根,再利
X
用根的分布来解答得解.
2
详解:由题得/'(x)=2x-a+±1=7Y—/7r4-1
XX
原命题等价于方程g(x)=2f-ar+l=0在(0,2)内有两个相异的实数根,
0<-<2
4
27—9
所以△=a--8>0,2及<a<3.故答案为:A.
g(0)=l>02
g⑴=8—2a+l>0
点睛:(1)本题主要考查导数的应用,考查导数探究函数的极值问题,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分
析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键,其一是转化为方程g(x)=2/-办+1=0在(0,2)内有两
个相异的实数根,其二是能准确找到方程g(x)=2d-"+1=0在(0,2)内有两个相异的实数根的等价不等式组,它
涉及到二次方程的根的分布问题.
5、A
【解析】
先用基本不等式求%>0时函数的值域,然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.
【详解】
当x>()时/(x)=x+:N2,(当且仅当x=l时取等号),
又一(力为奇函数,当x<0时,/(x)<-2,
则/(力的值域为(―,一2]。[2,+8).
故选:A.
【点睛】
本题考查函数奇偶性的应用,考查利用基本不等式求函数最值问题,属于基础题.
6、C
【解析】
OC=2OA+OB,:.BC=OC-OB=2OA,AC=OC-OA^OA+OB,
|fic|=2|OA|=2,AC2=OAj+OB2+2OAOB=3,.平。|=瓜OA与OB夹角为60,且
侬=|0.=1,二|阴=1,卜81+,。=|啊].儿480为直角三角形,故选C.
7、A
【解析】
准线为y=的抛物线标准方程是f=3y,选A.
8、B
【解析】
先化简lg(V+)=怆(3x)+1gy,得到x=y或x=2y.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.
【详解】
由f-3xy+2y2=(),有(x-y)(x-2>)=0,得x=V或x=2y,
Q1
则满足条件的(X,y)为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(2,1),(4,2),(6,3),所求概率为〃=弓=:.故
364
选B.
【点睛】
本小题主要考查对数运算,考查列举法求得古典概型概率有关问题,属于基础题.
9、A
【解析】
试题分析:模拟运算:;=0.5=C.S:10。成立
S-0-S-2°=l.k.=0+1=l,S=1<100成立
S=l+21=3.i=1+1=2,5=3<W)域立
$=3+22=7*=2+1=35=7<100成立
S=7+2%=15k=3+1=45=15<100成立
5=15+2*=31,«=4*1=5.5=31<100成立
S=15+2*=31,k=4>l=5,S=3I<10C成立
S=31+2*=63,k—5+1=6rs=63<10。成立
§=63+2*=127承=6+1=7.5=127<10坏成立,输出匕=7,故选D.
考点:程序框图.
10、D
【解析】
对函数“X)求导,利用ra)=o求得极值点,再检验是否为极小值点,从而求得极小值。的范围.
【详解】
22X-33时,/'(x)<0,当xe("|,+8
令"F上上=0,得尤=2,检验:当xe时,/(x)>0,
2x-l2
3
所以/(x)的极小值点为x=],所以/(X)的极小值为
33
。=/0='|-1112<〃1)=1,Xa_in2=|-in4=lny-*->e>2.7>16.Aa-ln2>lnl=0,
/.in2<a<1.选D.
【点睛】
本题考查利用导数判断单调性和极值的关系,属于中档题.
11、C
【解析】
2
根据抛物线的几何意义转化|A同=|A尸|-1=4,耳-l=x。,再通过直线过焦点可知即可得
到答案.
【详解】
抛物线焦点为尸(1,0),|/R|=|A同一1=4,|卬=|。司—1=%,,于是
2
\AB\-\CD\=XA-XD=^-=1,故选C.
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何意义,直线与抛物线的关系,意在考查学生的转化能力,计算能力及分析能力.
12、D
【解析】
取m=-2,〃=—3,则加>〃,但/=4,n2=9,m2<n2,故"〉n^im2>n2;取zn=-3,n=-2,则(—3/>(-2)',
但是根<〃,故机2>〃2石篦>〃,故“机>〃”是“加2>〃2,,的既不充分也不必要条件,选D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、[4,+oo)
【解析】
利用导数求函数/(x)在(-1,D上的最小值,把对任意(-1,1),存在X2W(3,4),f(xi)2g(x2)转化
为g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1有解.
【详解】
解:由/(x)="-x,得/'(X)-1,
当xe(-1,0)时,f(x)<0,当尤(0,1)时,f(x)>0,
:.f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,
(X)min=f(0)=1.
对任意xi€(-1>1)>存在X2W(3,4),f(xi)(X2),
即g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1,
函数g(x)=x2-bx+4的对称轴为X=y.
b
当^W3,即》近6时,g(x)在(3,4)上单调递增,g(x)>g(3)=13-36,
由13-3BW1,得力24,...4/8/6;
b
当一24,即力22时,g(x)在(3,4)上单调递减,g(x)>g(4)=20-4b,
2
19
由20-48/1,得—,;.b》2;
4
b(b\b2
当3<5<4,即6cb<2时,g(x)在(3,4)上先减后增,gWmin=I-I=4-y,
由4——<1,解得白,一26或》22出,:.6<b<2.
4
综上,实数5的取值范围为[4,+8).
故答案为:[4,+°°).
【点睛】
本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能
力,是中档题.
22
14、—+y2=1+x2=1
4.4
【解析】
先假设椭圆的焦点在x轴上,通过直角三角形△鸟。8推出a,c的关系,利用周长得到第二个关系,求出a,c然后
求出匕,求出椭圆的方程,最后考虑焦点在)'轴上的椭圆也成立,从而得到问题的答案.
【详解】
设椭圆的焦点在x轴上,长轴长为2a,焦距为2c,如图所示,
则在△工。8中,由/65。=?得:c=^a,
所以△尸2吕片的周长为2a+2c=2a+8a=4+2百,
「♦a=2,c—y/3,
z?2=1;
2
故所求椭圆的标准方程为二r+丁=1.
4
当椭圆的焦点落在)'轴上,同理可得方程为:£+f=i.
4
22
故答案为:二+/=]或匕+X2=1
44
【点睛】
本题考查椭圆标准方程的求法,要求先定位、再定量,考查运算求解能力,求解的关键是求出。,人的值,易错点是
没有判断焦点位置.
15、y
【解析】
几何体是一个圆柱,圆柱的底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,圆柱的全面积包括三部分,上下底面圆的面积
和侧面展开矩形的面积.
【详解】
由三视图知几何体是一个圆柱,
圆柱的底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,
故圆柱的全面积是:2x万(+2乃x,xl=网.
【点睛】
本题考查三视图和圆柱的表面积,关键在于由三视图还原几何体.
16、24
【解析】
首先安排甲,可知连续2天的情况共有4种,其余的人全排列,相乘得到结果.
【详解】
在5天里,连续2天的情况,一共有4种
剩下的3人全排列:A;
故一共有:4xA;=24种
【点睛】
本题考查基础的排列组合问题,解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素,要优先考虑,然后再考虑普通元素.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
12191c「
—X---x—,0<犬K5
242
17、(1)y=:;(2)当年产量为475件时,所得利润最大.
—x+12,犬>5
4
【解析】
分析:(1)利用销售额减去成本即可得到年利润>关于年产量的函数解析式
1191-
—x2H---x—,n0<x<5
242
;(2)分别利用二次函数的性质以及函数的单调性,求得两段函数值的取值范围,
1
—x+12,x>5
I4
从而可得结果.
详解:(1)由题意得:
2
5%-^-x1-0.5-0.25^,1191
0<x<5--X2d---X—,n0<X<5
242
=><
5x5-1x52j-0.5-0.25x,x>51,cu
—x+12,x>5
4
|Q
(2)当0<xW5时,函数对称轴为x=we(0,5],
优必_191_345
故当》时,^max=~
543345
当x>5时,函数单调递减,故y<—/+12=,<一,
4432
所以当年产量为475件时,所得利润最大.
点睛:本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动
向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透
题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数,构造分段函数时,做到分段合
理、不重不漏,分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).
18、(1)30;(2)arctan2.
【解析】
(1)根据体积公式直接计算;(2)说明NAM4就是直线AM与平面A8C所成角,再计算.
【详解】
(1)根据题意可知5»口0=3*4*3=6,
V-SMBC-M=6x5=30;
(2)连接期,
•■•MJ■平面ABC,
ZAMA就是直线AtM与平面ABC所成角,
ZVU5c是直角三角形,BC=5,且M是中点,
AM=-,
2
tanZAMA=迫=?=2
"AM5
2
直线4加与平面ABC所成角的大小arctan2.
【点睛】
本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角,意在考查基本概念和计算求解能力,属于简单题型.
19、(1)(x-2)-+y2=4;(2)a=工或生.
66
【解析】
(1)利用/=夕2,x=pcos0,y=psin。将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,利用直线/参数的几何意义表示出[45|,列方程求解即可.
【详解】
(1)由。=4cos8得夕?=42cos。.
Yx2+y2=p2,x=pcos0,y=psinff
曲线C的直角坐标方程为:x2+y2-4x=0,
即(x_2j+y2=4
X=1+/COS<Z.c
(2)将直线/的方程代入/+/-4%=0的方程,
j=/sina
化简为:尸—2.cose—3=0.(A8对应的参数为4和。2)
tx+t2=2cosa
故:<
卬2=-3
[AB]=卜]_芍|=+芍)~—4rA=J4cos2a+12=>/15
r.4cos2a=3,贝1cosa=±且•,
2
ae[0,%)
万—5zr
***a=7或h,
66
【点睛】
本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程参数的几何意义,圆的弦长问题的计算,考查了
学生的运算求解能力.
20、(1)-/,-;:u7:,+/;(2)二=C或二=-:□+;.
【解析】
试题分析:(1)由题意设出直线二的方程,联立直线方程与椭圆方程,化为关于X的一元二次方程后由判别式大于°求
得上的取值范围;(2)设出F。的坐标,利用根与系数的关系得到FQ的横坐标的和与积,结合以PQ为直径的圆经
过点‘:",由二三三二.一,求得"值,则直线二方程可求.
试题解析:(1)依题意,直线二的方程为二二二二一二,由二.二1,消去二得:二;+」,二.-二二二令
\一•=一.1▼.
二=.亡•解得或,所以'的取值范围是.Z
(2)当直线二的斜率不存在时,直线二的方程为二一则二二工二k一…此时以为直径的圆过点二:满足题
意.直线―的斜率存在时,设直线一的方程为一=二一・二二:二-匚.二,又斯以
咐晒)市⑴知,二)十二;产一羔工二厂治,所以
5^D^=(n/-/XE3-J)+n/n;=c/o3-(o/+c3)+;+(OD/+J)(nn2+2)
=(>+7)四口2+8-犯+35=等+g-0(-*+,=需
因为以P0直径的圆过点二S,所以二二二二,二0,即芸当=1,解得二=-;,满足二:4
故直线二的方程为二=-9二二•综上,所求直线二9的方程为二=,或二=-1一:.
考点:1.直线与椭圆的综合问题;2.韦达定理.
【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线位置关系的应用,体现了设而不求的解题思想方法,
是中档题,本题(D问主要是联立直线与椭圆方程,化成一元二次方程的判别式大于:求出;:的取值范围,(2)利用
二三二二=•「求出"值,进而求出直线方程,因此解决直线与圆锥曲线位置关系时应该熟练运用韦达定理解题.
「22
21、(1)乙+上=1.
43
pB
⑵存在点P(0,4)使得PM=/l(石元+一).
\PA\\PB\
【解析】
分析:(1)根据已知列方程组,解方程组即得椭圆的方程.(2)先假设存在P(Oj),再化简已知得到r=4,所以存在.
22
详解:(1)由已知椭圆C方程为5+*=1(。>方>0),设椭圆的焦点耳(O,c),
由k到直线4%+3丁+12=0的距离为3,得邑詈=3,
11
又椭圆C的离心率e=7,所以一c=二,又/=。2+。2,
2a2
求得“2=4,/=3.
22
椭圆C方程为匕+土=1.
43
y=Ax+1
22
⑵存在.理由如下:由⑴得椭圆E:亮+\=1,设直线AB的方程为>=区+1g0),联立,22
-X------+1--y-----_1
1164
消去>并整理得(4左2+1)丁+8丘-12=0.
A=(8^)2+4(4^2+1)X12=256/+48>0.
设A(X,X),B(与%),则为,石*2=-
^TK十14K十1
假设存在点P(o,。满足条件,由于尸加=/1品+湍,所以PM平分NAPB.
易知直线Q4与直线PB的倾斜角互补,.•.左期+=0.
XT%一
即与一+——。,即w(y
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