2023年陕西省兴平市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题(含解析)

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知“，"ceR,命题“若a+8+c=3,则23”的否命题是

A.若a+b+co3,则。2+。2+o2<3B.若a+/;+c=3,则/+。2+<?<3

C.若a+Z?+c/3,贝！1/+/+。223D.a+b+c>3,贝!|a+/?+c=3

2.若集合4={刀|一2<%«3},3={*|%〈一1或»4},则集合AcB=()

A.{x|x〈3期)4}B.{x|-l<x<3}

C.{x|3<x<4)D.{x|-2<x<-l}

3.已知随机变量X服从二项分布8(〃,，)，若E(X)=50,D(X)=30,则〃，夕分别等于()

3223

A.n=100>P--B.n=100>p=-C.〃=125,p=—D.n—\25,p=—

5555

4.已知函数/(x)=x2—ar+Inx在区间(0,2)内既有极大值又有极小值，则实数”的取值范围是()

A.卜加mB.272,jjC.（272,8）D.[2垃,8）

5.已知/（X）为定义在（F,0）D（0,+8）上的奇函数，当x>（）时，/（x）=x+i,则/（X）的值域为（）

A.（-8,-2][2,+oo）B.[—2,2]

C.（-<»,-1].[1,+<»）D.[2,+oo）

6.已知单位向量。4,OB的夹角为60,若OC=2Q4+OB，则AABC为（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

3

7.准线为丫=--的抛物线标准方程是（）

4

3,,3,

A.x2-3yB.y=--^x2C.x=3y2D.x=-^y2

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x,则满足怆（％2+2/）=怆（3力+怆3；的概率

为（）

1111

A.-B.—C.-D.一

8432

9.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值为()

A.4B.5C.6D.7

10.设函数/(力=X一111(2%-1)的极小值为。，则下列判断正确的是

A.a=lB.0vavln2

C.a=\n2D.\n2<a<\

11.如图过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆(彳-1)2+：/=1于人、B、C、D,贝!=

A.4B.2C.1D.-

2

12.)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数/(x)=e'—x,g(x)=x2一八+4,若对任意石e(-1,1),存在/w(3,4)则实数〃的取

值范围为.

14.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点6与椭圆的两个焦点瓦、尼组成的三角形的周长为

2乃

4+2百，且/片5舄=7，则椭圆的方程为.

15.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几

16.首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他

人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元.此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25万元.

经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为，（单位：百件）时，销售所得的收入约

为5一父2（万元）.

2

（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件），试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量

的函数；

（2）当该公司的年产量x为多少时，当年所得利润最大？最大为多少？

18.（12分）如图，直三棱柱ABC-AB|G的底面为直角三角形，两直角边和AC的长分别为4和3,侧棱的

长为5.

（1）求三棱柱ABC—AAG的体积；

（2）设M是8c中点，求直线4"与平面ABC所成角的大小.

19.（12分）已知曲线C的极坐标方程是。=4cos9.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立

平面直角坐标系，直线/的参数方程是〈（，为参数）.

y=，sina

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若直线/与曲线C相交于A、B两点,且|/止|=而，求直线，的倾斜角a的值.

20.(12分)已知过点A(0,2)的直线二与椭圆C：曰+二；=：交于P,Q两点.

(1)若直线一的斜率为k,求k的取值范围；

(2)若以PQ为直径的圆经过点E(b0),求直线二的方程.

22

21.(12分)已知椭圆C:二+1=1(。〉8>0)的上、下焦点分别为白，工，上焦点6到直线4x+3y+12=0的距

ab

离为3,椭圆。的离心率e=1.

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆E：4+三=1,设过点M(O,1)斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点，试问),轴上是否存在点P,

a216b2

使得PM=4(潟+^^)?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

22.(10分)设全体空间向量组成的集合为V,。=(4，4,%)为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量,

“应变量”也是向量的“向量函数”/(X):/(X)=-X+2(X-«)6/(XGV).

(1)设“=(1,0,0),v=(0,0,1),若〃M)=U,求向量〃；

⑵对于V中的任意两个向量x，y,证明：=

(3)对于V中的任意单位向量x，求的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据否命题的定义：即否定条件又否定结论，

命题“若a+b+c=3,则M+b2+c2N3”的否命题是

“若a+b+c#3,贝(Ja2+b2+c2<3M

故选A

2、D

【解析】

试题分析：解：AcB={x|-2<x<3}c{x|x〈-l如）4}={x|-2Kx<-l}

所以选D.

考点：集合的运算.

3、C

【解析】

分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.

详解：随机变量X服从二项分布3（〃,P）,若E（X）=50,O（X）=30,

f7279=5032

可得《cc，4=二，•二〃=1-4=二，〃=125.

npq=3055

故选：C.

点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力.

4、A

【解析】

分析：先求导得到/"'（x）=2『一取+1,转化为方程g（x）=2f一批+i=o在（o,2）内有两个相异的实数根，再利

X

用根的分布来解答得解.

2

详解：由题得/'（x）=2x-a+±1=7Y—/7r4-1

XX

原命题等价于方程g（x）=2f-ar+l=0在（0,2）内有两个相异的实数根,

0<-<2

4

27—9

所以△=a--8>0,2及<a<3.故答案为：A.

g(0)=l>02

g⑴=8—2a+l>0

点睛：（1）本题主要考查导数的应用，考查导数探究函数的极值问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分

析推理能力数形结合的思想方法.（2）解答本题有两个关键，其一是转化为方程g（x）=2/-办+1=0在（0,2）内有两

个相异的实数根，其二是能准确找到方程g（x）=2d-"+1=0在（0,2）内有两个相异的实数根的等价不等式组，它

涉及到二次方程的根的分布问题.

5、A

【解析】

先用基本不等式求%>0时函数的值域，然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.

【详解】

当x>()时/(x)=x+：N2,(当且仅当x=l时取等号)，

又一(力为奇函数，当x<0时，/(x)<-2,

则/(力的值域为(―,一2］。［2,+8).

故选：A.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用，考查利用基本不等式求函数最值问题，属于基础题.

6、C

【解析】

OC=2OA+OB,:.BC=OC-OB=2OA,AC=OC-OA^OA+OB,

|fic|=2|OA|=2,AC2=OAj+OB2+2OAOB=3,.平。|=瓜OA与OB夹角为60,且

侬=|0.=1,二|阴=1,卜81+,。=|啊］.儿480为直角三角形，故选C.

7、A

【解析】

准线为y=的抛物线标准方程是f=3y,选A.

8、B

【解析】

先化简lg(V+)=怆(3x)+1gy,得到x=y或x=2y.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.

【详解】

由f-3xy+2y2=(),有(x-y)(x-2>)=0,得x=V或x=2y,

Q1

则满足条件的(X,y)为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(2,1),(4,2),(6,3),所求概率为〃=弓=:.故

364

选B.

【点睛】

本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.

9、A

【解析】

试题分析：模拟运算：;=0.5=C.S:10。成立

S-0-S-2°=l.k.=0+1=l,S=1<100成立

S=l+21=3.i=1+1=2,5=3<W)域立

$=3+22=7*=2+1=35=7<100成立

S=7+2%=15k=3+1=45=15<100成立

5=15+2*=31,«=4*1=5.5=31<100成立

S=15+2*=31,k=4>l=5,S=3I<10C成立

S=31+2*=63,k—5+1=6rs=63<10。成立

§=63+2*=127承=6+1=7.5=127<10坏成立，输出匕=7,故选D.

考点：程序框图.

10、D

【解析】

对函数“X)求导，利用ra)=o求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值。的范围.

【详解】

22X-33时，/'(x)<0，当xe("|,+8

令"F上上=0,得尤=2,检验：当xe时，/(x)>0,

2x-l2

3

所以/(x)的极小值点为x=],所以/(X)的极小值为

33

。=/0='|-1112<〃1)=1,Xa_in2=|-in4=lny-*->e>2.7>16.Aa-ln2>lnl=0,

/.in2<a<1.选D.

【点睛】

本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题.

11、C

【解析】

2

根据抛物线的几何意义转化|A同=|A尸|-1=4，耳-l=x。，再通过直线过焦点可知即可得

到答案.

【详解】

抛物线焦点为尸(1,0),|/R|=|A同一1=4，|卬=|。司—1=%,,于是

2

\AB\-\CD\=XA-XD=^-=1,故选C.

【点睛】

本题主要考查抛物线的几何意义，直线与抛物线的关系，意在考查学生的转化能力，计算能力及分析能力.

12、D

【解析】

取m=-2,〃=—3,则加>〃，但/=4,n2=9,m2<n2,故"〉n^im2>n2；取zn=-3,n=-2,则(—3/>(-2)',

但是根<〃，故机2>〃2石篦>〃，故“机>〃”是“加2>〃2，，的既不充分也不必要条件，选D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、［4,+oo)

【解析】

利用导数求函数/(x)在(-1,D上的最小值，把对任意(-1,1),存在X2W(3,4),f(xi)2g(x2)转化

为g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1有解.

【详解】

解：由/(x)="-x,得/'(X)-1,

当xe(-1,0)时，f(x)<0,当尤(0,1)时，f(x)>0,

：.f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

(X)min=f(0)=1.

对任意xi€(-1>1)>存在X2W(3,4),f(xi)(X2),

即g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1,

函数g(x)=x2-bx+4的对称轴为X=y.

b

当^W3,即》近6时，g(x)在(3,4)上单调递增，g(x)>g(3)=13-36,

由13-3BW1,得力24,...4/8/6；

b

当一24,即力22时，g(x)在(3,4)上单调递减，g(x)>g(4)=20-4b,

2

19

由20-48/1,得—,；.b》2；

4

b(b\b2

当3<5<4,即6cb<2时，g(x)在(3,4)上先减后增，gWmin=I-I=4-y,

由4——<1,解得白,一26或》22出，：.6<b<2.

4

综上，实数5的取值范围为［4,+8).

故答案为：［4,+°°).

【点睛】

本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及最值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能

力，是中档题.

22

14、—+y2=1+x2=1

4.4

【解析】

先假设椭圆的焦点在x轴上，通过直角三角形△鸟。8推出a,c的关系，利用周长得到第二个关系，求出a,c然后

求出匕，求出椭圆的方程，最后考虑焦点在)'轴上的椭圆也成立，从而得到问题的答案.

【详解】

设椭圆的焦点在x轴上，长轴长为2a,焦距为2c,如图所示，

则在△工。8中，由/65。=?得：c=^a,

所以△尸2吕片的周长为2a+2c=2a+8a=4+2百，

「♦a=2，c—y/3，

z?2=1;

2

故所求椭圆的标准方程为二r+丁=1.

4

当椭圆的焦点落在）'轴上，同理可得方程为：£+f=i.

4

22

故答案为：二+/=］或匕+X2=1

44

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法，要求先定位、再定量，考查运算求解能力，求解的关键是求出。，人的值，易错点是

没有判断焦点位置.

15、y

【解析】

几何体是一个圆柱，圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1,圆柱的全面积包括三部分，上下底面圆的面积

和侧面展开矩形的面积.

【详解】

由三视图知几何体是一个圆柱，

圆柱的底面是一个直径为1的圆，圆柱的高是1,

故圆柱的全面积是：2x万（+2乃x，xl=网.

【点睛】

本题考查三视图和圆柱的表面积，关键在于由三视图还原几何体.

16、24

【解析】

首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果.

【详解】

在5天里，连续2天的情况，一共有4种

剩下的3人全排列：A；

故一共有：4xA；=24种

【点睛】

本题考查基础的排列组合问题，解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素，要优先考虑，然后再考虑普通元素.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

12191c「

—X---x—,0<犬K5

242

17、(1)y=：；(2)当年产量为475件时，所得利润最大.

—x+12,犬>5

4

【解析】

分析：（1）利用销售额减去成本即可得到年利润>关于年产量的函数解析式

1191-

—x2H---x—,n0<x<5

242

;（2）分别利用二次函数的性质以及函数的单调性，求得两段函数值的取值范围,

1

—x+12,x>5

I4

从而可得结果.

详解：（1）由题意得:

2

5%-^-x1-0.5-0.25^,1191

0<x<5--X2d---X—,n0<X<5

242

=><

5x5-1x52j-0.5-0.25x,x>51，cu

—x+12,x>5

4

|Q

（2）当0<xW5时，函数对称轴为x=we（0,5],

优必_191_345

故当》时，^max=~

543345

当x>5时，函数单调递减，故y<—/+12=,<一,

4432

所以当年产量为475件时，所得利润最大.

点睛：本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动

向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透

题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合

理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大（最小）者的最大者（最小者）.

18、(1)30；(2)arctan2.

【解析】

（1）根据体积公式直接计算；（2）说明NAM4就是直线AM与平面A8C所成角，再计算.

【详解】

(1)根据题意可知5»口0=3*4*3=6,

V-SMBC-M=6x5=30；

(2)连接期，

•■•MJ■平面ABC,

ZAMA就是直线AtM与平面ABC所成角，

ZVU5c是直角三角形，BC=5,且M是中点,

AM=-,

2

tanZAMA=迫=?=2

"AM5

2

直线4加与平面ABC所成角的大小arctan2.

【点睛】

本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角，意在考查基本概念和计算求解能力，属于简单题型.

19、(1)(x-2)-+y2=4；(2)a=工或生.

66

【解析】

(1)利用/=夕2,x=pcos0,y=psin。将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用直线/参数的几何意义表示出［45|,列方程求解即可.

【详解】

(1)由。=4cos8得夕？=42cos。.

Yx2+y2=p2,x=pcos0,y=psinff

曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x=0,

即（x_2j+y2=4

X=1+/COS<Z.c

(2)将直线/的方程代入/+/-4%=0的方程,

j=/sina

化简为：尸—2.cose—3=0.(A8对应的参数为4和。2)

tx+t2=2cosa

故：＜

卬2=-3

[AB]=卜]_芍|=+芍）~—4rA=J4cos2a+12=>/15

r.4cos2a=3，贝1cosa=±且•，

2

ae[0,%）

万—5zr

***a=7或h,

66

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程参数的几何意义，圆的弦长问题的计算，考查了

学生的运算求解能力.

20、(1)-/,-；：u7：,+/;(2)二=C或二=-：□+；.

【解析】

试题分析：(1)由题意设出直线二的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于X的一元二次方程后由判别式大于°求

得上的取值范围；(2)设出F。的坐标，利用根与系数的关系得到FQ的横坐标的和与积，结合以PQ为直径的圆经

过点‘："，由二三三二.一，求得"值，则直线二方程可求.

试题解析：(1)依题意，直线二的方程为二二二二一二，由二.二1,消去二得：二；+」,二.-二二二令

\一•=一.1▼.

二=.亡•解得或，所以'的取值范围是.Z

(2)当直线二的斜率不存在时，直线二的方程为二一则二二工二k一…此时以为直径的圆过点二:满足题

意.直线―的斜率存在时，设直线一的方程为一=二一・二二：二-匚.二，又斯以

咐晒）市⑴知，二）十二;产一羔工二厂治，所以

5^D^=（n/-/XE3-J）+n/n；=c/o3-（o/+c3）+;+（OD/+J）（nn2+2）

=（＞+7）四口2+8-犯+35=等+g-0（-*+，=需

因为以P0直径的圆过点二S,所以二二二二,二0,即芸当=1,解得二=-；，满足二：4

故直线二的方程为二=-9二二•综上，所求直线二9的方程为二=，或二=-1一：.

考点：1.直线与椭圆的综合问题；2.韦达定理.

【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线位置关系的应用，体现了设而不求的解题思想方法,

是中档题，本题（D问主要是联立直线与椭圆方程，化成一元二次方程的判别式大于：求出;:的取值范围，（2）利用

二三二二=•「求出"值，进而求出直线方程，因此解决直线与圆锥曲线位置关系时应该熟练运用韦达定理解题.

「22

21、（1）乙+上=1.

43

pB

⑵存在点P（0,4）使得PM=/l（石元+一）.

\PA\\PB\

【解析】

分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程.（2）先假设存在P（Oj）,再化简已知得到r=4,所以存在.

22

详解：（1）由已知椭圆C方程为5+*=1（。＞方＞0），设椭圆的焦点耳（O，c），

由k到直线4%+3丁+12=0的距离为3,得邑詈=3,

11

又椭圆C的离心率e=7,所以一c=二，又/=。2+。2,

2a2

求得“2=4,/=3.

22

椭圆C方程为匕+土=1.

43

y=Ax+1

22

⑵存在.理由如下：由⑴得椭圆E:亮+\=1,设直线AB的方程为>=区+1g0）,联立，22

-X------+1--y-----_1

1164

消去>并整理得（4左2+1）丁+8丘-12=0.

A=（8^）2+4（4^2+1）X12=256/+48>0.

设A（X，X）,B（与%），则为，石*2=-

^TK十14K十1

假设存在点P（o,。满足条件，由于尸加=/1品+湍，所以PM平分NAPB.

易知直线Q4与直线PB的倾斜角互补，.•.左期+=0.

XT%一

即与一+——。，即w（y