2023年陕西省兴平市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题(含解析)_第1页
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文档简介

2022-2023高二下数学模拟试卷

请考生注意:

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知“,"ceR,命题“若a+8+c=3,则23”的否命题是

A.若a+b+co3,则。2+。2+o2<3B.若a+/;+c=3,则/+。2+<?<3

C.若a+Z?+c/3,贝!1/+/+。223D.a+b+c>3,贝!|a+/?+c=3

2.若集合4={刀|一2<%«3},3={*|%〈一1或»4},则集合AcB=()

A.{x|x〈3期)4}B.{x|-l<x<3}

C.{x|3<x<4)D.{x|-2<x<-l}

3.已知随机变量X服从二项分布8(〃,,),若E(X)=50,D(X)=30,则〃,夕分别等于()

3223

A.n=100>P--B.n=100>p=-C.〃=125,p=—D.n—\25,p=—

5555

4.已知函数/(x)=x2—ar+Inx在区间(0,2)内既有极大值又有极小值,则实数”的取值范围是()

A.卜加mB.272,jjC.(272,8)D.[2垃,8)

5.已知/(X)为定义在(F,0)D(0,+8)上的奇函数,当x>()时,/(x)=x+i,则/(X)的值域为()

A.(-8,-2][2,+oo)B.[—2,2]

C.(-<»,-1].[1,+<»)D.[2,+oo)

6.已知单位向量。4,OB的夹角为60,若OC=2Q4+OB,则AABC为()

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

3

7.准线为丫=--的抛物线标准方程是()

4

3,,3,

A.x2-3yB.y=--^x2C.x=3y2D.x=-^y2

8.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,则满足怆(%2+2/)=怆(3力+怆3;的概率

为()

1111

A.-B.—C.-D.一

8432

9.执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为()

A.4B.5C.6D.7

10.设函数/(力=X一111(2%-1)的极小值为。,则下列判断正确的是

A.a=lB.0vavln2

C.a=\n2D.\n2<a<\

11.如图过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆(彳-1)2+:/=1于人、B、C、D,贝!=

A.4B.2C.1D.-

2

12.)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.已知函数/(x)=e'—x,g(x)=x2一八+4,若对任意石e(-1,1),存在/w(3,4)则实数〃的取

值范围为.

14.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点6与椭圆的两个焦点瓦、尼组成的三角形的周长为

2乃

4+2百,且/片5舄=7,则椭圆的方程为.

15.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几

16.首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他

人各参加1天,则不同的安排方法有种(结果用数值表示)

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元.此外,每生产1件这种产品还需要增加投入25万元.

经测算,市场对该产品的年需求量为500件,且当出售的这种产品的数量为,(单位:百件)时,销售所得的收入约

为5一父2(万元).

2

(1)若该公司这种产品的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量

的函数;

(2)当该公司的年产量x为多少时,当年所得利润最大?最大为多少?

18.(12分)如图,直三棱柱ABC-AB|G的底面为直角三角形,两直角边和AC的长分别为4和3,侧棱的

长为5.

(1)求三棱柱ABC—AAG的体积;

(2)设M是8c中点,求直线4"与平面ABC所成角的大小.

19.(12分)已知曲线C的极坐标方程是。=4cos9.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立

平面直角坐标系,直线/的参数方程是〈(,为参数).

y=,sina

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)若直线/与曲线C相交于A、B两点,且|/止|=而,求直线,的倾斜角a的值.

20.(12分)已知过点A(0,2)的直线二与椭圆C:曰+二;=:交于P,Q两点.

(1)若直线一的斜率为k,求k的取值范围;

(2)若以PQ为直径的圆经过点E(b0),求直线二的方程.

22

21.(12分)已知椭圆C:二+1=1(。〉8>0)的上、下焦点分别为白,工,上焦点6到直线4x+3y+12=0的距

ab

离为3,椭圆。的离心率e=1.

(1)求椭圆C的方程;

(2)椭圆E:4+三=1,设过点M(O,1)斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A,B两点,试问),轴上是否存在点P,

a216b2

使得PM=4(潟+^^)?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.

22.(10分)设全体空间向量组成的集合为V,。=(4,4,%)为V中的一个单位向量,建立一个“自变量”为向量,

“应变量”也是向量的“向量函数”/(X):/(X)=-X+2(X-«)6/(XGV).

(1)设“=(1,0,0),v=(0,0,1),若〃M)=U,求向量〃;

⑵对于V中的任意两个向量x,y,证明:=

(3)对于V中的任意单位向量x,求的最大值.

参考答案

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

根据否命题的定义:即否定条件又否定结论,

命题“若a+b+c=3,则M+b2+c2N3”的否命题是

“若a+b+c#3,贝(Ja2+b2+c2<3M

故选A

2、D

【解析】

试题分析:解:AcB={x|-2<x<3}c{x|x〈-l如)4}={x|-2Kx<-l}

所以选D.

考点:集合的运算.

3、C

【解析】

分析:直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.

详解:随机变量X服从二项分布3(〃,P),若E(X)=50,O(X)=30,

f7279=5032

可得《cc,4=二,•二〃=1-4=二,〃=125.

npq=3055

故选:C.

点睛:本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法,考查计算能力.

4、A

【解析】

分析:先求导得到/"'(x)=2『一取+1,转化为方程g(x)=2f一批+i=o在(o,2)内有两个相异的实数根,再利

X

用根的分布来解答得解.

2

详解:由题得/'(x)=2x-a+±1=7Y—/7r4-1

XX

原命题等价于方程g(x)=2f-ar+l=0在(0,2)内有两个相异的实数根,

0<-<2

4

27—9

所以△=a--8>0,2及<a<3.故答案为:A.

g(0)=l>02

g⑴=8—2a+l>0

点睛:(1)本题主要考查导数的应用,考查导数探究函数的极值问题,意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分

析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题有两个关键,其一是转化为方程g(x)=2/-办+1=0在(0,2)内有两

个相异的实数根,其二是能准确找到方程g(x)=2d-"+1=0在(0,2)内有两个相异的实数根的等价不等式组,它

涉及到二次方程的根的分布问题.

5、A

【解析】

先用基本不等式求%>0时函数的值域,然后利用函数奇偶性的性质即可得到整个函数的值域.

【详解】

当x>()时/(x)=x+:N2,(当且仅当x=l时取等号),

又一(力为奇函数,当x<0时,/(x)<-2,

则/(力的值域为(―,一2]。[2,+8).

故选:A.

【点睛】

本题考查函数奇偶性的应用,考查利用基本不等式求函数最值问题,属于基础题.

6、C

【解析】

OC=2OA+OB,:.BC=OC-OB=2OA,AC=OC-OA^OA+OB,

|fic|=2|OA|=2,AC2=OAj+OB2+2OAOB=3,.平。|=瓜OA与OB夹角为60,且

侬=|0.=1,二|阴=1,卜81+,。=|啊].儿480为直角三角形,故选C.

7、A

【解析】

准线为y=的抛物线标准方程是f=3y,选A.

8、B

【解析】

先化简lg(V+)=怆(3x)+1gy,得到x=y或x=2y.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率.

【详解】

由f-3xy+2y2=(),有(x-y)(x-2>)=0,得x=V或x=2y,

Q1

则满足条件的(X,y)为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(2,1),(4,2),(6,3),所求概率为〃=弓=:.故

364

选B.

【点睛】

本小题主要考查对数运算,考查列举法求得古典概型概率有关问题,属于基础题.

9、A

【解析】

试题分析:模拟运算:;=0.5=C.S:10。成立

S-0-S-2°=l.k.=0+1=l,S=1<100成立

S=l+21=3.i=1+1=2,5=3<W)域立

$=3+22=7*=2+1=35=7<100成立

S=7+2%=15k=3+1=45=15<100成立

5=15+2*=31,«=4*1=5.5=31<100成立

S=15+2*=31,k=4>l=5,S=3I<10C成立

S=31+2*=63,k—5+1=6rs=63<10。成立

§=63+2*=127承=6+1=7.5=127<10坏成立,输出匕=7,故选D.

考点:程序框图.

10、D

【解析】

对函数“X)求导,利用ra)=o求得极值点,再检验是否为极小值点,从而求得极小值。的范围.

【详解】

22X-33时,/'(x)<0,当xe("|,+8

令"F上上=0,得尤=2,检验:当xe时,/(x)>0,

2x-l2

3

所以/(x)的极小值点为x=],所以/(X)的极小值为

33

。=/0='|-1112<〃1)=1,Xa_in2=|-in4=lny-*->e>2.7>16.Aa-ln2>lnl=0,

/.in2<a<1.选D.

【点睛】

本题考查利用导数判断单调性和极值的关系,属于中档题.

11、C

【解析】

2

根据抛物线的几何意义转化|A同=|A尸|-1=4,耳-l=x。,再通过直线过焦点可知即可得

到答案.

【详解】

抛物线焦点为尸(1,0),|/R|=|A同一1=4,|卬=|。司—1=%,,于是

2

\AB\-\CD\=XA-XD=^-=1,故选C.

【点睛】

本题主要考查抛物线的几何意义,直线与抛物线的关系,意在考查学生的转化能力,计算能力及分析能力.

12、D

【解析】

取m=-2,〃=—3,则加>〃,但/=4,n2=9,m2<n2,故"〉n^im2>n2;取zn=-3,n=-2,则(—3/>(-2)',

但是根<〃,故机2>〃2石篦>〃,故“机>〃”是“加2>〃2,,的既不充分也不必要条件,选D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13、[4,+oo)

【解析】

利用导数求函数/(x)在(-1,D上的最小值,把对任意(-1,1),存在X2W(3,4),f(xi)2g(x2)转化

为g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1有解.

【详解】

解:由/(x)="-x,得/'(X)-1,

当xe(-1,0)时,f(x)<0,当尤(0,1)时,f(x)>0,

:.f(x)在(-1,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,

(X)min=f(0)=1.

对任意xi€(-1>1)>存在X2W(3,4),f(xi)(X2),

即g(x)在(3,4)上的最小值小于等于1,

函数g(x)=x2-bx+4的对称轴为X=y.

b

当^W3,即》近6时,g(x)在(3,4)上单调递增,g(x)>g(3)=13-36,

由13-3BW1,得力24,...4/8/6;

b

当一24,即力22时,g(x)在(3,4)上单调递减,g(x)>g(4)=20-4b,

2

19

由20-48/1,得—,;.b》2;

4

b(b\b2

当3<5<4,即6cb<2时,g(x)在(3,4)上先减后增,gWmin=I-I=4-y,

由4——<1,解得白,一26或》22出,:.6<b<2.

4

综上,实数5的取值范围为[4,+8).

故答案为:[4,+°°).

【点睛】

本题考查函数的导数的应用,函数的单调性以及最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能

力,是中档题.

22

14、—+y2=1+x2=1

4.4

【解析】

先假设椭圆的焦点在x轴上,通过直角三角形△鸟。8推出a,c的关系,利用周长得到第二个关系,求出a,c然后

求出匕,求出椭圆的方程,最后考虑焦点在)'轴上的椭圆也成立,从而得到问题的答案.

【详解】

设椭圆的焦点在x轴上,长轴长为2a,焦距为2c,如图所示,

则在△工。8中,由/65。=?得:c=^a,

所以△尸2吕片的周长为2a+2c=2a+8a=4+2百,

「♦a=2,c—y/3,

z?2=1;

2

故所求椭圆的标准方程为二r+丁=1.

4

当椭圆的焦点落在)'轴上,同理可得方程为:£+f=i.

4

22

故答案为:二+/=]或匕+X2=1

44

【点睛】

本题考查椭圆标准方程的求法,要求先定位、再定量,考查运算求解能力,求解的关键是求出。,人的值,易错点是

没有判断焦点位置.

15、y

【解析】

几何体是一个圆柱,圆柱的底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,圆柱的全面积包括三部分,上下底面圆的面积

和侧面展开矩形的面积.

【详解】

由三视图知几何体是一个圆柱,

圆柱的底面是一个直径为1的圆,圆柱的高是1,

故圆柱的全面积是:2x万(+2乃x,xl=网.

【点睛】

本题考查三视图和圆柱的表面积,关键在于由三视图还原几何体.

16、24

【解析】

首先安排甲,可知连续2天的情况共有4种,其余的人全排列,相乘得到结果.

【详解】

在5天里,连续2天的情况,一共有4种

剩下的3人全排列:A;

故一共有:4xA;=24种

【点睛】

本题考查基础的排列组合问题,解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素,要优先考虑,然后再考虑普通元素.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

12191c「

—X---x—,0<犬K5

242

17、(1)y=:;(2)当年产量为475件时,所得利润最大.

—x+12,犬>5

4

【解析】

分析:(1)利用销售额减去成本即可得到年利润>关于年产量的函数解析式

1191-

—x2H---x—,n0<x<5

242

;(2)分别利用二次函数的性质以及函数的单调性,求得两段函数值的取值范围,

1

—x+12,x>5

I4

从而可得结果.

详解:(1)由题意得:

2

5%-^-x1-0.5-0.25^,1191

0<x<5--X2d---X—,n0<X<5

242

=><

5x5-1x52j-0.5-0.25x,x>51,cu

—x+12,x>5

4

|Q

(2)当0<xW5时,函数对称轴为x=we(0,5],

优必_191_345

故当》时,^max=~

543345

当x>5时,函数单调递减,故y<—/+12=,<一,

4432

所以当年产量为475件时,所得利润最大.

点睛:本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式,属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动

向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透

题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数,构造分段函数时,做到分段合

理、不重不漏,分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).

18、(1)30;(2)arctan2.

【解析】

(1)根据体积公式直接计算;(2)说明NAM4就是直线AM与平面A8C所成角,再计算.

【详解】

(1)根据题意可知5»口0=3*4*3=6,

V-SMBC-M=6x5=30;

(2)连接期,

•■•MJ■平面ABC,

ZAMA就是直线AtM与平面ABC所成角,

ZVU5c是直角三角形,BC=5,且M是中点,

AM=-,

2

tanZAMA=迫=?=2

"AM5

2

直线4加与平面ABC所成角的大小arctan2.

【点睛】

本题考查柱体的体积公式和直线与平面所成的角,意在考查基本概念和计算求解能力,属于简单题型.

19、(1)(x-2)-+y2=4;(2)a=工或生.

66

【解析】

(1)利用/=夕2,x=pcos0,y=psin。将曲线c的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)将直线/的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,利用直线/参数的几何意义表示出[45|,列方程求解即可.

【详解】

(1)由。=4cos8得夕?=42cos。.

Yx2+y2=p2,x=pcos0,y=psinff

曲线C的直角坐标方程为:x2+y2-4x=0,

即(x_2j+y2=4

X=1+/COS<Z.c

(2)将直线/的方程代入/+/-4%=0的方程,

j=/sina

化简为:尸—2.cose—3=0.(A8对应的参数为4和。2)

tx+t2=2cosa

故:<

卬2=-3

[AB]=卜]_芍|=+芍)~—4rA=J4cos2a+12=>/15

r.4cos2a=3,贝1cosa=±且•,

2

ae[0,%)

万—5zr

***a=7或h,

66

【点睛】

本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化,直线参数方程参数的几何意义,圆的弦长问题的计算,考查了

学生的运算求解能力.

20、(1)-/,-;:u7:,+/;(2)二=C或二=-:□+;.

【解析】

试题分析:(1)由题意设出直线二的方程,联立直线方程与椭圆方程,化为关于X的一元二次方程后由判别式大于°求

得上的取值范围;(2)设出F。的坐标,利用根与系数的关系得到FQ的横坐标的和与积,结合以PQ为直径的圆经

过点‘:",由二三三二.一,求得"值,则直线二方程可求.

试题解析:(1)依题意,直线二的方程为二二二二一二,由二.二1,消去二得:二;+」,二.-二二二令

\一•=一.1▼.

二=.亡•解得或,所以'的取值范围是.Z

(2)当直线二的斜率不存在时,直线二的方程为二一则二二工二k一…此时以为直径的圆过点二:满足题

意.直线―的斜率存在时,设直线一的方程为一=二一・二二:二-匚.二,又斯以

咐晒)市⑴知,二)十二;产一羔工二厂治,所以

5^D^=(n/-/XE3-J)+n/n;=c/o3-(o/+c3)+;+(OD/+J)(nn2+2)

=(>+7)四口2+8-犯+35=等+g-0(-*+,=需

因为以P0直径的圆过点二S,所以二二二二,二0,即芸当=1,解得二=-;,满足二:4

故直线二的方程为二=-9二二•综上,所求直线二9的方程为二=,或二=-1一:.

考点:1.直线与椭圆的综合问题;2.韦达定理.

【方法点睛】本题主要考查的是椭圆的简单性质,直线与圆锥曲线位置关系的应用,体现了设而不求的解题思想方法,

是中档题,本题(D问主要是联立直线与椭圆方程,化成一元二次方程的判别式大于:求出;:的取值范围,(2)利用

二三二二=•「求出"值,进而求出直线方程,因此解决直线与圆锥曲线位置关系时应该熟练运用韦达定理解题.

「22

21、(1)乙+上=1.

43

pB

⑵存在点P(0,4)使得PM=/l(石元+一).

\PA\\PB\

【解析】

分析:(1)根据已知列方程组,解方程组即得椭圆的方程.(2)先假设存在P(Oj),再化简已知得到r=4,所以存在.

22

详解:(1)由已知椭圆C方程为5+*=1(。>方>0),设椭圆的焦点耳(O,c),

由k到直线4%+3丁+12=0的距离为3,得邑詈=3,

11

又椭圆C的离心率e=7,所以一c=二,又/=。2+。2,

2a2

求得“2=4,/=3.

22

椭圆C方程为匕+土=1.

43

y=Ax+1

22

⑵存在.理由如下:由⑴得椭圆E:亮+\=1,设直线AB的方程为>=区+1g0),联立,22

-X------+1--y-----_1

1164

消去>并整理得(4左2+1)丁+8丘-12=0.

A=(8^)2+4(4^2+1)X12=256/+48>0.

设A(X,X),B(与%),则为,石*2=-

^TK十14K十1

假设存在点P(o,。满足条件,由于尸加=/1品+湍,所以PM平分NAPB.

易知直线Q4与直线PB的倾斜角互补,.•.左期+=0.

XT%一

即与一+——。,即w(y

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