6.3.1平面向量基本定理3题型分类

6.3.1平面向量基本定理3题型分类一、平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.2.基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.二、基底的性质(1)不共线性平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底.由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性对基底的选取不唯一，平面内任一向量a都可被这个平面的一组基底{e1，e2}线性表示．(3)如果对于一组基底e1，e2，有a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．（一）平面向量的基底考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.题型1：平面向量基底的判断11．（2023下·上海浦东新·高一校考期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】根据向量共线定理逐一判断.【详解】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选；对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选；对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C；对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选；故选：C12．（2023下·江苏苏州·高一江苏省震泽中学期中）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】能作为平面的一个基底的两个向量必不共线，因此只需要判断选项中向量是否共线即可.【详解】对于A，因为，所以和共线，则这组向量不能作为平面内的一组基底，故A正确；对于B，假设和共线，则，故，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故B错误；对于C，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故C错误；对于D，假设和共线，则，即，由于与不能同时为，所以共线，这与题设矛盾，所以假设不成立，则和能作为平面内的一组基底，故D错误.故选：A.13．（2023·高一课时练习）如果是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】判断选项中各组向量是否共线，即可得答案.【详解】由为不共线向量，可知与，与，与必不共线，都可作为平面向量的基底，而，故与共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.14．（2023下·江西·高一校联考期中）如图所示，每个小正方形的边长都是1，则下列说法正确的是（

）A．，是该平面所有向量的一组基底，B．，是该平面所有向量的一组基底，C．，不是该平面所有向量的一组基底，D．，不是该平面所有向量的一组基底，【答案】A【分析】根据基底的概念及平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：由图可知，平面向量，不共线，是该平面所有向量的一组基底，且，故选：A.（二）用基底表示向量1．用基向量表示向量的三个依据(1)向量加法的三角形法则和平行四边形法则；(2)向量减法的几何意义；(3)数乘向量的几何意义．2．关于基底的一个结论设e1，e2是平面内的一个基底，当λ1e1＋λ2e2＝0时，恒有λ1＝λ2＝0.题型2：用基底表示向量21．（2023上·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中）在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据三点共线，即共线，可设，用表示出关系，即可解出结果.【详解】.设，则,又，且三点共线，则共线，即，使得，即，又不共线，则有，解得，所以，.故选：D.22．（2023下·陕西渭南·高一统考期末）如图，在平行四边形中，、分别为、的中点，设，，则向量=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由已知可得出，，将等式相加结合向量加法的平行四边形法则可得出关于、的表达式.【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，由已知，同理可得，所以，，因此，.故选：B.23．（2023下·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可.【详解】由题意,即，所以故选：A.24．（2023·高一课时练习）如图，已知分别是矩形的边，的中点，与交于点G，若，，用基底，表示.【答案】【分析】由题知，再根据三点共线得，进而得.【详解】解：因为分别是矩形的边，的中点，所以，，，设，所以，由向量加法的平行四边形法则可得.因为三点共线，所以，，即，所以，，所以.（三）平面向量基本定理的应用利用平面向量基本定理解题的策略：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．题型3：平面向量基本定理的应用31．（重庆市铜梁区20222023学年高一下学期期末数学试题）在中，点线段上任意一点，点满足，若存在实数和，使得，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题设且，结合向量数乘、加法的几何意义可得，再由已知条件即可得的值.【详解】由题意，且，而，所以，即，由已知，，则.故选：D32．（2023下·云南红河·高一统考期末）如图，分别是边上的中线，与交于点F，设，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知有是的重心，由重心的性质及向量加法、数乘的几何意义，用、表示，即可得结果.【详解】由题意，是的重心，=，，故.故选：D33．（2023下·上海嘉定·高一校考期末）如图，三角形ABC中，，D是线段BC上一点，且，F为线段AB的中点，AD交CF于点M，若，则.【答案】/【分析】由于F为线段AB的中点，结合已知条件可得，再由直线与相交于点，设，则,从而得，进而求出的值【详解】因为F为线段AB的中点，所以,因为，所以，所以,因为，所以,由直线与相交于点，设，则,所以，所以，解得故答案为：34．（2023上·山东潍坊·高三统考阶段练习）锐角三角形ABC中，D为边BC上一动点（不含端点），点O满足，且满足，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．【答案】D【分析】根据向量线性运算表示出，由此求得，再根据基本不等式求得的最小值.【详解】依题意，设，则，所以，所以，当且仅当时等号成立.故选：D35．（2023上·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）在平行四边形中，，，点E是BC的中点，，则（

）A． B． C．2 D．6【答案】D【分析】将以为基底表示，再根据数量积的运算公式，求得数量积.【详解】，，∴.故选：D.36．（2023·山东济宁·统考二模）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．【答案】C【分析】由P、C、D三点共线及，可求m的值，再用、作基底表示，进而求即可.【详解】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.故选：C37．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）点P是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】如图，延长交于点，设，则，根据平面向量共线定理得推理求出，从而可确定的位置，即可得出答案.【详解】如图，延长交于点，设，则，因为共线，所以，解得，所以，，则，由，得，即，所以，所以，所以.故选：D.一、单选题1．（2023下·湖南·高一湖南师大附中校考期中）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可.【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以.故选：D.2．（2023高一练习）设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能作为基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】根据向量是否成倍数关系可判断是否共线,即可确定是否可作为基底向量.【详解】∵，是平面内的一组基底，∴，不共线，而，则根据向量共线定理可得，与共线，根据基底的定义可知，选项D不符合题意.其他三组中的向量均为不共线向量，故可作为基底向量.故选:D.3．（2023下·四川南充·高一统考期末）如图所示，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则λ＋μ等于（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【分析】以为基底表示出，即可确定参数.【详解】因为E为AO的中点，所以，所以，即，所以，，所以D正确.故选：D.4．（2023上·广东·高三校联考阶段练习）如图，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算可求的表示形式.【详解】因为，故，故，故选：A.5．（2023下·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）在四边形中，，若，且，则（

）A． B．3 C． D．2【答案】D【分析】根据平面向量的线性表示以及运算结合图形求解.【详解】如图，过作，又因为，所以四边形是平行四边形，所以又因为，所以,又因为，所以，所以,所以.故选:D.6．（2023上·福建·高三校联考阶段练习）在中，点在边上，.记，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的共线定理表示即可求解.【详解】因为点在边上，，所以，即，所以.故选:B.7．（2023下·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）已知向量是平面内的一组基底，则下列四组向量中也能作为平面向量的一组基底的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】对于选项ACD，可以判断选项的向量共线，所以不能作为基底；对于选项B,,不共线，所以可以作为基底.【详解】对于选项A，，所以共线，所以不能作为基底；对于选项B,,所以不共线，所以可以作为基底；对于选项C,共线，所以不能作为基底；对于选项D,，所以共线，所以不能作为基底.故选：B8．（2023·四川南充·统考一模）如图，在中，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据向量的线性运算求得正确答案.【详解】.故选：A9．（2023下·重庆巴南·高一重庆市实验中学校考期末）在中，，，若点满足，以为基底，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量基本定理求解即可【详解】因为，，，所以，所以，故选：D10．（2023下·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知，是平面内一组不共线的向量，则下列四组向量中，不能做基底的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】根据共线定理判断两个向量是否共线即可.【详解】A选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；B选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；C选项：令，因为，不共线，所以，无实数解，所以与不共线，故可以作为平面向量基底；D选项：易知，即与共线，不能作为平面向量基底.故选：D11．（2023·河北石家庄·统考二模）在平行四边形中，分别是的中点，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设，根据向量的线性运算，得到，结合，列出方程组，求得的值，即可求解.【详解】如图所示，设，且，则，又因为，所以，解得，所以.故选：B.12．（2023下·内蒙古赤峰·高一统考期末）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若，则等于（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据向量的加减法运算及平面向量基本定理求解即可.【详解】由题意知，因为，所以，，.故选：B.13．（江苏省徐州市邳州市20222023学年高一下学期期中数学试题）如图所示，已知AD，BE分别为的边BC，AC上的中线，=，=，则（

）A．+ B．+ C． D．+【答案】B【分析】以为基底表示出，然后解向量方程组可得.【详解】因为D、E分别为BC、AC的中点，所以…①，…②①+2②得，所以故选：B14．（2023·河南·平顶山市第一高级中学校联考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以.故选：C.15．（2023下·湖南株洲·高一校联考期中）已知是平面内两个不共线的向量，下列向量中能作为平面的一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面向量基底的意义，逐项判断即可作答.【详解】是平面内两个不共线的向量，对于A，，即向量共线，A不是；对于B，，即向量共线，B不是；对于D，，即向量共线，D不是；对于C，因为，即向量与不共线，则向量与能作为平面的一个基底，C是.故选：C16．（2023下·河南商丘·高一校联考期末）已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用题给条件求得BE与EC的长度关系及AD与DE的长度关系,即可得到的值【详解】如图，AD交BC于点E，，设.由B，E，C三点共线可得，解之得∴，则∴.设，则，又，则∴，∴.故选：C17．（2023下·河北邢台·高一沙河市第二中学校联考阶段练习）若，是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（

）．A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【分析】根据平面向量的基底的概念：平面内不共线的两个向量可以作为平面的一组基底，结合共线向量的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量，是平面内的一组基底，可得向量，为平面内不共线向量，对于A中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于B中，设，可得，解得，所以向量和为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底；对于D中，设，可得，此时方程组无解，所以向量和不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.18．（2023下·高一课时练习）已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（

）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.【详解】对于①，，，故两向量共线；对于②，，，故两向量共线；对于③，，假设存在，因为，是不共线向量，故得到无解.故选：A.19．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第四中学校校考开学考试）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平面基底的定义和判定，逐项判定，即可求解.【详解】根据平面基底的定义知，向量为不共线非零向量，即不存在实数，使得，对于A中，向量和，不存在实数，使得，可以作为一个基地；对于B中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；对于C中，向量和，假设存在实数，使得，可得，解得，所以和不可以作为基底；对于D中，向量和，假设存在实数，使得，可得，此时方程组无解，所以和可以作为基底；故选：C.20．（2023下·重庆·高一统考学业考试）在梯形中，且为上靠近点处的三等分点，则向量（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算计算即可【详解】由题意，故选：A21．（2023·江苏·高一专题练习）如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解.【详解】因为在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，所以，所以.故选：B22．（2023·江苏·高一专题练习）若是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.【详解】不共线的向量能作为基底，因为，所以向量，共线，故排除A；假设，解得，无解，所以向量，不共线，故B正确；因为，所以，共线，故排除C；因为，所以，共线，故排除D，故选：B23．（2023上·吉林·高三吉化第一高级中学校校考阶段练习）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形图中的正八边形，其中为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（

）A． B． C． D．和能构成一组基底【答案】B【分析】根据正八边形的几何特点，结合向量的线性运算，对每个选项逐一分析即可判断.【详解】在正八边形中，对于A，，所以选项A正确；对于B，，所以选项B错误；对于C，在正八边形中，因为，，所以以向量和向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线长度为，因为，所以的方向与向量方向相同，且长度为向量长度的倍，所以，所以选项C正确；对于D，由图可知向量和为相等向量，所以向量和不共线，故和能构成一组基底，所以选项D正确.故选：B.24．（2023下·安徽芜湖·高一统考期末）如图，O是△ABC的重心，D是边BC上一点，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，延长AO交BC于E，由向量的加法运算结合平面向量基本定理将用，表示，可求出的值，即可求出的值.【详解】如图，延长AO交BC于E，由已知O为△ABC的重心，则点E为BC的中点，且由3，得：D是BC的四等分点，则，所以，所以.故选A．25．（2023下·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】由，可得为中点，，又由G是的重心，可得，代入，求得，即可得答案.【详解】解：因为，所以为中点，又因为G是的重心，所以，又因为为中点，所以，所以，所以，所以.故选：A26．（2023下·山西运城·高一统考阶段练习）在平行四边形中，分别是的中点，交于点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】过点作的平行线交于，得到，再根据，得到，再利用向量的线性运算求解.【详解】解：如图，过点作的平行线交于，则是的中点，且，，又，所以，即，所以，又，故选：B27．（2023上·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）如图，中，，，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量线性运算可得，进而得到，根据平面向量基本定理可求得结果.【详解】由题意得：，，，，三点共线，，即.故选：B.28．（2023下·安徽宣城·高一统考期末）中，点为上的点，且，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量，结合条件即可求得，可得答案.【详解】由题意可得,又，故，故，故选:B29．（2023·重庆江北·校考一模）如图，在中，点D是边AB上一点且，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是的平分线，则（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】首先根据BF是的平分线，则存在一个实数使得，再替换向量和，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.【详解】因为BF是的平分线，所以存在一个实数使得，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）因为E是边BC的中点，所以，又点A，E，F共线，所以①．（三点共线的应用：（，为实数），若A，B，C三点共线，则）因为，所以，又点C，F，D共线，所以②，联立①②，得，则，即.故选：C．30．（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意过点作平行于，交于点，先利用三角形相似求出，然后利用向量的线性运算即可求解.【详解】过点作平行于，交于点，因为，则为的中点，所以且，因为，所以，由可得：，所以，因为，所以，故选：.31．（2023上·江苏苏州·高三统考阶段练习）在中，，为线段的中点，为线段上靠近点的三等分点，两条直线与相交于点，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题知，，进而得，故，再计算数量积即可得答案.【详解】解：由题知，，∴，解得∴∴，故选：A.32．（2023下·江苏南京·高一南京市第一中学校考期中）在给出的下列命题中，错误的是（

）A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，则为等腰三角形D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形【答案】B【分析】对A，化简得出，根据向量共线定理可判断；对B，根据平面向量基本定理可判断；对C，根据可得，根据可得为的角平分线即可判断；对D，由平方可求得的夹角，即可判断.【详解】对A，若，则，即，则，且有公共点，故共线，故A正确；对B，根据平面向量基本定理可得若共线，则不满足题意，故B错误；对C，，，即，所以，又，所以为的角平分线，所以为等腰三角形，故C正确.对D，若，且，则，则，即，则，则的夹角为，同理的夹角为，的夹角为，所以是等边三角形，故D正确.综上，错误的选项为B.故选：B.33．（2023下·福建龙岩·高一统考期末）在中，为线段的中点，为线段上的一点且，若，，则的值为（

）A．12 B．6 C． D．【答案】B【分析】由平面向量的基本定理与数量积的运算性质求解即可【详解】因为，，,所以，故选：B34．（2023下·甘肃酒泉·高一统考期末）梯形ABCD中，，，，，，点E在线段BD上，点F在线段AC上，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算求得，，再根据数量积的运算求解即可【详解】，，，，，．故选：D二、多选题35．（2023下·广东深圳·高二校考期中）已知是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（

）A．若实数m，n使，则B．平面内任意一个向量都可以表示成，其中m，n为实数C．对于m，，不一定在该平面内D．对平面内的某一个向量，存在两对以上实数m，n，使【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB正确；对于C，对于m，，在该平面内，故C错误；对于D，m，n是唯一的，故D错误.故选:AB.36．（2023下·广东湛江·高一校考阶段练习）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的可能取值为（

）A． B． C．4 D．3【答案】AD【分析】依题意可得向量，可以作为平面内的一组基底，则，即可得到方程组，解得即可.【详解】解：因为向量，是两个不共线的向量，所以向量，可以作为平面内的一组基底，又向量与共线，所以，即，解得或；故选：AD37．（2023下·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）设是已知的平面向量，向量在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（

）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量和正实数，使，则.【答案】ABD【分析】根据向量减法说明A；根据平面向量基本定理判断B；举例说明C；根据平面向量基本定理，结合三角形的性质，即可判断D.【详解】对A，给定向量，总存在向量，使，即，显然存在，所以A正确.对B，因为向量，，在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使，故B正确．对C，给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使，当分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按分解，所以C不正确.对D，存在单位向量、和正实数，，由于，向量、的模为1，由三角形的三边关系可得，所以D成立.故选：ABD三、填空题38．（2023上·河南安阳·高三统考期中）在平行四边形中，，，若，，三点共线，则实数.【答案】【分析】根据平面向量的线性运算即可得出结果.【详解】由题意得，，∵，，三点共线，∴，解得.故答案为：.39．（2023·高一课时练习）已知是不共线的向量，若，则用与表示为.【答案】【分析】结合平面向量基本定理求解即可.【详解】解：由题知：不共线，由平面向量基本定理知有且只有一对实数，使，所以，从而，解得，所以.故答案为：40．（2023下·四川眉山·高二仁寿一中校考阶段练习）已知下列四个命题：①若，，则；②设是已知的平面向量，则给定向量和，总存在实数和，使；③第一象限角小于第二象限角；④函数的最小正周期为.正确的有.【答案】④【分析】举例说明判断命题①②③，④化简函数，再利用正余弦函数的周期性求解作答.【详解】对于①，若与都是非零向量，并且它们不共线，，满足，，而结论不成立，①不正确；对于②，若给定向量和满足，而已知向量与不共线，则不存在实数和，使成立，②不正确；对于③，是第一象限角，是第二象限角，显然，③不正确；对于④，函数，而正弦函数和余弦函数的最小正周期都是，所以函数的最小正周期为，④正确.故答案为：④41．（2023·全国·高一专题练习）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【答案】【分析】平面向量的分解定理填空即可【详解】平面向量的分解定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使.我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.故答案为：42．（2023下·吉林长春·高一统考期末）如图，在长方形ABCD中，M，N分别为线段BC，CD的中点，若，则【答案】/0.4【分析】利