430137081.冲刺211微专题之分段函数

第一章分段函数零点问题【重要知识点梳理】一、复合函数零点问题复合函数零点问题处理策略：考虑关于的方程根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于的方程，观察有几个的值使得等谁成立；第二层是结合着第一层的值求出每一个被几个对应，将的个数汇总后即为的根的个数.【典例分析】例1.已知函数，若函数存在5个零点，则整数的值为.解析∵，∴令，则，∴或，∵函数存在5个零点．∴与交点加上与交点共5个，画出的草图如下：，∴整数的值为2．点评本题考察分段函数零点问题，由存在5个零点，我们先令得出或，进而我们画出的图象，结合函数的零点个数，就可以得出参数的取值范围了！事实上这个题干虚数有不严谨的地方，函数存在5个零点，那么有6个零点是不是肯定也存在5个零点．举个很简单的例子，你兜里只有一张100元的钞票，班里老师临时需要借钱办杂事，问班里谁有50块钱，相信你一定会举手！你肯定会想，我都有100了，难道还没有50块．所以我觉得目前的条件不同的人会有不同的理解，条件最好改为函数有且仅有5个零点，这样就不会有任何歧义了！例2.已知函数．若函数有4个零点，则实数的取值范围是．解析（巧妙转化，灵活处理）令，∴，一、若，此时，，∵，无零点，舍去，（如下图）二、当时，，，由于，此时和各有两个零点，共4个零点，满足题意．（如下图）三、当（时不符合题意，舍去），即，∴，无零点，要使共4个零点，则，要有两个不同的零点，且两个零点均比大，结合图象知．综上，的取值范围是．例3.已知函数，（其中为自然对数的底数）．若函数有4个零点，则的取值范围为 A. B. C. D.解析令，，令，在，上分别单调递减，在上单调递增．．分别画出与的图象．①当时，有两个零点，且，，此时有一个零点，有两个零点，共三个零点，不符合题意舍去．当以及的情况同理舍去．②当时，有四个零点，，，（），且，，，各有一个零点，共两个零点．，有两个零点，其实要使有4个零点，则无零点．∴，∵，∴，选C．例4.设函数，若对任意给定的，都存在一唯一的，满足，则正实数的取值范围为 A. B. C. D.解析，先作出的大致图象．（如下图）令，要存在唯一的，使成立，则对任意给定的，有唯一的根，只需．例5.若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实数根个数是.解析，由题意，不妨设，，为方程的两个根．且当时，，单调递增；且当时，，单调递减；当时，，单调递增．∴，．∵，设，原方程变为，可得，．再解，即，，画出的草图：∵，则由图象可知有两个零点，∵，∴有一个零点，共3个零点．故关于的方程的不同实数根个数是3．二、不动点与稳定点对于函数，我们把使得成立的称为函数的“不动点”，把使得成立的称为函数的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别为和．即，，①若无解，则也无解．证明若无解，当恒成立时，则，∴，即也无解；当恒成立时，则，∴，即也无解．故无解，则也无解．②若有唯一的不动点，则也有唯一的不动点．证明设的唯一的不动点为，那么有．就有不动点．如果的不动点不是唯一的，则假设还存在第二个不动点（）．即，则，必存在不动点．这与有唯一的不动点矛盾，故假设不成立，即也有唯一的不动点．③有解时，的所有实数解也是的解．证明有解时，设为其任一解，则，∴，∴也为的解．即有解时，的所有实数解也是的解．例1.已知是定义在上的函数，若方程有且只有一个实数解，则可能是 A. B. C. D.解析我们知道无解时，也无解．有解时，的所有实数解也是的解．解的个数解的个数．对于A选项，，考察得，，故至少有两个实数解，故舍去；对于B选项，无实根，故也无实根，故舍去；对于C选项，无实根，故也无实根，故舍去；对于D选项，只有一个实数解，故至少有一个实数解，下说明其解唯一，，∴，，解得．故选D．例2.已知函数（，），集合，，若且存在，，则实数的取值范围是 A. B.或 C. D.或解析∵，设且，∴，，∴，，故，，由，，∵存在，，故有实根，且0，不同时为它的实根，即，∴或，故或，选B．三、迭代型函数零点问题通常的类型是：已知函数，定义：，，…，，让探究零点个数问题．这种题目一般有两种处理方法：①画图处理；②规律探寻：同学们考场上遇到这种题，实在没办法的话，可以令，2，3，算几个的零点个数，找下规律．例1.已知函数．定义：，，…，，，3，4，…满足的点称为的阶不动点．则的阶不动点的个数是 A.个 B.个 C.个 D.个解析，，则的1阶不动点的个数是2，2阶不动点的个数是4，3阶不动点的个数是8，阶不动点的个数是．例2.设，，，…，一般地，其中，则使方程有2018个根的值为．解析时，，时，令，∴有三段，有五段，…，有段，有2018个正根，令，∴，结合的图象可知，有个实数根，，，…，（），有三个实数根，（）对每个都有一个实根，共个实根．则，．例3.定义函数，则函数在区间（）内的所有零点之和为 A. B. C. D.解析的零点转化为方程的根，再转化为与的交点横坐标．当时，，当时，，，在平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示．每一个尖顶的坐标为．在区间（）上经过共个尖顶，所有零点之和为，选D．四、分段函数之奇偶性与周期性结合例1.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），则实数的取值范围是.解析是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数与的图象如图：由图象可知，故答案为：．点评：本题考察函数的图象及函数的零点的求法，数形结合的应用．例2.已知周期为4的函数，若方程恰好有5个实数根，则实数的取值范围是．解析当时，由得（），实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当时的图象，再根据周期性作出函数其他部分的图象，由图象易知若方程恰好有5个实数根，则等价为与恰好有5个交点，即与第二个半椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解．将代入得，即，则判别式得，即，即，则，将代入得，即，则判别式得，即，即，则．当时，，综上实数的取值范围是，故答案为：．点评：本题主要考查函数与方程的应用，根据函数的周期性作出函数的田象，转化为直线和椭圆的位置关系是解决本题的关键.综合性较强，运算量较大.例3.已知定义在上的函数满足：，且，，若函数在区间上有4个零点，则实数的取值范围是.解析联立，，结合图象知，要使在区间上有4个零点，则实数的取值范围是．五、当分段函数遇见了恼人的逻辑关联词例1.已知，若存在实数，使函数有两个零点，则的取值范围是.解析由题意，问题等价于方程与方程的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于的不等式组有解，∴，从而；若方程无解，方程有2个根：则可知关干的不等式组，从而，综上，实数的取值范围是．例2.已知，若对任意的，与总有交点，则实数的取值范围是.解析令，∴，令，当时，，单调递减，，无零点．而当时，，单调递增，∵，∴当时，，当时，，当，此时由图知与始终有交点满足题意．当，设直线与切于．∴，，∴，∴，，，此时只需，∴，综上：．例3.已知函数，若存在实数，使的值域为，则实数的取值范围是．解析当时，，当时，，当时，此时，而值域不可能为，当时，这与值域为享盾，舍去，当时，取，满足值域为，故．例4.（2018江苏南京高三数学上学期期初学情调研）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则实数的取值范围为.解析作出的函数图象如图所示：（1）当时，，∵存在唯一的整数，使得成立，∴只有1个整数解，又，∴．（2）若，则，∵存在唯一的整数，使得成立，∴只有1个整数解，又，，∴．∴当或时，只有1个整数解．故答案为：．点评：本题考查了分段函数的图象，属于中档题．解后思：对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范圈，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．六、分段函数中的图象变换例1.已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为.解析在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与的图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，∴或．例2.知函数，，则方程实根的个数为.解析解法1当时，由得，解得或（舍去）．当时，由得或．分别在同一个坐标系中作出函数与的图象（如图1）和函数与的图象（如图2）．当时，它们分别有1个、2个交点，故时，方程目3个实根．综上，方程共有4个不同的实根．解法2，∵，∴，当时，在上单调递减；当时，，，∴在上单调递减；当时，在上单调递增．从而画出函数的图像，并对图像执行留上翻下的操作．结合图像知方程共有4个不同的实根．七、分段函数函数对称性问题例1.已知为正常数，，若存在，满足，则实数的取值范围是.解折关于直线对称，且在上为增函数.所以.因为，．所以．例2.若图象上恰存在两个点关于轴对称，则实数的取值范围是.解析设，，其中，，，．由与在上只有一个交点，知或．八、分段函数中的其他综合问题例1.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是________.解析易得.当时，函数在上单调递增，至多两个零点，不满足题意，当时，令，解得，易得函数在上单调递增，在上单调递减，在同一坐标系中，分别作出函数的图像，根据图像可知：当，时，有且仅有一个零点;当时，有且仅有一个零点;当时，要使得有三个不同的零点，则或者解得.点评：本题考查函数的零点问题，应用数形结合，函数与方程的思想方法，，分段函数的图象性质来解决两个函数取大后的零点问题。例2.（2018秋季扬州期末）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数的值为__________.解析解法一：常规分类函数，得设.则函数，不妨设的3个根为且当时，由，得，即得，得，解得或若①，即，此时，由等差数列的性质可得，得，满足在上有一解.若②，即，则在上有两个不同的解，不妨设为其中.所以是的两个解，即是的两个解.得到又由的3个根成等差数列，且，得到解得：（舍去）或③，即时，最多只有两个解，不满足题意;综上所述：或.解法二：借助“V”型函数顶点的移动，设其三个解分别为令，它的原点为在上运动令，令或当即时，由图像可知，，联立当时，即时，由图像知，联立③由①③知代入=2\*GB3②得综上：或例3.已知函数.设，且函数的图像经过四个象限，则实数的取值范围为_____________.解析解析一：常规处理①当时，经过第二、三象限，则，则②当时，，要经过第一、四象限，则有解，解为在上单调递减，在上单调递增的极小值为：经过第一、四象限，极小值小于0，解得，综上：解法二：巧妙转化注意到要使的图像经过四个象限，只需分别在和上有解即可.当时，，而时，而综上：.例4.，恰有3个不同零点，则实数的取值范围_______.解析当时，令，则或当时，令，则，得令，令当时，，单调递增：当，，单调递减∴要使有三个零点，根据图像知：只需例5.已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意实数，都有，则实数的取值范围为（） A. B. C. D.解析当时，当时，的值域为，此时当时，当时，综上：实数的取值范围为【课后练习】【1】设函数.（1）若，则的最小值为____;（2）若恰有2个零点，则实数的取值范围是______.【2】已知，函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是__________.【3】定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为_________.【4】已知函数，若存在实数使函数的值域为，则实数的取值范围是____________.【5】已知函数，若关于的方程在定义域上有四个不同的解，则实数的取值范围是【课后练习答案】【1】解析函数的图像如图所示，令与的图像最多有3个零点。当有3个零点，则，从左到右交点的横坐标依次，由于函数有6个零点，，则每一个的值对应的2个的值，对称轴，则最小值由图可知，，则由于是交点横坐标中最小的，满足=1\*GB3①，=2\*GB3②联立得【2】解析作函数与的图象如下，结合图象可知，函数与的图象共有5个交点，故函数有5个零点，设5个零点分别，，故，即.故，【3】解析令，故在上单调递减令，故在上单调递减，在上单调递增.注意到当时，的值域恰好为当时，的值域为当，函数的值域取不到0