专题19恒成立问题（知识梳理精讲）

专题19恒成立问题1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），．3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，，，．（1）若，，有成立，则；（2）若，，有成立，则；（3）若，，有成立，则；（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．4、法则1若函数和满足下列条件：（1）及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么=．法则2若函数和满足下列条件：（1）及；（2），和在与上可导，且；（3），那么=．法则3若函数和满足下列条件：（1）及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么=．注意：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：（1）将上面公式中的，，，洛必达法则也成立．（2）洛必达法则可处理，，，，，，型．（3）在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止．，如满足条件，可继续使用洛必达法则．例1、（2023下·河南许昌·高二校考期中）已知对任意的，不等式恒成立，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为，所以①，令，则，设，所以，当时，，当x>1时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以在单调递增，因为①式可化为，所以，所以，令，则，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以，所以，故选：C.例2、（2023下·广东深圳·高二蛇口育才中学校考阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，将问题转化为在上有解，然后分离参数即可求解.【详解】因为函数在上存在单调递增区间，所以在上有解，且，所以，，令，则，当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，且，所以当时，由最大值，即.故选：D例3、（2024·全国·模拟预测）已知函数单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，分，和，三种情况讨论，结合恒成立，构造函数，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.【详解】由函数，可得，因为函数单调递增，所以恒成立，当时，，不恒成立，不符合题意；当时，函数与函数均为增函数且均存在零点，因为恒成立，所以此时两函数的零点相同，由得，所以，解得，满足题意；当时，可得函数恒成立，所以此时需恒成立，即恒成立，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，则，综上可得，实数a的取值范围为.故选：C．例4、（2024上·河北·高三石家庄精英中学校联考期末）设实数，若对恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先将指对混合形式变形为同构形式，再构造函数，利用函数单调性求函数最值，得到参数范围.【详解】由，则，，当时，，恒成立，即任意，对恒成立；当时，，即，其中，构造函数，则.，因为，所以，单调递增；则有，则，构造函数，则，令，解得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，则，即当时，，故要使恒成立，则，即的取值范围为.故选：B.【点睛】一般地，在等式或不等式中指对形同时出现，可能需要利用指对同构来解决问题.解决问题的关键在于指对分离，构造“指幂—幂对”形式，再构造函数求解.常见的同构式有：与，与等.例5、（2023上·湖南邵阳·高三校联考阶段练习）若，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】将所求不等式变形为，令，分析函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出，可得出，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】对任意的，，则，构造函数，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，且，则，则，可得，令，其中，则，由，可得，由，可得，所以，函数的增区间为，减区间为，所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，故，故.故答案为：.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.例6、（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）若存在，使得，则的取值范围是.【答案】【分析】首先注意到，故考虑切线放缩，从而，所以，考虑取等条件是否成立即可.【详解】不妨设，求导得，而在上单调递增，且，所以当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，所以等号成立当且仅当，注意到，所以考虑切线放缩有，从而，又，所以，由以上分析可知不等式取等，当且仅当，，接下来考虑是否成立：不妨设，则，即单调递增，注意到，所以由零点存在定理可知，使得.综上所述：若存在，使得，则只需，从而的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是考虑切线放缩，从而，另一个关键的地方是证明是否成立，从而即可顺利求解.例7、（2024上·浙江宁波·高二余姚中学校联考期末）对任意，函数恒成立，求a的取值范围．【答案】【分析】变形为，构造，求导得到单调性进而恒成立，故，分当和两种情况，结合单调性和最值，得到，得到答案.【详解】由题意得，因为，所以，即，令，则恒成立，，令得，，单调递增，令得，，单调递减，且当时，恒成立，当时，恒成立，因为，所以恒成立，故，当时，，此时满足恒成立，当，即时，由于在上单调递增，由得，令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，故，，a的取值范围是.故答案为：【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现指数函数与对数函数，通常使用同构来进行求解，本题难点是两边同时乘以，变形得到，从而构造进行求解.例8、（2024上·广东深圳·高三深圳外国语学校校联考期末）若不等式对任意恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】构建，根据题意结合的单调性可得在内恒成立，令，利用导数求的单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.【详解】令，可知的定义域为，且在上单调递增，则在上单调递增，因为，则，即，结合的单调性可知，整理得在内恒成立，令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以的最大值为，则，所以的取值范围是.故答案为：.【点睛】关键点睛：令，整理可得，利用同构可得，利用函数单调性分析可得在内恒成立.例9、（2024上·广东深圳·高二统考期末）已知函数.(1)证明：当时，；(2)若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）将题意转化为证明，直接求导证明即可.（2）根据题意将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，令，求函数的最小值即可.【详解】（1）因为，所以，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以得证（2）因为，且恒成立，则在上恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递增，又因为，，所以存在，使得，当时，，也即，此时函数单调递减；当时，，也即，此时函数单调递增；故，因为，所以，则，令，则，所以在上单调递增，则有，所以，所以，则，故的取值范围为【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集.例10．（2024上·山西大同·高二统考期末）已知函数在时取得极值．(1)求实数的值；(2)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由极值点定义可得，解得，进检验符合题意；（2）结合（1）中结论可得出函数在上的单调性，求出最小值解不等式可求得实数的取值范围．【详解】（1）易知，依题意，解得，此时，当或时，；当时，，即函数在，上单调递增，在上单调递减，因此函数在时取得极值，所以．（2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增；所以，由题意可得，解得，所以的取值范围为．例11．（2024上·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）已知函数(1)当时，求的最小值；(2)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意写出函数解析式，利用导数研究其单调性，求得其最值；（2）根据函数解析式求得导数，结合分类讨论思想，可得答案.【详解】（1）当时，，则由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．（2）由题意可得．当时，由，得，由，得，则在上单调递减，在上单调递增，故．因为不等式恒成立，所以，解得．当时，，不符合题意．综上，a的取值范围是．例12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）已知函数.(1)若，函数的极大值为，求实数a的值；(2)若对任意的，在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)1(2)【分析】（1）先对函数求导，分别讨论，两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，得出极值，根据题中条件，即可得出结果；（2）令，根据题中条件，将不等式恒成立问题转化为对恒成立，等价于，对恒成立，先讨论，再讨论时，，，对其求导，得到，令，，再分别讨论，两种情况，根据导数的方法，即可得出结果.【详解】（1）由题意，，（i）当时，，令，得，，得，所以在单调递增，单调递减，所以的极大值为，不合题意，（ii）当时，，令，得，，得或，所以在单调递增，单调递减，所以的极大值为，得，综上所述；（2）令，，当时，，则对恒成立等价于，即，对恒成立，（i）当时，，，，此时，不合题意.（ii）当时，令，，则，其中，，令，，则在区间上单调递增，①时，，所以对，，从而在上单调递增，所以对任意，，即不等式在上恒成立，②时，由，及在区间上单调递增，所以存在唯一的使得，且时，，从而时，，所以在区间上单调递减，则时，，即，不符合题意，综上求得：.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．例13．（2024上·重庆·高二重庆一中校考期末）已知函数.(1)讨论函数的单调性；(2)设，求证：.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）根据已知条件分，两种情况对函数求导讨论函数的单调性；（2）令，等价于在上恒成立，分，，三种情况，结合，论证不等式恒成立即可.【详解】（1）,即，①若，函数定义域为，，当，有，在上单调递增；当时，有，在上单调递减；②若，函数定义域为，，当时，有，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，，，所以有，即；当，定义域为：，令，等价于在上恒成立；①当时，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，由此有：；②当时，，所以在上单调递增，因为，所以，所以有：；③当时，，，，所以，因为，所以，所以有：综上所述；时恒成立.例14．（2024上·辽宁抚顺·高三校联考期末）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若恰好有两个零点，，且恒成立，证明：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出导函数，根据导数正负判断单调性；（2）由推出，结合换元，，证明，令转化为，继而构造函数，判断其单调性，求出最值，从而证明结论.【详解】（1）因为，，所以.若，则在上恒成立，在上单调递增，若，则当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由，得，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，且当时，，当时，，则，，.由，，得.令，，则，，则，即，则恒成立等价于恒成立.因为，所以恒成立等价于恒成立.令，则不等式转化为恒成立.令，则，令，，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减.因为，所以当时，，则，当时，，则，则在上单调递增，在上单调递减.故，从而.【点睛】思路点睛：本题考查了导数知识的综合应用，综合性强，计算量大；难点在第二问结合函数的零点证明不等式问题，解答时要根据推出，结合换元，，证明，令转化为，继而构造函数，判断其单调性，求出最值，从而证明结论.例15．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数，.(1)讨论的单调性；(2)当时，若恒成立，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求导后对分类讨论即可得；（2）由函性质可得时，，则，再结合函数单调性进行分类讨论计算即可得.【详解】（1）函数的定义域为，，①当时，令，得，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递