数学人教A版必修2课时作业2-3-2平面与平面垂直的判定

课时作业16平面与平面垂直的判定——基础巩固类——1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥β B．α∥βC．α与β相交 D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α­l­β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α­l­β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD＝B))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD⊥平面DBC,AD⊂平面ADC))⇒平面ADC⊥平面DBC.4.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B­PA­C的大小为(A)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC即为二面角B­PA­C的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角B­PA­C的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是(D)A．相等 B．互补C．相等或互补 D．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D­ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.7．如图，在正四面体P­ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面PAE与平面ABC的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又BC⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B­AD­C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B­AD­C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA与平面ABCD成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的证明知，∠PAB为平面PDA与平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝eq\r(3)a.∴VP­ABCD＝eq\f(1,3)·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3)a3,3).11．如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.证明：如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中点，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四边形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，∴BE必与CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.——能力提升类——12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且PA＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵PA＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正确．∵BC⊥平面PAE，BC⊂平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α­l­β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α­l­β的平面角的大小为(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α­l­β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P­EB­C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因为PC⊂平面PFC，所以EF⊥PC.(2)是定值．由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，如图，作PH⊥FC，则PH⊥平面BCFE