数值分析-方程组题库

例5-10求矩阵Q的||Q||1，||Q||2，||Q||与Cond2(Q)，其中 分析这实际上是根本概念题，只要熟悉有关范数与条件数的定义即可。解答〔1〕由定义，显然||Q||1=4〔2〕因QTQ=4I，故〔3〕由定义显知〔4〕因QTQ=4I，故，从而 所以 例5-12设有方程组AX=b，其中 它有解.如果右端有小扰动，试估计由此引起的解的相对误差。分析此题是讨论方程组的右端项的小误差所引起的解的相对误差的估计问题，这与系数矩阵的条件数有关，只要求出Cond(A)，再由有关误差估计式即可算得结果。解答容易求得 ，从而Cond(A)=22.5由公式有 例5-13试证明矩阵A的谱半径与范数有如下关系 其中||A||为A的任何一种算子范数。分析由于谱半径是特征值的绝对值的最大者，故由特征值的定义出发论证是自然的。证明由特征值定义，对任一特征值有 AX=X〔X0，特征向量〕取范数有 ||AX||=||||X||由于范数||A||是一种算子范数，故有相容关系 ||AX||||A||||X||从而 ||||X||||A||||X||由于X0，故||||A||，从而 (A)||A||例5-18设A,B为n阶矩阵，试证 Cond(AB)Cond(A)Cond(B)分析由条件数定义和矩阵范数的性质即可证明。证明 例5-19设A,B为n阶非奇异矩阵，||||表示矩阵的任何一种算子范数，试证〔1〕〔2〕分析由矩阵范数的根本性质即可推证。证明〔1〕，因为||||是算子范数，故 又 故 即 〔2〕，从而 即 例5-20设A为n阶非奇异矩阵，且有三角分解A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。求证A的所有顺序主子式均不为零。分析因为要证A的所有顺序主子式均不为零，故把A=LU按分块的形式写出比拟好，再由A的非奇异性即可推证。证明设 将A=LU按分块形式写出那么有 从而由矩阵的分块乘法有 Ak=LkUk,(k=1,2,…,n)因为 A=An=LnUn非奇异，故 从而 Ak非奇异，A的所有顺序主子式不为零。例5-22非奇异矩阵不一定都有LU分解。分析这只需要举一个例子就行了。一般举例子尽量要简单些，而一个恰当的例子往往需要经过几次反复的“失败—修正”后才研究下来。解答考虑矩阵 显然A非奇异，假设A有LU分解，那么有 于是ae=bd=1，而ad=0，显然矛盾。故该非奇异矩阵不存在LU分解，所以说并非非奇异矩阵都有LU分解。

例5-4设是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后A约化为 其中，证明〔1〕A的对角元素aii>0,i=1,2,…,n；〔2〕A2也对称正定；〔3〕；〔4〕。证明〔1〕因A对称正定，故 aii=(Aei,ei)>0,i=1,2,…,n其中为第i个单位向量。〔2〕由A的对称性及消元公式得 故A2也对称。又 其中 显然L1非奇异，从而对任意的x0，有 〔由A的正定性〕故正定。又，而，故A2正定。〔3〕因A正定，故a11>0，故由消元公式有 〔4〕先设，取 那么，与A2正定矛盾，故 由〔1〕，〔3〕有 例5-14设A是任一n阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数。证明〔1〕因A正定对称，故当x=0时，||x||A=0，而当x0时，。〔2〕对任何实数c，有 〔3〕因A正定，故有分解A=LLT，那么 故对任意向量x和y，总有 综上可知，是一种向量范数。例5-15设，证明是一种矩阵范数。证明〔1〕，且。〔2〕对任意实数c，有 〔3〕〔4〕 故||A||是一种矩阵范数。例5-19计算Cond(A)及Cond( DA);其中此结果说明了什么？解故计算结果说明了用对角阵左乘A可以改善其条件数。例5-20设，Ax=b的精确解为x=(3,-1)T.〔1〕计算条件数Cond(A);〔2〕假设近似解，计算剩余向量；〔3〕利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比拟。此结果说明了什么？解〔1〕 〔2〕〔3〕由事后误差估计式，右端为 而左端 这说明当A为病态矩阵时，尽管剩余||r||很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用||r||大小作为检验解的准确度是不可靠的。例5-21设对称正定阵，试计算||A-1||2，||A||2和Cond(A)2,且找出b〔常数〕及扰动b，使 解，故，从而 假设 x+x=y,A(x+x)=b+b取b=(1,-1)T，b=(1,1)T，那么解Ax=b，即 得又解 得。故 而 故 例5-22求下面两方程组的解，并利用矩阵的条件数估计 即Ax=b 即记，，那么Ax=b的解，而的解，故，从而，而 ，由误差估计得 说明估计是符合实际的。1.填空题〔1〕，那么，，；〔2〕，那么，，；〔3〕，那么A的谱半径(A)=；A的条件数Cond(A)=；〔4〕，Cond(A)2=；〔5〕设，为使A可分解为A=LLT，其中L是对角线元素为正的下三角形矩阵，那么a的取值范围是，取a=1，那么L=。〔答案：〔1〕19，13，12；〔2〕4，3.6180340，5；〔3〕，6；〔4〕；〔5〕，10.下述矩阵能否分解为LU〔其中L为单位下三角阵，U为上三角阵〕？假设能分解，那么分解是否惟一？ ， ， 解A中2=0，故不能分解。但det(A)=-100，故假设将A中第一行与第三行交换，那么可以分解，且分解惟一。B中，2=3=0，但它仍可以分解为 其中l32为一任意常数，且U奇异，故分解不惟一。对C，i0，i=1,2,3，故C可分解且分解惟一。 17.矩阵第一行乘以一数成为 证明当时，Cond(A)有最小值。证明设0，那么 又 故 从而当时，即时，Cond(A)有最小值，且 minCond(A)=7例24。〔1〕求〔2〕求A的谱半径。〔3〕求三个非零向量X，分别满足 解〔1〕， 。由，得。解得，故 。〔2〕由，得，解得，故 。〔3〕假设满足的解X存在，那么也满足。故按题目要求，只须求出满足的解。这时，有 解此方程组得。 解此方程组得。记是ATA的最大特征值，X是相应的特征向量，且，那么 这说明X即为所求。令，即 。得 代入，得 其中此就是满足的向量。33.Hilbert矩阵 。〔1〕计算H3的条件数cond(H).〔2〕解方程时，假设H3及b有微小误差〔取3位有效数字〕，估计解X的误差。35.填空题〔1〕，那么，，。〔2〕，那么，。33.解〔1〕； ，所以cond(H3)=748。