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文档简介
2023-2024学年天津市七区联考高二上册期末数学质量检测
模拟试题
一、单选题
1.下列导数运算正确的是()
A.(SinX)=-COSX
C.2=7⅛
【正确答案】c
【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.
【详解】对于A,(sinx)'=COSX»故A错;
对于B,(3")'=3'ln3,故B错;
对于C,(log2χ/=-ɪ-,故C正确;
Xlnz
对于D,(I)=_J_,故D错.
故选:C.
2.函数/(x)=Sinr+e'(e为自然对数的底数),则尸⑼的值为()
A.1B.2C.3D.4
【正确答案】B
【分析】先求出了‘(X),再求出r(o)即可.
【详解】∙.∙∕(x)=SinX+e∖
,/(x)=cosx+ej,
.∙.∕,(0)=cos0+e0=2.
故选:B.
3.已知Cr=Crτ,则相等于()
A.1B.3C.I或3D.1或4
【正确答案】C
【分析】根据组合数的性质即可求解.
(详解】由G=Cr可知:〃?=2加-1或者+2〃z-1=8,解得:〃z=1或机=3
故选:C
4.已知函数/(X)的定义域为(a,b),导函数/(X)在(α,句上的图象如图所示,则函数F(X)在
3,份上的极大值点的个数为()
y
y=√,,(χ)
A.1B.2C.3D.4
【正确答案】B
【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可
【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知,/(X)在3,份上与X轴的交点个数为4,
但是在原点附近的导数值恒大于零,故X=O不是函数T(X)的极值点.
其余的3个交点都是极值点,其中有2个点满足其附近的导数值左正右负,
故极大值点有2个.
故选:B
5.函数/(x)=4x-Inr的单调递减区间为()
A.(0.+∞)B∙(°,£|C.18,:)D.(J+00)
【正确答案】B
【分析】由/'(x)<0结合定义域即可解出.
x>0
【详解】因为/(x)=4x—hu(x>0),所以广(力=4-,由■〃x)=4」<0解得:0<x],
所以函数/(x)=4XTlW的单调递减区间为(Oq).
故选:B.
6.从6名男医生,5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组,且至少有一名女医生,
则不同的选法共有()
A.130种B.140种C.145种D.155种
【正确答案】C
【分析】由题意知医疗小组中有女医生的情况有{1,2,3}名三种情况,分别求出对应的选法数,
并加总即可.
【详解】1、小组有1名女医生的选法:C;C;=75种;
2、小组有2名女医生的选法:C;C:=60种;
3、小组有2名女医生的选法:仁=10种;
.∙.共有145种选法.
故选:C
7.由0,1,2,3,5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为()
A.27B.36C.48D.21
【正确答案】A
【分析】根据题意,要求三位没有重复数字的奇数,分析个位、百位、十位数各有几种情况,
应用计数原理,求得结果.
【详解】根据题意,要求三位没有重复数字的奇数,
则个位数字必须为1、3、5中的一个,则个位数有3种情况,
剩下4个数字中,0不能在百位,则百位数字有3种情况,
在剩下的3个数字中任选1个,安排在十位,有3种情况,
则可以组成三位没有重复数字的奇数有3χ3χ3=27个,
故选:A.
该题考查的是有关构成没有重复数字的奇数的个数问题,涉及到的知识点有分步计数原理,
在解题的过程中,注意奇数的条件,以及最高位不能为零,属于简单题目.
1ɔ
8.若函数/(x)=;/+/-:在区间g,α+3)内既存在最大值也存在最小值,贝心的取值范
围是()
A.(—3,—2)B.(―3,—1)C.(―2,—1)D.(—2,0)
【正确答案】A
97
利用导数求出在尢=O处取得极小值/(o)=-葭在无=-2处取得极大值"-2)=3,再
22fθ<α+3≤l
根据/(0)=-;且/⑴=1,结合三次函数的图象列不等式组“C可求得结果.
33[-3≤α<-2
【详解】由/'(x)=χ2+2x=x(x+2)=0得χ=-2或X=0,
Oɔ
可以判断了(X)在X=0处取得极小值/(0)=-j,在X=-2处取得极大值/(-2)=j.
22
令f(x)=--5,得x=-3或X=0,令〃x)=],得X=-2或X=1,
故选:A
本题考查了利用导数研究函数的极值和最值,考查了数形结合思想,属于基础题.
31
9.已知函数g(x)=l∏x+;---x-l,f(x)=x2-2tx+4,若对任意的菁∈(0,2),存在
X2∈[1,2],使g&)z/(x2),则实数r的取值范围是()
A.[2,⅛B∙[?,+8)
C.[2,-κx>)D.[l,+x)
【正确答案】B
【分析】由题意可知g(x)mi//(x)mi0,转化为分别求两个函数的最小值,利用导数求函数
g(x)最小值,对于函数/(x),讨论函数的对称轴和定义域的关系,求函数的最小值.
31
【详解】由题意可知g(x)mi∕∕(x)min,因为g(x)=lnx+"一三一1,
ɪ__3__ɪ4x—3—%2_-(X—l)(x-3)
所以g'(x)=M0<x<2,
X4X244X24X2
f
当XW(0,1)时,g(x)<Of函数单调递减,
,
当x∈(l,2)时,g(x)>Of函数单调递增,
所以当χ=l时,g(χ)取得最小值,g(ι)=g,
/(X)=X2-2∕X+4=(X-Z)2+4-r2,x∈[l,2],
①当Zl时,函数单调递增,∕Wmin=∕0)=5-2r,
即5-2r≤-1,解得:r≥?,不成立;
2
②当l≤f≤2时,f(x)n.n=f(t)=4-t,
即4-*≤二,解得:d逑或r≤.逑,不成立;
222
③当f>2时,函数单调递减,/(x)min=∕(2)=8-4r,
117
即8-4f≤-g,解得:f≥1,成立.
28
综上可知∕≥1?7
O
故选:B
二、填空题
10.函数/(x)=J_3犬+4在X=处取得极小值.
【正确答案】2
【详解】试题分析:/(X)=X3-3X2+4.∙.f(x)=3X2-6X=3X(X-2),当∕'(x)>O得MO#2,
当/'(力<0得0<x<2,所以χ=2处函数取得极小值
函数单调性与极值
11.函数/(x)=InX-L在点处的切线方程为.
X
【正确答案】y=2x-3
【分析】求导,再根据导数的几何意义即可得解.
【详解】尸(X)=I+3,
XX
则广⑴=2,
所以函数/(x)=InX-B在点(1,-1)处的切线方程为y+1=2(x7),
B[Jy=2x-3.
故答案为.y=2x-3
12.函数y=g*3+χ2+∕nx+2是R上的单调函数,则加的范围是.
【正确答案】[l,+∞)
y=%3+χ2+,nr+2是R上的单调函数,则导函数恒大于等于O或恒小于等于O,
而导函数是开口向上的二次函数,只可能是恒大于等于0,则用判别式求解即可.
【详解】y=gχ3+χ2+,nχ+2是R上的单调函数,则导函数恒大于等于0
y=X2+2x+m≥O
则A=4—4nι≤0,m≥l
故[l,+∞)
若可导函数段)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为/(X)N)(或/(x)<0)
恒成立问题,从而构建不等式,要注意“="是否可以取到.
13.函数/(x)=d-Or2-bx+/在X=I处有极值10,则α+匕的值为.
【正确答案】a+h=l
【分析】先根据极值列方程组解得“,6值,再代入验证,即可确定结果.
【详解】解;函数f(x)=χ3-0√-⅛r+α2
f'(x)=3x2-2ax-b,
又函数/(x)=V-冰2-灰+/,当X=I时有极值10,
3-2<z-⅛=0.Ja=-4∫Q=3
∖-a-b+aλ=10,*[⅛=11或[人=_3
当E=二时,f,M=3x2-2ax-b=(x-∖)(3x+11)=0有不等的实根满足题意;
S=Il
(a=3ʌ.
当,,时,尸。)=3/_2以-。=3(》-1)2=0有两个相等的实根,不满足题意;
[⅛ɪ-3
.∙.a+b=^!
本题考查根据极值求参数,考查基本分析求解能力,属中档题.
14.从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表,若这3人中必须既有男
生又有女生,则不同的选法种数共有.(用数字作答)
【正确答案】108
【分析】先求出选人的方法种数,然后再将所选3人分配给不同的科目即可,利用分步乘法
计数原理可求得结果.
【详解】所选3人中必须既有男生又有女生,可以是1男2女,也可以是2男1女,再将所选
3人分配给不同的科目,
由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知,不同的选法种数为
(C;C;+C;G)A?=18x6=108.
故答案为.108
本题考查分配问题,考查分类加法和分步乘法计数原理的应用,考查计算能力,属于中等题.
15.已知"x)是定义在R上的偶函数,当x>0时,V,(x)-/(x)>0,且"-2)=0,则不
等式>0的解集是.
X
【正确答案】(—2,0)∣(2,M)
【分析】构造函数,利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.
【详解】设g(x)=迫ng'(x)=对(":"幻,因为当x>0时,4'(x)-∕(x)>0,
XX
所以当x>0时,g'(x)>O,g(x)单调递增,
因为/(x)是定义在R上的偶函数,所以当XWO时,
g(-x)=&»=_4D=_g(x),所以函数g(x)是奇函数,
-XX
故当x<0时,函数g(x)也是增函数,
因为"-2)=0,所以"2)=(),所以g(-2)=0,g(2)=0,
当x>0时,由g(x)>O=g⑵=>x>2,
当XCO时,由g(x)>0=g(-2)=>x>-2n-2<x<0,
故(-2,0)U(ZE)
三、解答题
16.甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法?(列式并计算)
(1)甲不站右端也不站左端;
(2)甲,乙站在两端;
(3)甲不站左端,乙不站右端.
【正确答案】(1)72
⑵12
(3)78
【分析】(1)甲不在左右两端,故先从其他四人中选两人站两端,余下三人再全排列;
(2)甲乙站两端,先排甲乙,余下三人再全排列;
(3)先全排列再减去不符合的情况.
【详解】(1)因为甲不站左、右两端,故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端,有A;=12
种站
法,再让剩下三个人站中间三个位置上,有A;=6种站法,由分步乘法计数原理知,
共有12x6=72种站法.
(2)首先考虑特殊元素,让甲、乙先站两端,有A:=2种站法:
再让其他3个人在中间3个位置全排列,有A;=6种站法,
根据分步乘法计数原理,共有2x6=12种站法.
(3)甲在左端的站法有A:=24种,乙在右端的站法有A:=24种,而甲在左端且乙在右端
的
站法有A;=6种,故共有A;-2A:+A;=120-2x24+6=78种站法.
17.已知函数/(x)=(x-2)e'.
⑴求函数f(x)的单调区间;
(2)求〃x)在[-1,2]上的最值.
【正确答案】⑴函数/(χ)在(1,茁)上单调递增,在(fI,)上单调递减
⑵最大值0,最小值-e,
【分析】(1)根据导数的正负得出其单调性;
(2)根据第一问的函数单调性得出其最值.
【详解】⑴函数/(x)=(x-2)e*,则f'(x)=(x7)e"
当x>l时,第x)>0,当x<l,∕,(x)<0,
故函数/(χ)在(1,一)上单调递增,在(9,1)上单调递减
(2)由(1)可得函数“X)在。,2]上单调递增,在[τ,l)上单调递减
a
且"-l)=-3e-'=-±,/(2)=0,
e
则f(x)在[—1,2]上的最大值/(x)TOX=“2)=0,最小值"x)min="l)=Y,
18.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,
(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?
(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法
有多少种?
【正确答案】(1)115(2)186
【详解】(1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法,红球4个,红球3个和白球
1个,红球2个和白球2个,
红球4个,取法有]种,
红球3个和白球1个,取法有C;.(;=24种;
红球2个和白球2个,取法有C--C;-90种;
根据分类计数原理,红球的个数不比白球少的取法有1+24+90=115种.
(2)使总分不少于7分情况有三种情况,4红1白,3红2白,2红3白.
第一种,4红1白,取法有C:C:=6种;
第二种,3红2白,取法有C,C:=60种,
第三种,2红3白,取法有C:-C;=I20种,
根据分类计数原理,总分不少于7分的取法有6+60+120=186.
19.已知函数/(x)=gχ2-ar-21nx(aeR).
(1)当。=1时,求函数/(x)的单调区间和极值;
(2)若函数f(x)在区间[L+∞)上单调递增,求实数”的取值范围.
【正确答案】⑴减区间为(0,2),增区间为(2,+oo),极小值为-2ln2,无极大值
(2)α≤-1
【分析】(1)先求导,从而得到单调区间,根据单调性可得极值;
(2)由条件可知r(χ)≥o恒成立,再分离变量求最值即可求解.
【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0,+8),
当α=l时,/(x)=LX2-X-2Inx
求导得Γ(χ)=χ-1--,整理得.尸(X)=(τ)(χ+ι)
XX
由∕*x)>0得x>2;由r(x)<O得0<x<2
从而,函数/(x)减区间为(0,2),增区间为(2,+8)
所以函数/(x)极小值为/(2)=-21n2,无极大值.
2
(2)由已知xe[L+e)时,f'(x)NO恒成立,即x—∙χ≥0恒成立,
即a≤x-2恒成立,则α≤(x-2].
X∖XJmin
OO
令函数g(χ)=χ-嚏(χ≥ι),由g'(χ)=ι+j>0知g(χ)在[1,M)单调递增,
从而“<g(x)n⅛=g(l)=T∙
经检验知,当a=-1时,函数〃》)不是常函数,所以。的取值范围是1.
20.已知函数f(x)=Ot?-(a+2)x+lnx.
(1)当a=2时,求曲线y=∕(χ)在(Ij(I))处的切线方程;
(2)求函数/(x)
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