2023-2024学年天津市七区联考高二年级上册期末数学质量检测模拟试题（含答案）

2023-2024学年天津市七区联考高二上册期末数学质量检测

模拟试题

一、单选题

1.下列导数运算正确的是（）

A.(SinX)=-COSX

C.2=7⅛

【正确答案】c

【分析】根据导数公式运算对选项一一验证即可.

【详解】对于A,（sinx）'=COSX»故A错；

对于B,（3"）'=3'ln3,故B错；

对于C,（log2χ/=-ɪ-,故C正确；

Xlnz

对于D,（I）=_J_,故D错.

故选：C.

2.函数/（x）=Sinr+e'（e为自然对数的底数），则尸⑼的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】先求出了‘（X）,再求出r（o）即可.

【详解】∙.∙∕(x)=SinX+e∖

，/(x)=cosx+ej,

.∙.∕,(0)=cos0+e0=2.

故选：B.

3.已知Cr=Crτ,则相等于()

A.1B.3C.I或3D.1或4

【正确答案】C

【分析】根据组合数的性质即可求解.

(详解】由G=Cr可知:〃?=2加-1或者+2〃z-1=8,解得:〃z=1或机=3

故选：C

4.已知函数/(X)的定义域为(a,b),导函数/(X)在(α,句上的图象如图所示，则函数F(X)在

3,份上的极大值点的个数为()

y

y=√,,(χ)

A.1B.2C.3D.4

【正确答案】B

【分析】根据极大值点的定义结合导函数的图象分析判断即可

【详解】由函数极值的定义和导函数的图象可知，/(X)在3,份上与X轴的交点个数为4,

但是在原点附近的导数值恒大于零，故X=O不是函数T(X)的极值点.

其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，

故极大值点有2个.

故选：B

5.函数/(x)=4x-Inr的单调递减区间为()

A.(0.+∞)B∙(°，£|C.18,：)D.(J+00)

【正确答案】B

【分析】由/'(x)<0结合定义域即可解出.

x>0

【详解】因为/(x)=4x—hu(x>0),所以广(力=4-,由■〃x)=4」<0解得：0<x],

所以函数/(x)=4XTlW的单调递减区间为(Oq).

故选:B.

6.从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，

则不同的选法共有()

A.130种B.140种C.145种D.155种

【正确答案】C

【分析】由题意知医疗小组中有女医生的情况有｛1,2,3｝名三种情况,分别求出对应的选法数,

并加总即可.

【详解】1、小组有1名女医生的选法：C；C；=75种；

2、小组有2名女医生的选法：C；C：=60种；

3、小组有2名女医生的选法：仁=10种；

.∙.共有145种选法.

故选：C

7.由0,1,2,3,5这5个数字可以组成三位没有重复数字的奇数个数为()

A.27B.36C.48D.21

【正确答案】A

【分析】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，分析个位、百位、十位数各有几种情况,

应用计数原理，求得结果.

【详解】根据题意，要求三位没有重复数字的奇数，

则个位数字必须为1、3、5中的一个，则个位数有3种情况，

剩下4个数字中，0不能在百位，则百位数字有3种情况，

在剩下的3个数字中任选1个，安排在十位，有3种情况，

则可以组成三位没有重复数字的奇数有3χ3χ3=27个，

故选：A.

该题考查的是有关构成没有重复数字的奇数的个数问题，涉及到的知识点有分步计数原理，

在解题的过程中，注意奇数的条件，以及最高位不能为零，属于简单题目.

1ɔ

8.若函数/(x)=；/+/-：在区间g,α+3)内既存在最大值也存在最小值，贝心的取值范

围是()

A.(—3,—2)B.(―3,—1)C.(―2,—1)D.(—2,0)

【正确答案】A

97

利用导数求出在尢=O处取得极小值/(o)=-葭在无=-2处取得极大值"-2)=3,再

22fθ<α+3≤l

根据/(0)=-；且/⑴=1，结合三次函数的图象列不等式组“C可求得结果.

33[-3≤α<-2

【详解】由/'(x)=χ2+2x=x(x+2)=0得χ=-2或X=0,

Oɔ

可以判断了(X)在X=0处取得极小值/(0)=-j,在X=-2处取得极大值/(-2)=j.

22

令f(x)=--5,得x=-3或X=0,令〃x)=],得X=-2或X=1,

故选：A

本题考查了利用导数研究函数的极值和最值，考查了数形结合思想，属于基础题.

31

9.已知函数g(x)=l∏x+;---x-l,f(x)=x2-2tx+4,若对任意的菁∈(0,2),存在

X2∈[1,2],使g&)z/(x2),则实数r的取值范围是()

A.[2,⅛B∙[?,+8)

C.[2,-κx>)D.[l,+x)

【正确答案】B

【分析】由题意可知g(x)mi//(x)mi0,转化为分别求两个函数的最小值，利用导数求函数

g(x)最小值，对于函数/(x),讨论函数的对称轴和定义域的关系，求函数的最小值.

31

【详解】由题意可知g(x)mi∕∕(x)min,因为g(x)=lnx+"一三一1，

ɪ__3__ɪ4x—3—%2_-(X—l)(x-3)

所以g'(x)=M0<x<2,

X4X244X24X2

f

当XW(0,1)时，g(x)<Of函数单调递减,

,

当x∈(l,2)时，g(x)>Of函数单调递增,

所以当χ=l时，g(χ)取得最小值，g(ι)=g,

/(X)=X2-2∕X+4=(X-Z)2+4-r2,x∈[l,2],

①当Zl时，函数单调递增，∕Wmin=∕0)=5-2r,

即5-2r≤-1,解得：r≥?,不成立；

2

②当l≤f≤2时，f(x)n.n=f(t)=4-t,

即4-*≤二，解得：d逑或r≤.逑，不成立；

222

③当f>2时，函数单调递减，/(x)min=∕(2)=8-4r,

117

即8-4f≤-g,解得：f≥1,成立.

28

综上可知∕≥1?7

O

故选：B

二、填空题

10.函数/(x)=J_3犬+4在X=处取得极小值.

【正确答案】2

【详解】试题分析：/(X)=X3-3X2+4.∙.f(x)=3X2-6X=3X(X-2),当∕'(x)>O得MO#2,

当/'(力<0得0<x<2,所以χ=2处函数取得极小值

函数单调性与极值

11.函数/(x)=InX-L在点处的切线方程为.

X

【正确答案】y=2x-3

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解.

【详解】尸(X)=I+3,

XX

则广⑴=2,

所以函数/(x)=InX-B在点(1,-1)处的切线方程为y+1=2(x7),

B［Jy=2x-3.

故答案为.y=2x-3

12.函数y=g*3+χ2+∕nx+2是R上的单调函数，则加的范围是.

【正确答案】［l,+∞)

y=%3+χ2+,nr+2是R上的单调函数，则导函数恒大于等于O或恒小于等于O,

而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0,则用判别式求解即可.

【详解】y=gχ3+χ2+,nχ+2是R上的单调函数，则导函数恒大于等于0

y=X2+2x+m≥O

则A=4—4nι≤0,m≥l

故［l,+∞)

若可导函数段)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为/(X)N)(或/(x)<0)

恒成立问题，从而构建不等式，要注意“="是否可以取到.

13.函数/(x)=d-Or2-bx+/在X=I处有极值10,则α+匕的值为.

【正确答案】a+h=l

【分析】先根据极值列方程组解得“，6值，再代入验证，即可确定结果.

【详解】解；函数f(x)=χ3-0√-⅛r+α2

f'(x)=3x2-2ax-b,

又函数/(x)=V-冰2-灰+/,当X=I时有极值10,

3-2<z-⅛=0.Ja=-4∫Q=3

∖-a-b+aλ=10,*[⅛=11或[人=_3

当E=二时，f,M=3x2-2ax-b=(x-∖)(3x+11)=0有不等的实根满足题意；

S=Il

(a=3ʌ.

当,,时，尸。)=3/_2以-。=3(》-1)2=0有两个相等的实根，不满足题意；

[⅛ɪ-3

.∙.a+b=^!

本题考查根据极值求参数，考查基本分析求解能力，属中档题.

14.从3名男生和3名女生中选出3人分别担任三个不同学科课代表，若这3人中必须既有男

生又有女生，则不同的选法种数共有.(用数字作答)

【正确答案】108

【分析】先求出选人的方法种数，然后再将所选3人分配给不同的科目即可，利用分步乘法

计数原理可求得结果.

【详解】所选3人中必须既有男生又有女生，可以是1男2女，也可以是2男1女，再将所选

3人分配给不同的科目，

由分类加法计数原理和分步乘法计数原理可知，不同的选法种数为

(C；C；+C；G)A?=18x6=108.

故答案为.108

本题考查分配问题，考查分类加法和分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.

15.已知"x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，V,(x)-/(x)>0,且"-2)=0,则不

等式>0的解集是.

X

【正确答案】(—2,0)∣(2,M)

【分析】构造函数，利用导数、函数的奇偶性进行求解即可.

【详解】设g(x)=迫ng'(x)=对(":"幻，因为当x>0时，4'(x)-∕(x)>0,

XX

所以当x>0时，g'(x)>O,g(x)单调递增，

因为/(x)是定义在R上的偶函数，所以当XWO时，

g(-x)=&»=_4D=_g(x),所以函数g(x)是奇函数,

-XX

故当x<0时，函数g(x)也是增函数，

因为"-2)=0,所以"2)=(),所以g(-2)=0,g(2)=0,

当x>0时，由g(x)>O=g⑵=>x>2,

当XCO时，由g(x)>0=g(-2)=>x>-2n-2<x<0,

故(-2,0)U(ZE)

三、解答题

16.甲、乙、丙、丁、戊五人按下列要求站成一排分别有多少种不同站法？(列式并计算)

(1)甲不站右端也不站左端；

(2)甲，乙站在两端；

(3)甲不站左端，乙不站右端.

【正确答案】(1)72

⑵12

(3)78

【分析】(1)甲不在左右两端，故先从其他四人中选两人站两端，余下三人再全排列；

(2)甲乙站两端，先排甲乙，余下三人再全排列；

(3)先全排列再减去不符合的情况.

【详解】(1)因为甲不站左、右两端，故先从甲以外的4个人中任选两人站在两端，有A；=12

种站

法，再让剩下三个人站中间三个位置上，有A；=6种站法，由分步乘法计数原理知，

共有12x6=72种站法.

(2)首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有A：=2种站法：

再让其他3个人在中间3个位置全排列，有A；=6种站法，

根据分步乘法计数原理，共有2x6=12种站法.

(3)甲在左端的站法有A：=24种，乙在右端的站法有A：=24种，而甲在左端且乙在右端

的

站法有A；=6种，故共有A；-2A：+A；=120-2x24+6=78种站法.

17.已知函数/(x)=(x-2)e'.

⑴求函数f(x)的单调区间；

(2)求〃x)在［-1,2］上的最值.

【正确答案】⑴函数/(χ)在(1,茁)上单调递增，在(fI,)上单调递减

⑵最大值0,最小值-e,

【分析】(1)根据导数的正负得出其单调性；

(2)根据第一问的函数单调性得出其最值.

【详解】⑴函数/(x)=(x-2)e*,则f'(x)=(x7)e"

当x>l时,第x)>0,当x<l,∕,(x)<0,

故函数/(χ)在(1,一)上单调递增，在(9,1)上单调递减

(2)由(1)可得函数“X)在。,2］上单调递增，在［τ,l)上单调递减

a

且"-l)=-3e-'=-±,/(2)=0,

e

则f(x)在［—1,2］上的最大值/(x)TOX=“2)=0,最小值"x)min="l)=Y,

18.一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，

(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法

有多少种？

【正确答案】(1)115(2)186

【详解】(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球

1个，红球2个和白球2个，

红球4个，取法有］种，

红球3个和白球1个，取法有C；.(;=24种；

红球2个和白球2个，取法有C--C；-90种；

根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有1+24+90=115种.

(2)使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.

第一种，4红1白，取法有C：C：=6种；

第二种，3红2白，取法有C，C：=60种，

第三种，2红3白，取法有C：-C；=I20种，

根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有6+60+120=186.

19.已知函数/(x)=gχ2-ar-21nx(aeR).

(1)当。=1时，求函数/(x)的单调区间和极值；

(2)若函数f(x)在区间［L+∞)上单调递增，求实数”的取值范围.

【正确答案】⑴减区间为(0,2),增区间为(2,+oo),极小值为-2ln2,无极大值

(2)α≤-1

【分析】(1)先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值;

(2)由条件可知r(χ)≥o恒成立，再分离变量求最值即可求解.

【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0,+8),

当α=l时，/(x)=LX2-X-2Inx

求导得Γ(χ)=χ-1--,整理得.尸(X)=(τ)(χ+ι)

XX

由∕*x)>0得x>2;由r(x)<O得0<x<2

从而，函数/(x)减区间为(0,2),增区间为(2,+8)

所以函数/(x)极小值为/(2)=-21n2,无极大值.

2

(2)由已知xe[L+e)时，f'(x)NO恒成立，即x—∙χ≥0恒成立，

即a≤x-2恒成立，则α≤(x-2].

X∖XJmin

OO

令函数g(χ)=χ-嚏(χ≥ι),由g'(χ)=ι+j>0知g(χ)在[1,M)单调递增,

从而“<g(x)n⅛=g(l)=T∙

经检验知，当a=-1时，函数〃》)不是常函数，所以。的取值范围是1.

20.已知函数f(x)=Ot?-(a+2)x+lnx.

(1)当a=2时，求曲线y=∕(χ)在(Ij(I))处的切线方程;

(2)求函数/(x)