山东大学《数学物理方法基础》课件-第2章

数学物理方法第2章复变函数的积分1第2章复变函数的积分数学物理方法第2章复变函数的积分2设在复数平面的某分段光滑曲线l上定义了连续函数f(z),在l上取一系列分点z₀(起点A),z,z₂,…,z,(终点B),将分成n小段，在每一小段[Z₄-,Z]上取一点5,|zeta|,作和当n→~而且每一个△z,→0时，若该和的极限存在，并且其值与各ζ的选取无关，则该和的极限记作,即：3数学物理方法第2章复变函数的积分3将z和f(z)都用实部和虚部表出，得复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是路积分的实部和虚部。因此，实变函数线积分的许多性质对复变函数的路积分也成立。复变函数的路积分满足如下6条性质：1.常数因子可以移到积分号之外；2.函数的和的积分等于各个函数的积分之和；3.反转积分路径，积分变号；4.全路径上的积分等于各段上积分之和；5.积分不等式1:4数学物理方法第2章复变函数的积分4例1:计算积分5数学物理方法第2章复变函数的积分5例2:计算积分6数学物理方法第2章复变函数的积分6例2:计算积分一般来说，复变函数的积分值不仅依赖于积分的起点和终点，而且与积分路径有关。数学物理方法第2章复变函数的积分7本节讨论复变函数的积分值与积分路径的关系，给出关于复变函数积分的重要定理——柯西定理。分两种情形来讨论：(一)单连通区域；(二)复连通区域。单连通区域：在区域中作任何简单的闭合曲线，围线内奇点：复变函数在区域上不一定处处解析，而是在某些点或者某些子区域上不可导(甚至不连续或没有定义),这类点称为函数的奇点。为了将奇点排除在区域之外，需要围绕奇点作适当的闭合曲线将奇点分割出去。复连通区域：将函数的奇点挖去而形成的带“孔”的区数学物理方法第2章复变函数的积分8判断某区域是否为复连通区域：在该区域内，只要有一个简单的闭合曲线，其内有不属于该区域的点。单连通/复连通区域内/外边界线的正方向：当观察者沿着该方向前进时，区域总是在观察者的左侧。(一)单连通区域的柯西定理如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是B的边界),有数学物理方法第2章复变函数的积分9由于f(z)在B上解析，因在B上连续，对上式右端实部和虚部分别应用格林公式将回路积分数学物理方法第2章复变函数的积分10如果函数f(z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l(也可以是B的边界),有推论：单连通区域中解析函数f(z)的积分值与路经无关。数学物理方法第2章复变函数的积分11如果函数f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数，则沿边界线的正方向进行。证明：数学物理方法第2章复变函数的积分12根据单连通区域的柯西定理，其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有数学物理方法第2章复变函数的积分13(1)如果函数f(z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线(也可以是B(2)闭复连通区域上的解析函数沿所有内外边界线正方向的积分和为零；(3)闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针方向积分等于沿所有内边界线逆时针方向积分之和。数学物理方法第2章复变函数的积分14根据柯西定理，对于某个闭单连通或闭复连通区域上的解析函数，只要起点和终点不变，当积分路径连续变形(不跳过“孔”)时，函数的积分值不变。即解析函数的积分值只与起点和终点有关，而与路径无基本要求2.理解单连通区域、奇点和复连通区域的概念；3.掌握单连通区域和复连通区域的柯西定理。数学物理方法第2章复变函数的积分15根据柯西定理，如果函数f(z)在单连通区域B上解析，则沿B上任一路径l的积分dz的值只与起点和终点有关，而与路径无关。积分定义了一个单值函数，记作还有f(z)路积分的值等于原函数的改变量，联系：实变函数学物理方法第2章复变函数的积分例1:计算积分(1)若回路I不包围点a,则被积函数在l所围区域上是解析的，根据柯西定理，数学物理方法第2章复变函数的积分无关，积分路径可变形为圆周CN≠-1数学物理方法第2章复变函数的积分18由它们可引出2.4节的柯西公式和4.1节的留数定理。从原函数角度解释结果：11数学物理方法第2章复变函数的积分21基本要求作业：教材P28,不定积分的重要例题数学物理方法第2章复变函数的积分1数学物理方法第2章复变函数的积分2由于z=a一般为被积函数的奇点，因此，复连通区域上单值解析，根据柯西定理3数学物理方法第2章复变函数的积分3从而柯西公式z得证。由于α是任取的，所以通常将α改记作z,积分变数改用ζ表示，将柯西公式改写为数学物理方法第2章复变函数的积分4此时的I为所有边界线，方向均取正向。推广：柯西公式适用于I所围的内部区域。它也可推广到1对于单连通区域，有数学物理方法第2章复变函数的积分5对于复连通区域，类推有柯西公式表明：解析函数在任何一个内点x的值f(z)可以用沿边界线I的回路积分来表示。这是因为解析函数在各点的值通过柯西-黎曼方程相互联系着。从物理意义上说，解析函数紧密联系于平面标量场，而平面场的边界条件数学物理方法第2章复变函数的积分6柯西公式的重要推论：解析函数可以求导任意多次。被积函数,ξ为内点柯西公式的应用：计算路积,ξ为内点数学物理方法