立体几何-2023上海市高三数学一模汇编【教师版】

2023一模汇编【立体几何】

一、填空题

1.【普陀2】若正四棱柱的底面周长为4、高为2，则该正四棱柱的体积为.【答案】2【解析】V=SZz=2

4

2.【虹口3】已知一个球的半径为3,则这个球的体积为.【答案】36兀（Of）V=-πri=36π

3.【浦东5】若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，则圆锥的侧面积是.

Tl1TT

【答案】-【解析】l=2r=∖=r=二，S=TrrI=X

222

4.【金山5】已知一个圆锥的底面半径为3,高为4,则该圆锥的侧面积为.

【答案】15万【提示】母线长为/=JT寿=5,所以侧面积为S=乃〃=乃x3χ5=15万

5.【长宁5】如图，在三棱台ABC-AgCl的9条棱所在直线中，与直线48是异面直线的共有条.

4C1

【答案】3∕tV/∖

【分析】利用异面直线的判定定理判断即可ʌ-ʌ'-əɛ

x

【提示】B1C1,AC，CC1γ

6.【嘉定5】已知某一个圆锥的侧面积为20π,底面积为16兀，则这个圆锥的体积为.

【答案】16πS

【解析】设圆锥的底面半径为r,则π∕=16π,解得r=4=S底=»∙4∕=20π,解得/=5y∕j×

_____［/一

由勾股定理，得〃=庐7^=疹二id=3,故圆锥的体积为］X16无χ3=16ττ<（h

7.【松江6］已知圆锥的母线长为5,侧面积为20兀，则此圆锥的体积为（结果中保留兀）「一

【答案】16π【解析】设圆锥的底面半径为一则S恻=πrχ5=20π,.∙.r=4

；•圆锥的高〃=JF=7=3，二圆锥的体积V=；w%=；xl6兀x3=16兀〈一、

8.【宝山7】将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为.\

【答案】3乃【解析】设圆锥的底面半径为小则2〃=2兀，.∙∙r=l/N

3厂ZrV

.∙.圆锥的高力="≡T=G,.∙.圆锥的体积V=JTn∙27z=Yl兀

33

9.【静安7】有一种空心钢球，质量为140.2g,测得球的外直径等于5.0cm,若球壁厚度均匀，则它的内直

径约为cm.（钢的密度是7.9g∕Cm3,结果保留一位小数）.【答案】4.5

4，5丫4

【解析】设空心钢球的内直径为2rcm,贝!l-π---πr3×7.9=140.2

ɔI，，ɔ

所以/=(2)_1402x3,解得“2.25,所以2rα4.5

{2J7.9X4π

10.【徐汇7］已知圆锥的侧面积为2兀，且侧面展开图为半圆，则底面半径为

【答案】1【解析】设圆锥的母线长为/,底面圆的半径为八

1,1

则一加2=2万，所以/=2,故底面圆的周长为一万χ4=2万

22

=>2Q=24，解得r=l,所以底面半径为1

IL【闵行7】如图，对于直四棱柱ABCD-A4GA，要使A。，4,则在四边形ABco中，满足

的条件可以是.(只需写出一个正确的条件)

【答案】(只要使得即可)4

AGA42D1

II利用三垂线定理或线面垂直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.

【解析】连接AG，因为CG∙L面ABIGR,B1D1U面AIGA，则4析±ccl

若AG，4A,AG-CG=cl,ccl、A1C1U面ACG,B1D1ɪ面ACG

A1CU面ACC］A1CJLBR.

12.【黄浦8】已知一个圆锥的侧面展开图是一个面积为2兀的半圆，则该圆锥的体积为.

【答案】我

3

［解析1-πl'=1π=>I=2,π=-2τr=>r=i,h=∖∣3,V=-π×∖'Xʌ/ɜ="兀

2/33

13.【崇明8】将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为.

【答案】√3

【解析】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图

OA=OB=I,则扇形弧长/=2兀

设圆锥底面圆半径为r,则2ττr=2π,得r=l

则在心AOAO中，圆锥的高C=OZ)=J2?—E=G图2

14.【青浦9】已知空间三点A(T,3,1),β(2,4,0),C(0,2,4),则以Aβ、AC为一组邻边的平行四边形

的面积大小为.【答案】2回

(根据给定条件，利用空间向量夹角公式求出/84C,再利用三角形面积公式计算作答.

【解析】依题意，AB=(3,1,-1),AC=(I,-1,3),IABHlACI=√∏,

ABAC1I--------；---------2√30

cosZBAC=----------=一二=SinNBAC=√l-cos2ZBAC=，

IABIlAClH11

所以以AB、AC为一组邻边的平行四边形的面积S=IABl∙IACIsinABAC=2√30.

15.【长宁9】若。A=(L-2,0),OB=(2,1,0),OC=(1,1,3),则三棱锥O—ABC的体积为.

【答案】-

2

(：根据空间向量的坐标运算，求得棱锥底面积和高，结合棱锥的体积计算公式，即可求得结果.

【解析】根据已知可得：(9A∙OB=1×2-2×1≈0＞即LoB,

又同+J)=6IOBl=J2?+『=B故AQ45的面积S=gχ6χ6=∣;

/∖∣OC∙∕M∣3

不妨取平面OAB的一个法向量加=(0,0,1),则点C到平面OAB的距离h=1.,1=士=3，

∖m∖1

故三棱锥O—4BC的体积V=JSX∕z=Jχ2χ3=3.

3322

16.【嘉定9】如图为正六棱柱A6COEF-A%'。'。％'/，其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与

直线AB异面的共有条.【答案】5

【解析】连接Aoz,因为六边形Uc'O'E'L为正六边形，所以Ao'∕ΛB'C,散ZD'/IBC

尸'E，

所以A',。',8,C四点共面，45,C。'不是异面直线JX

同理可得：防'与AB共面，不是异面直线

而AB//E。，又A5',A尸,5C'与AO相交

故12条面对角线中，与AB异面的分别为"C,CD,D'E,FE',AF'共5条

17.【奉贤10]长方体ABCO-AgGA的底面是边长为1的正方形，若在侧棱AA上至少存在一点E,

使得NaEB=90,则侧棱AA的长的最小值为.

【答案】2【解析】设AA=h,AE=x,AiE=h-x,x∈[θ,Λ]

222222222

BE=I+x,CiE=(√2)+(Λ-X),βq=I+A

又因为NGEB=90,所以BE2+C∣E2=BC；

即F+f+(及)2+(〃_幻2=F+*,化简得f—法+[=0

即关于X的方程Y—历r+l=0,xe[0,可有解

①当X=O时，不符合题意;

②当x>0时，则力=%+'22」长』=2,当且仅当X=L,即X=I时取得等号；

XVXX

所以侧棱AA1的长的最小值为2.

18.【静安11］在空间直角坐标系。-孙Z中，点P(7,4,6)关于坐标平面Xoy的对称点P1在第卦

限；若点。的坐标为(8,-1,5),则向量PQ与向量尸尸夹角的余弦值是.【答案】五；也

【提示】Pβ=(1,-5,-1).PP=(0,0,-12),所以CoS(PQ,PP')=—=—

19.【嘉定11】在空间直角坐标系中，点4(1,0,0),点8(5,—4,3),点C(2,0,1),则AB在CA方向上的

投影向量的坐标为.【答案】∣^∣,θ,ŋ【解析】AB=(4,Y,3),C4=(-1,0,-1),所以

II,\(24(AlB∙CA)_7(77、

AJj在CA方向上的投影向量为IABlCoS(AB,CA)Xl~~-∣=―-~酒一×CA=-(-1,0,-1)=—,0,—I

20.【宝山11】某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC,遮阳篷是一个直角边长为6

的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30。角，则当遮阳

篷ABC与地面所成的角大小为时，所遮阴影面48C'面积达到最大.【答案】60°

【答案】如图，设AB中点为。，连接C。、CD,则AB_LCr),AB_LCz)nAB，平面CDe

因此NCOC就是遮阳篷ABC与地面所成的角，求遮阴影面ABC'面积最大，即是求CZ)最大，

_C

其中已知NeC'r>=30°,CD=3及,设NOCC'=e,6,∈(0o,150o),

根据正弦定理一^-=0=>CD=6√2sinθ

sin30osinθ

当e=90°时遮阴影面ABC面积最大，此时ZCDC=60°.

21.【青浦11］已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为下底面圆的直径，C

为下底面圆周上一点，则三棱锥尸-ABC外接球的体积为.【答案】—

48

【分析】设外接球半径为A，底面圆心为。，外接球球心为。，由外接球的定义，结合圆柱的几何性质,

确定球心在线段尸。上，直角三角形APQ匕根据几何关系求出外接球半径，由公式算球的体积.

【解析】由于AB为下底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，所以ΔABC为直角三角形，ZC=90°,

如图所示，设外接球半径为R,底面圆心为Q,外接球球心为。，

由外接球的定义，OP=OA=OB=OC=R,易得O在线段PQ上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ=BQ=I,

54∖r)Sπ

PQlAQ,则OA2=OQ2+AQ2=R2=(2-R)2+ι2=R=∖nL=:7lR3=L^

22.【松江11】动点P在棱长为1的正方体ABeQ-AqClR表面上运动，且与点A的距离是手，点尸

的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为.

【答案】上叵兀【分析】根据题意知1<2叵<及，分情况解决即可.

63

【解析】由题意，此问题的实质是以为A球心，2叵为半径的球，

3

因为1<组<^，所以在正方体ABCD-44GR各个面上交线的长度计算,

3

正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：

ABCD,AAiDiD,为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为；

AB1C1D1,B1BCC1,2。CG为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，

由于截面圆半径为r=走，故各段弧圆心角为三；所以这条曲线长度为3∙-∙述+3∙-∙立=述万.

3263236

23.【长宁11］已知AA是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A,B

的两点，若圆柱的侧面积为4兀，则三棱锥A∣-ABC外接球体积的最小值为.

【答案】用

【：!首先根据题意建立人/?的关系式，再结合基本不等式即可求解最小值.

【解析】如图，设底面圆半径为，圆柱高设为八，则S恻=2兀泌=4兀=厂〃=2.

因为AABC以及均为直角三角形，根据三棱锥A—A8C外接球的性质可知,

AB的中点。即为球心，则A/?+AB?="+4/=从笈？IABl+4户,

3

所以外接球的半径R=亚亘Ξ22

,得三棱锥a—ABC外接球体积为24兀W‘川〃A+W4r

23

所以要外接球体积最小，只需要〃2+4/最小即可,

因为〃2+4产炊h?2r4仍=8，当且仅当〃=2厂时，即r=l,〃=2时等号成立,

8√2

所以三棱锥A-ABC外接球体积的最小值为：4

i-----π.

3

二、选择题

24.[普陀13)已知直线/、m和平面a、β,下列命题中的真命题是（）

(A)若Znj_/,IHa,则机-La(B)若〃∕α,a[β,贝∣]/_!./?

(C)若Uα,allβ,则(D)若/_La,mVβ,^∖l∣∣m

【答案】C【解析】对于A,若加，/,/〃α=现在垂直于/的某平面内，不一定m_La,所以A错误;

对于B,若〃∕α,。，尸=/在平行于α的某平面内，不一定所以B错误;

对于C,若/_La,a∕∕β^>lYβ,所以C正确；对于D,α,尸关系未知，直线的位置关系无

法判定.

25.【杨浦14］对于平面。和两条直线"?、〃，下列说法正确的是（）

A.若加_Lα,mVn,则〃〃。B.若〃?、〃与α所成的角相等，则加〃〃

C.若机〃α,n//a,则俄〃〃D.若MlUα,m//n,〃在平面ɑ外，则〃〃α

【答案】D【解析】对A.〃/∕α或〃uα,A错误；对B,小与〃可以相交，平行或异面，B错误;

对C,加与〃可以相交，平行或异面，C错误；对D,由直线与平面平行的判定定理得〃//ɑ,故

D正确.

26.［奉贤14］紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,

经典的有西施壶、掇球壶、石飘壶、潘壶等.其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台.如图给出了一个石瓢

壶的相关数据（单位：Cm）,那么该壶的容积约接近于（）

A.IOOcm3B.200cm3C.300cm3D.400cm3

【答案】B根据圆台的体积公式计算即可.

【解析】设R为圆台下底面圆半径，r为上底面圆半径，高为〃,

则R=5,r=3,〃=4,

10

.•.%台=!就(尺2+/?厂+产)=∣π×4∙(25+15+9)=ʒ≡≈200(cm3),故选B.

27.【青浦14］已知加，"是两条不同直线，α,£是两个不同平面，则下列命题错误的是（）•

A.若α,夕不平行，则在α内不存在与£平行的直线

B若阳，”平行于同一平面，则加与“可能异面

C.若m,〃不平行，则用与〃不可能垂直于同一平面

D.若α,/垂直于同一平面，则α与夕可能相交

【答案】A【分析】利用相交平面说明判断A；举例说明判断B,D；利用反证法推理说明C作答.

【解析】法一：对于A,因α,〃不平行，令αβ=l,存在直线ouα,α<zp,

若α/〃，则。///，故A不正确；因为是单选题，所以选A

法二：对于B,若ɑ//4，直线力uα,mul,直线匕与胆是相交直线，则有直线6与〃，都平行于£,

把直线b平行移出平面α外为直线〃，且不在£内，此时加与〃是异面直线，都平行于£,B正确；

对于C,假定加与〃垂直于同一平面，则有加〃〃，与"？，〃不平行矛盾，即假设是错的，C正确；

对于D,令CtcB=C,若直线C垂直于某个平面，由面面垂直的判定知α,4垂直于这一平面，D正确.

综上，选A

28.［黄浦14］如图，四边形A38是边长为1的正方形，MD_L平面ΛB（

MD=N3=l,点G为〃C的中点.则下列结论中不正确的是（）.

A.MC±ANB.平面QCM〃平面ABN

C.直线GB与AM是异面直线D.直线GB与平面AMf）无公共点

【答案】D【解析】补全几何体，在正方体ABC。-ANGM中研究，

如图所示：对于A：MC//网,网LAN=MC_LAN,所以A正确；

对于B：正方体ABC£>-ANCM中，平面I）CM〃平面ABN,所以B正确；

对于C：正方体A6C£>-ANGM中，直线GB与AM是异面直线，

所以C正确；对于D.GBIADDyMM,所以D错误；综上所述：选D.

29.【浦东15】已知直线/与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）

①平面ɑ内的所有直线均与直线/异面；②平面α内存在与直线/垂直的直线；

③平面ɑ内不存在直线与直线/平行；④平面a内所有直线均与直线/相交.

A.lB.2C.3D.4【答案】B

【解析】对于①，错误，反例：平面ɑ内存在直线与直线/相交;

对于④，错误，反例：平面α内存在直线与直线/异面；而②，③正确；所以选B.

30.【金山15］已知正四面体ABC。的棱长为6,设集合。={尸||4。区2疗，点2€平面88},则Ω

表示的区域的面积为()A.τrB.3πC.4πD.6π

【答案】C】过点4作Ao_L平面BC。于点。，利用正四面体的特点求出30,Ao的长，从而

得到0P≤2,即得到其表示圆及其内部，则得到其表示的区域面积.

［解析］过点A作AO_L平面BCD于点0,

则Bo=2∙8C∙sin艺=2χ6χ^=2g

3332

=>AO=y∣AB2-BO2=^62-(2√3)2=2√6

因为IA"≤2占，所以OP=√AP2-AO2≤^(2√7)2-(2√β)2=2,1c

则C表示的区域为以。为圆心，2为半径的圆及其内部，面积为射，故选C.

31.【徐汇15］已知平面a、B、y两两垂直，直线4、氏C满足："uα,b<zβ,CUy,则直线〃、

b、C位置关系不可能是()A.两两垂直B.两两平行C.两两相交D.两两异面

【答案】B

［T作出平面以及平面的直线的所有情况即可求解.

【解析】如图1,可得α,b,C可能两两垂直；

如图2,可得α,b，C可能两两相交；

如图3,可得a,b.C可能两两异面.

对于B,如图，假设α∕∕b∕∕c,aγ=m,可得〃2//,

平面α,月,/两两垂直，，机，力，

bu。InLb,这与〃2//6相矛盾，

二假设不成立，故B不正确；故选B.

32.【静安16］“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期

数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问

题：’‘今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为：”今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底

面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则

这个四棱锥的外接球的表面积为()平方尺.

【答案】C

［］将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求外接球

表面积即可.

【解析】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同,

所以外接球的半径为R=C+5'+*=辿至Dl

22阳马

外接球的表面积S=4万夫2=138万.故选C.

C

三、解答题

33.【嘉定17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，已知正四棱柱45CO-44GA，底面正方形ABC。的边长为2,AA1=3.

（1）求证：平面A4,GC，平面48。；

（2）求点4到平面ABQ的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）主叵

11

AAJ■平面AiA±BD

【解析】（1）正四棱柱ABCD-AKGA=><r、——3分

AClBD

分

平面A41CC∣,又3。1平面A3。=>平面AΛ1CC∣，平面A∣8O；3

（2）设点A到平面4B。的距离为d,

AB=A。=/_历,V,√22,

∖BD=^5虫2n丫…=ʃd,3分

SMBD=2,又AIAj_平面ABD=VALABO=2,3分

哄--

,._.,63>∕22ʌ,-,

zzrr42分

由∖-ABD=A-ΛiBD=d—-y=τ=—j-j—为所求■2

34.【崇明17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分,第2小题7分

如图，长方体ASC。一A6∣CQ∣中，AB=BC=BAC与底面ABa）所成的角为45。.

Dl

（1）求四棱锥A-ABCO的体积;TIG

疗

（2）求异面直线AB与42所成角的大小.

4

【答案】（1）-；（2）arccos

36

【解析】（1）因为AA，平面AB8,

所以NA,CA是Ae与底面他8所成的角为45。

AB=BC=O.∙.AC=2=4A=2,...............................4分

114

所以VWBCD=]S∕z=12∙2=];................................7分

A

（2）联结30，BD/IBR.∙.NA1B。是AB与BQl所成的角.....3分

在ΔA∣8f）中，AB=AO=而，BD=2,

外笈+*—.

所以COS/430=.......................................6分

2A,BBD

所以异面直线AB与BQl所成角的大小为arccos—..............................7分

6

35.【松江17］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分

已知AB_L平面BCQ,BClCD

（1）求证：平面ACo，平面ABC；

（2）若AB=1,CD=BC=2,求直线Ao与平面ABC所成角的正弦值大小.

【答案】（1）证明见解析；（2）

3

LW「】（1）先证明CO_L平面ABC,再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.

（2）证明NC4。即为直线AO与平面ABC所成的角，然后解三角形即可求得该角

大小.

【解析】（1）法一：∙.∙ABI平面Ba）,Cf）U平面BCO/.ABlCD,..........2分

法二：∙.∙AB，面BCD,Be上CD,由三垂线定理，得ACJ.8,.......................2分

又∙.∙3CLO）,且ABCBC=B,AB,BCu平面ABC...CQ，平面ABC,…2分

YCDu平面ACf）平面AC。，平面ABC；................2分

（2）：C。，平面ABC.'./CA。即为直线AD与平面ABC所成的角........2分

CD=BC=2,BCYCD,.∙.ZBCD=90=>βf>=2√2

又ABl平面BCD，BZ)U平面BCD；.ABLBD,而AB=I,,AD=VF/=3，

CD2

，在RtZ∖ACZ)中，SinNCAO=----=一,...............3分

AD3

π2

又ZCAD∈[0,-],故线AO与平面ABC所成角的正弦值为；2分

23

【注】用空间向量求解，请相应给分.

36.【金山17]如图，在四棱锥尸一48CD中，己知Q4，底面ABC。，底面ABCQ是正方形，PA^AB.

(1)求证：直线Bol平面PAC；

(2)求直线PC与平面月我所成的角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)aresinɪ.

I1(1)由线面垂直的判定定理即可证明；

(2)以A为坐标原点，分别以AB、4£＞、AP为XYZ轴，

建立空间直角坐标系.分别求出直线PC的方向向量与平面

PBD的法向量，由线面角的向量公式代入即可求解.

【解析】(1)证明：因为PA_L平面AfiCO,且8。U平面ABcD,所以.......2分

在正方形ABCD中，AClfiD,……4分

而Λ4(∏AC=A,……5分

故BD±平面PACi6分

(2)如图，以A为坐标原点，分别以AB、AD.AP为X、V、Z轴，建立空间直角坐标系.

设AB=L则B(LO,0),D(0,1,0),P((),0,l),C(1,1,O),

从而m=(ι,o,τ),pr>=(o,ι,-ι),PC=(ι,L-ι),……8分

设平面PB。的法向量为n=(%,y,Z)，

PBH=O[x-z=O[x=z

则<=>5=V

PDn=O[y-z=O[y=z

令z=l，贝Un=(1,1,1),.......10分

设直线PC与平面PBD所成的角为6,

则sinθ=Icos<PC,〃>∣=∣pc∣-∩=-

……12分

1*1∣∕,c∣∙p∣3,

故PC与平面PBf)的所成角大小为arcsin-.

3

37.【徐汇17](本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)

如图，在直三棱柱ABC-AgG中，AB=AC=I,A4,=4,ABlAC,6E,A5∣交AAI于点

E,。为CCl的中点.

(1)求证：BEL平面Aqc；

(2)求直线与。与平面ABC所成角的大小.

【答案】(1)证明见解析；(2)arcsin—

15

【分析】(D先证明A41，AC,从而可得AC_L平面A4∣瓦8,山~--

进而可得AC_!BE,再由线面垂直的判定定理即可证明；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面A3。的一个法向量，利用向量法求解即可.

【解析】(I)因为三棱柱ABC-AMG为直三棱柱，所以平面他C,所以AA_LAC.

因为ACJABAA=A,所以AC，平面例旦台.

因为BEU平面44,^8,所以ACLBE.

因为8EL43∣,ACABi=A,所以BEL平面AgC；

(2)由(1)知AB,AC,A41两两垂直，如图建立空间直角坐标系A-pz.

则A(OQQ),g(2,0,4),ZX0,2,2),8(2,0,0),z∣

.,A

设E(OQa),则M=(2,0,4),BE=(-2,0,«),

因为AB】LBE,所以4α-4=0,即α=l.∖>.：

所以平面44C的一个法向量为BE=(-2,0,l),又耳。=(—2,2,—2)

则由B∕7∕∕OE,得OELAΛ1,

而AA，ACU平面ACClA,且ΛAAC=A,

所以OE，面ACCIAI,又OEU平面AEC,

所以平面AEC，平面ACC1A.

【号点】线面平行和垂直及面面垂直的判定等知识的综合运用.

39.【杨浦18］（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图所示圆锥P—O中，C’。为底面的直径，AB分别为母线PO与PC的中点，点E是底面圆周上

一点，若NoCE=30。，AB=6,圆锥的高为Ji%.

（1）求圆锥的侧面积S；

（2）求证：AE与PC是异面直线，并求其所成角的大小.

7R

【答案】（1）4∖∕∑τ；（2）arccos-----

20

【解析】（1）设圆锥底面半径为广，母线长为/,

因为CD为直径，AB是APCD的中位线，所以r=AB=√∑,.........2分

/=J"+PO2=J2+14=4,........2分

所以侧面积S=%”=4&万；............2分

（2）因为4、P、C在平面PCZ）内且不共线，E在平面PC。外，

所以AE与PC是异面直线...........2分

连接40、EO,由A、。分别为P。、CD的中点，得Ao//PC,

所以NE40为异面直线AE与PC所成的角或其补角............2分

在AAQE中，Q4=JpC=2,OE=O,取OD中点为F,连接AE,£7"

2

A/?=恒EF=6sin60=-^AE=J-+-=√5.......................2分

22V44

在^AOE中，cosZEAO=

所以异面直线AE1与PC所成角的大小为arccos———

J20

40.［普陀19］（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，"复兴”桥为人行天桥，其主体结构是由两根等长的半圆型主梁和四根竖直的立柱吊起一块圆环

状的桥面.主梁在桥面上方相交于点S且它们所在的平面互相垂直，S在桥面上的射影为桥面的中心。.主

梁连接桥面大圆，立柱连接主梁和桥面小圆，地面有4条可以通往桥面的上行步道.设8为其中的一根立

柱，A为主梁与桥面大圆的连接点.

（1）求证：CD〃平面SQ4；

（2）设AB为经过A的一条步道，其长度为12米且与地面所成角的大小为30°.桥面小圆与大圆的半径之

比为4:5,当桥面大圆半径为20米时，求点。到地面的距离.

【答案】（1）证明见解析：（2）点C到地面的距离为18米.

【解析】（1）连接SO,根据题设条件，得SOL平面OD4,

江

CD±平面ODA,故SOIICD,

且Cr）不在平面SQ4内，SOU平面SQ4,/:\\

所以8〃平面"A；……6分

（2）过B作平面ODA的垂线，垂足为E,连接AE，一y<T一…严二一

则AE为AB在平面ODA上的射影，////>

故NE4B为直线AB与平面。。A所成的角，即NEAB=30°，…9分

易得8E=12sin30'=6……1。分S

过C向地面作垂线，垂足为F,c/（\\

//\\

则C户即为C到地面的距离.……12分/JII

A

其中OD=I6,OC=20,故CD=I2,……13分

所以C尸=Co+BE=12+6=18米.

答：点C到地面的距离为18米.……14分

41.【浦东18］（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.

如图，三棱锥尸一ABC中，侧面/HB垂直于底面ABC,24=依，底面ABC是斜边为AB的直

角三角形，且NA8C=30°,记。为AB的中点，E为OC的中点.

（1）求证：PCVAE-,

（2）若AB=2,直线PC与底面ABC所成角的大小为60°,求四面体PAOC的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）KMoC=

【解析】（1）证明：联结P。，因为尸A=P8,所以P0LA3,

因为侧面QABl.底面ASC,侧面PABl底面ABC=AB,

且POU侧面Q48,所以PO_L底面ABC,L（2分）4

因为底面ABC是斜边为AB的直角三角形，且NABC=30，

所以AC=LAB,L（3分）

2

又因为。为AB的中点，所以A40C为等边三角形，LJLL（4分）

又E为。。的中点，所以AEj_OC,LLL（6分）

PoJ•底面ABC

=＞斜线PCJ_AE（三垂线定理）：LLL（7分）

射影。C_LAE

（2）由（1）知P。，底面ABC,所以直线PC与底面ABC所成角为NPCo=60，（9分）

因为A5=2,所以。C=I,

在放APOC中，PO=tan60=√LLLL（10分）

C_1∙AC_WLLL（12分）

SΔAOC=^sm60

所以/A.c=;X=LLL（14分）

42.【奉贤18](本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

如图，在四面体ABe。中，已知BA=BO=CA=C。，点E是AD中点.

(1)求证：ADl,平面BEC；

9

(2)已知AB=5,∕3DC=arccos—，AD=6f作出二面角O-BC-E的平面角，并求它的正弦值.

25

【答案】(1)证明见解析；(2)作图见解析，主叵.

17

【分八】(1)根据三线合一，线面垂直判定定理解决即可；

(2)取BC的中点/，由ABDESCDE,得EFJ.BC,得NOE尸是二面角。一BC-E的平面角，

再由勾股定理，余弦定理，直角三角形特点解决即可.

【解析】AB=BD,BElAD.∙.E是AD中点1分A

又∙.∙AC=CO.∙.CE1AD1分/\\

且BECE=E,

B

所以AD，平面BEC,1分

又AOU平面ABD，

所以平面ABD，平面BEC；

(2)取BC的中点尸，

DB=DC：.DF1BC

可以证明ABDE^kCDE=EB=EC=EFLBC,

所以NDEE是二面角