新高考2023届高考数学二轮复习练习 第40讲抛物线的双切线问题学生版

第40讲抛物线的双切线问题

一.选择题（共1小题）

1.（2021•吉州区校级一模）设抛物线f=2分（P>0）,M为直线y=-2p上任意一点，

过“引抛物线的切线，切点分别为4,B,A,B,用的横坐标分别为X-Xts,XM

贝1K）

A∙XA+XΠ=2XM

以上都不对

%XBXM

二.填空题（共1小题）

2.（2021•厦门一模）过抛物线E&:炉=4X焦点的直线/与E交于Z,8两点，E在点

8处的切线分别与y轴交于C,。两点，则4√Σ∣CO∣-∣∕8∣的最大值是.

Ξ.解答题（共36小题）

3.（2021•东台市校级模拟）如图，设抛物线方程为χ2=2Q（P>0）,M为直线y=-2p上

任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为N,B.

（I）求证：A,M,8三点的横坐标成等差数列；

（11）已知当加点的坐标为（2,2P）时，I/81=4布，求此时抛物线的方程.

4∙（2021∙苏州期末）如图,设抛物线y=2加（p>0）,M为直线y=-2p上任意一点,过M

引抛物线的切线，切点分别为力，B.求证：A,M,8三点的横坐标成等差数列.

y=-^p

5.（2021•浙江模拟）如图，设抛物线方程为f=2陟（p>0）,〃为直线y=-2p上任意一

点，过"引抛物线的切线，切点分别为4,B.

(I)求直线/8与夕轴的交点坐标；

(∏)若E为抛物线弧/8上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形的边M4,MB

分别交于点C,D,记2=9迎，问2是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理由.

Q&MCD

6.(2012•上海模拟)如图，设抛物线方程为f=2Py(P>0),M为直线/:y=-2p上任意

一点，过M引抛物线的切线，切点分别为/、B.

(1)设抛物线上一点P到直线/的距离为d,尸为焦点，当d-∣尸尸|=|时，求抛物线方程;

(2)若M(2,-2),求线段ZB的长；

(3)求收到直线N8的距离的最小值.

7.(2021•秦州区校级二模)如图，设抛物线方程为f=2py(p>0),〃为直线y=-2p上

任意一点，M不在V轴上，过"引抛物线的切线，切点分别为1,B.

(I)设线段NB的中点为N：

(i)求证：MN平行于y轴；

(ii)已知当Λ/点的坐标为(2,-2p)时，∣N8∣=4j记，求此时抛物线的方程；

(II)是否存在点M,使得点C关于直线48的对称点。在抛物线/=2勿(0>0)上，其

中，点C满足配=次+为(。为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标;

若不存在，请说明理由.

2

y

8.(2012•韶关一模)设抛物线C的方程为*=4y,〃为直线1：尸-M(ffl>0)上任意一点,

过点"作抛物线C的两条切线刈，，监，切点分别为4B.

(1)当M的坐标为(O,-1)时，求过机A,8三点的圆的方程，并判断直线/与此圆

的位置关系；

(2)求证：直线46恒过定点；

(3)当/"变化时，试探究直线，上是否存在点M使△物8为直角三角形，若存在，有

几个这样的点，若不存在，说明理由.

9.(2012•韶关一模)设抛物线C的方程为χ2=4y,Λ∕(x0,%)为直线/=-〃?(加>0)上

任意一点，过点M作抛物线C的两条切线M4,切点分别为N,B.

(I)当M的坐标为(0,-1)时，求过A,8三点的圆的方程，并判断直线/与此圆的位

置关系；

(2)求证：直线/8恒过定点(O,"?).

10.(2021春•城区校级月考)已知抛物线C:/=4y,M为直线/=-1上任意一点，过点

“作抛物线C的两条切线必，/WB,切点分别为4,B.

(1)当M的坐标为(0,-1)时，求过"，A,8三点的圆的方程；

(2)若P(X0,%,)是C上的任意点，求证：尸点处的切线的斜率为左=gx0;

(3)证明：以ZB为直径的圆恒过点M.

11.(2021春•江苏期中)己知抛物线Uχ2=2Q(P>0)的焦点坐标为(0,1).

(1)求抛物线方程；

(2)过直线y=x-2上一点尸(小-2)作抛物线的切线切点为Z,B.

①设直线尸/、AB、尸8的斜率分别为勺，k2,ki,求证：k「k2,%成等差数列；

②若以切点8为圆心,∙为半径的圆与抛物线C交于。，E两点且。，E关于直线48对称,

求点P横坐标的取值范围.

3

12.(2021•益阳模拟)已知抛物线G的方程为f=2勿(p>0),过点M(a,-2p)(α为常数)

作抛物线C的两条切线，切点分别为N,B.

(1)过焦点且在X轴上截距为2的直线/与抛物线G交于0,N两点，Q,N两点在X轴

上的射影分别为。'，N',S∣ρW,∣=2√5,求抛物线G的方程；

(2)设直线NM,3/的斜率分别为尤，k1.求证：尢・七为定值.

13.(2021•崇明区二模)对于直线I与抛物线Γ:/=勺，若/与「有且只有一个公共点且/与

「的对称轴不平行(或重合)，则称/与「相切，直线/叫做抛物线「的切线.

(1)已知尸(%,%,)是抛物线上一点，求证：过点尸的「的切线/的斜率/=£；

(2)已知Λ∕(%,NO)为X轴下方一点，过M引抛物线的切线，切点分别为/区，必)、B(X2,

%)，求证：X∣、X0、Z成等差数列；

(3)如图所示，D(m,n),E(s,f)是抛物线「上异于坐标原点的两个不同的点，过点。、E

的「的切线分别是《、I2,直线/r4交于点GSR)，且与V轴分别交于点2、Et,设士、

%为方程/-0r+b=0(α,beR)的两个实根，max{c,d}表示实数c、d中较大的值，求证:

n

“点G在线段DDiAL的充要条件是“max{∖XJl_1}=粤”•

22

14.(2012•青羊区校级三模)离心率为JΣ的双曲线G:彳-本=1上的动点尸到两焦

2

点的距离之和的最小值为2√2,抛物线C2:x=2py(p>0)的焦点与双曲线G的上顶点重合.

(I)求抛物线C?的方程；

(H)过直线/:y=a(a为负常数)上任意一点W向抛物线C2引两条切线，切点分别为

AB,坐标原点O恒在以/8为直径的圆内，求实数α的取值范围.

15.(2021•福州一模)如图，以原点。为顶点，以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为尸(0,1),

点"是直线/:y=机(加<0)上任意一点，过点M引抛物线E的两条切线分别交X轴于点S,

T,切点分别为B,A.

(/)求抛物线E的方程；

(11)求证：点S,7在以9为直径的圆上；

(III)当点M在直线/上移动时，直线NB恒过焦点尸，求"7的值.

16.已知抛物线C的方程为f=2RV(P>0).

(1)若抛物线C上一点N(X0,6)到焦点F的距离INFI=X0，求抛物线C的标准方程；

(2)过点Λ√(α,-2p)(α为常数)作抛物线C的两条切线，切点分别为4,8(4右8左)，

设直线∕M,的斜率分别为勺，k2,求证匕•《为定值.

17.(2016•石家庄一模)已知抛物线C:∕=2pχ(p>0)过点材(仍，2),其焦点为尸，且|炳

=2.

(I)求抛物线C的方程；

(∏)设6为y轴上异于原点的任意一点，过点£作不经过原点的两条直线分别与抛物

5

线C和圆a(X-I)2+/=1相切，切点分别为4B,求证：尔B、尸三点共线.

18.(2021•宁波期末)已知抛物线C的方程为f=4y,尸为其焦点，过不在抛物线上的一

点P作次抛物线的切线P/,PB,A,B为切点、,且R41PB.

(1)求证：直线48过定点；

(2)直线P尸与曲线C的一个交点为R,求万∙方的最小值.

19.(2021•辽宁)如图，抛物线Cjχ2=4y,。2：/=_2刀5>0),点〃(x0,%)在抛物线

C2±,过M作Cl的切线，切点为4,8(M为原点。时，A,8重合于O),当XO=I-√Σ

时，切线的斜率为-1.

2

(I)求P的值；

(∏)当M在G上运动时，求线段/8中点N的轨迹方程(，，8重合于。时，中点为。).

20.(2021•诸暨市期末)己过抛物线C:Y=4y的焦点F作直线/交抛物线C于4,B两点,

以/,8两点为切点作抛物线的切线，两条直线交于尸点.

(1)当直线/平行于X轴时，求点P的坐标；

(2)当四=2时，求直线/的方程.

21.(2012秋•宜春期末)已知抛物线C:f=4y的焦点为尸，过点尸作直线/交抛物线C于

A、B两点;椭圆E的中心在原点,焦点在X轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=

2

(1)求椭圆E的方程；

(2)经过/、8两点分别作抛物线C的切线乙、I2,切线∕∣与《相交于点M.证明：点M

6

定在直线V=-I上；

(3)椭圆E上是否存在一点AT,经过点AT作抛物线C的两条切线AT4、M'B'(A'."为

切点)，使得直线H8'过点尸？若存在，求出切线的方程；若不存在，试说明

理由.

22.(2021春•思明区校级月考)如图，已知抛物线C,:x2=2py的焦点在抛物线G：N=f+1

上，点尸是抛物线G上的动点.

(I)求抛物线G的方程及其准线方程；

(H)过点尸作抛物线C?的两条切线，4、8分别为两个切点，求ΔΛ48面积的最小值.

23.(2021•嘉兴二模)如图，已知抛物线G:/=2勿的焦点在抛物线。2：夕=；、2+1上，点

产是抛物线C上的动点.

(1)求抛物线G的方程及其准线方程；

(H)过点P作抛物线G的两条切线，〃、N分别为两个切点，设点尸到直线MN的距离

为d,求d的最小值.

24.(2009秋•宁波期末)点4(芭,必)，β(x2,M)是抛物线。:嘲=2了上的不同两点,过Z,

8分别作抛物线C的切线，两条切线交于点尸(x0,%).

(1)求证：X。是西与X2的等差中项；

(2)若直线48过定点M(0,1),求证：原点。是AZMB的垂心；

(3)在(2)的条件下，求ΔΛ48的重心G的轨迹方程.

25.(2021•合肥二模)如图，抛物线E:/=2px(p>0)与圆0:/+/=8相交于/,B两

7

点，且点力的横坐标为2.过劣弧力8上动点P(x0,比)作圆。的切线交抛物线E于C,D

两点，分别以C,力为切点作抛物线E的切线/「/?,∕∣与4相交于点M.

(I)求P的值；

(H)求动点〃的轨迹方程.

26.(2021•合肥二模)如图，已知抛物线无∕=2pχ(p>o)与圆0：刀2+了2=8相交于z,B

两点，且点Z的横坐标为2.过劣弧/8上动点P(x0,%)作圆。的切线交抛物线E于C,

。两点，分别以C,。为切点作抛物线E的切线4，4与4相交于点M.

(1)求抛物线E的方程；

(2)求点M到直线CO距离的最大值.

27.(2011•浙江校级模拟)已知曲线C上的动点2(x,y)满足到点F(O,1)的距离比到直线

/:/=-2的距离小1.

(I)求曲线C的方程；

(H)动点E在直线/上，过点E分别作曲线C的切线E/,EB,切点为4、B.

(i)求证：直线48恒过一定点，并求出该定点的坐标；

(ii)在直线/上是否存在一点E,使得A48Λ∕为等边三角形(/W点也在直线/上)?若存

在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由.

28.(2014•长沙校级模拟)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(O,C)(C>0)到直线

/:X-V-3=0的距离为2&,设尸为直线/上的点，过点尸作抛物线C的两条切线尸/,

8

PB,其中Z,8为切点.

(I)求抛物线C的方程；

(11)当点尸在直线/上移动时，求I/用∙∣8用的最小值.

29.(2014秋•西城区校级期中)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,C)(C>0)到直

线/:x-y-2=0的星巨离为壬.

2

(ɪ)求抛物线C的方程；

(H)设点尸(X。，%)为直线/上一定点，过点P作抛物线C的两条切线尸Z,PB,其中4,

B为切点、,求直线ZB的方程，并证明直线/8过定点。.

30.(2014秋•西城区校级期中)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点尸(0,C)(C>0)到直

线/:x-y-2=0的距离为学.

(I)求抛物线C的方程；

(H)设点尸(%,%)为直线/上一动点，过点P作抛物线C的两条切线尸/,尸8,其中/,

8为切点，求直线18的方程，并证明直线48过定点0；

(HI)过(H)中的点。的直线加交抛物线C于N,B两点,过点4,B分别作抛物线C

的切线∕∣,4，求4，4交点M满足的轨迹方程.

31.(2006•全国卷∏)已知抛物线V=4N的焦点为F,4、8是抛物线上的两动点,

且丽=几而。>0)∙过4、8两点分别作抛物线的切线，设其交点为

(I)证明两.次为定值：

(∏)设A48M的面积为S,写出S=/(团的表达式，并求S的最小值.

32.(2021•台州期末)已知直线//4分别于抛物线V=X相切于/，B两点.

(1)若点/的坐标为求直线《的方程；

(2)若直线4与4的交点为P,且点P在圆(x+2>+y2=ι上设直线4,与N轴分别交于

点M,N,求g的取值范围.

∖ΛB∖

9

33.(2021•武汉模拟)已知抛物线C:y=；W与直线/:y=fcr-l没有公共点，设点尸为直线

/上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A,8为切点.

(1)证明：直线ZB恒过定点。；

(2)若点P与(1)中的定点Q的连线交抛物线C于M,N两点，证明：四LI=逖

IPNl∖QN∖

34.(2021•柯桥区期末)已知抛物线C:Y=2力(p>O),直线y=x截抛物线C所得弦长为

应.

(I)求P的值；

(∏)若直角三角形/1P8的三个顶点在抛物线C上，且直角顶点尸的横坐标为1,过点4、

8分别作抛物线C的切线，两切线相交于点0.

①若直线/8经过点(0,3),求点。的纵坐标；

②求民也的最