计数原理、排列组合、二项式定理-2023年高考数学考试（新高考）（原卷版）

专题15计数原理与排列组合、二项式定理

易命台所

【正解】

一、混淆二项式系数与项的系数致错

I.[f+3）的展开式中√t的系数为（）

A.10B.20C.90D.80

【错解】A,由题可得（+I=C＞（X=G∙3'∙X∣°.

令10-3r=4,则r=2,所以1/+之]的展开式中/的系数为=]0,故选A.

【错因】

【正解】

2、（4-b）”的展开式中,系数最大的项是第项

6

【错解】6或7,（4—b）”的展开式中共12项,第6项的系数为CQ第7项的系数为C：”又C5=C,I,

所以数最大的项是第6或7项.

【错因】

【正解】

二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错

3、二项式（χ-2）的展开式的第二项是（）

A.60X2B.-60X2C.12X4D.-12X4

【错解】展开式的通项为Ct（X）〜（二），令尸=2,可得展开式的第二项为CI=60X2.

故选A.

【错因】

【正解】

三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错

4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2

名,则不同的安排方案种数为O

A.4C；B.C.团团D.2星

2

【错解】选A,先将4名学生均分成两组方法数为再分配给6个年级中的2个分配方法数

为《，根据分步计数原理合要求的安排方法数为C滤.

【错因】

【正解】

5.某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，

6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每

个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案

种数是（）

A.72B.108C.216D.432

【错解】A,根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为2,1,1的三组，再分配到3个检测点，共

•A；种分法，然后把2名“生手”分配至IJ3个检测点中的2个，有A：种分法,

所以共有笺⅛C∙∙A>A"72种不同的分配方案.

【错因】

【正解】

四、计数时混淆有序与定序

6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特

地邀请了三位老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目

顺序，则不同的安排方式有种.

【错解】4：原先有七个节目，添加三个节目后，节目单中共有十个节目，则不同的排列方法

>

有4；种.

【错因】

【正解】

7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有O

A.5040种B.720种C.240种D.20种

【错解】最高个子站在中间,只需排好左右两边,第一步：先排左边,有A：=120种排法,第二步:

排右边,有A；种排法,根据分步乘法计数原理,共有120*6=72（）种,故选B.

【错因】

【正解】

五、混淆排列与组合导致计数错误

8.有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承

担这三项任务，不同的选法种数是（）

A.1260B.2025C.2520D.5040

【错解】先从10人中选出2人承担甲任务：再从余下8人中选出2人分别承担乙任务、丙任务.根

据分步乘法计数原理，不同的选法共有404!H=5040种.故选A.

【错因】。

【正解】

六、考虑问题不全面导致漏计出错

9、如图，洛书（古称龟书）是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神

龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为

肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四

个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方

法数为（）

A.10B.40C.44D.70

【错解】选B,由题意可知，阴数为2,4,6,8,阳数为1,3,5,7,9,若选取3个数的和为奇数，则3

个数都为奇数，共有Cg=IO种方法；所以满足题意的方法共有10种.

【错因】

【正解】

10.某宾馆安排4B,C,D,E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且4,8不能

住同一房间，则共有种不同的安排方法.（用数字作答）

【错解】42,5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则按3,1,1住，有C3∙A3=6O（种），A,B

住同一房间有CUj=I8（种）,故有60—18=42（种）.

【错因】

【正解】

Ik若α,be{1,2,3,4,8,9},则logrtb可表示个不同的实数。

【错解】当。#1,6=1时log,/=。；当α=bHl时k）gt,b=l,当α,b不相等且均不为1时满

足条件的实数个数为4=20,所以log,,b可表示22个不同的实数.

【错因】

【正解】

七、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错

12.已知（x+2）"的展开式中各项的二项式系数的和为256,则这个展开式中X4项的系数

X

是.

4

【借解】令X=I,则4«=256,则〃=4,Cr+1的展开式的通项为.+I=CAr2y=q∙3"∙χ^2r

XX

（r∈N*,r≤4）,由4-2厂=4得r=0,所以所求展开式中X4项的系数是婢.寸=L

【错因】

【正解】

八、利用分步乘法原理计数,分步标准错误

13、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有（）

A.24种B.4种C.43种D.34种

【错解】因为每个盒子有三种投入方法,共4个盒子,所以共有3χ3χ3χ3=34（种）投法.

【错因】

【正解】

九、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错

14、若展开式中前三项的系数和为163,则展开式中系数最大的项第项.

2"-3R

【借解】5或6,展开式的通项为Tm=XCb4,由题意可得，20C!!+2Ci+22C∏=163,

解得，7=9.则展开式中共有10项，且第5项、第6项为二项式系数最大的项。

【错因】

【正解】

,福发迨关

1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组

由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A.12种B.10种C.9种D.8种

2.（I+!）。+》,展开式中Y的系数为（）

X

A.15B.20C.30D.35

3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆

安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）

A.120种B.90种C.60种D.30种

4.某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参

加，那么不同的选派方案种数为（）

A.19B.38C.55D.65

5.若（4一I）4=αo+mx+α2χ2+α3χ3+α4χ4,则念+俏+处的值为（）

A.9B.8C.7D.6

6.若（1-χ）5=ao+a∖x+a2X2+a3X3+a4X4~∖~a5X5y则IaOl-IaIl+∣Q2∣-∣43∣+∣Q4∣-∣α5∣=（）

A.0B.1C.32D.-1

入某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类

节目不相邻的排法种数是（）

A.72B.120C.144D.168

8.（多选题）（X+：）的展开式中，下列结论正确的是（）

A.展开式共6项

B.常数项为160

C.所有项的系数之和为729

D.所有项的二项式系数之和为64

L,JC2J__Ll

9、（多选）已知I'MJTa>0）的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项

系数之和为1024,则下列说法正确的是（）

A.展开式中奇数项的二项式系数和为256

B.展开式中第6项的系数最大

C.展开式中存在常数项

D.展开式中含小5的项的系数为45

10某运动会期间,从3名男志愿者和2名女志愿者中选4名去支援“冰壶”“花样滑冰”“短道速滑”

三项比赛志愿者工作，其中冰壶项目需要一男一女两名，花样滑冰和短道速滑各需要一名，男

女不限.则不同的支援方法的种数是（）

A.36B.24C.18D.42

11.已知（x+2）"的二项展开式中，第三项与第〃-2项的二项式系数和为84,则第四项的系数为

()

A.280B.448C.692D.960

12.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去48,。三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，每

个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）

A.28种B.32种C.36种D.42种

13.现从男、女共8名学生中选出2名男生和1名女生分别参加学校“资源”“生态”和“环保”三个

夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女学生的人数分别是（）

A.2,6B.3,5C.5,3D.6,2

14.（多选）已知8,的展开式中，二项式系数之和为64,下列说法正确的是（）

A.2,10成等差数列

B.各项系数之和为64

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项

D.展开式中第5项为常数项

15.在M（x+y）6的展开式中，Λ∙3y4的系数是（）

A.20B,-C.-5D.--

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16.（多选）为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设

“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（）

A.某学生从中选3门，共有30种选法

B.课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C.课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D.课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

17.（多选）已知1+3xJ展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992,则下列结论正确

的是（）

A.展开式中的有理项是第2项和第5项

B.展开式中没有常数项

C.展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项

D.展开式中系数最大的项是第5项

18.（多选）某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选

考科目，下列说法错误的是（）

A.若任意选择三门课程，选法总数为A彳

B.若物理和化学至少选一门，选法总数为CJca

C.若物理和历史不能同时选，选法总数为C彳-C!

D.若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为C2C3&

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19.(多选)己知(2+x)(l—2x)5=αo+αix+α2X+αM3+α4χ+α5χ5+α6χ6,则()

A.αo的值为2

B.公的值为16

C.m+42+α3+α4+α5+α6的值为-5

D.m+α3+α5的值为120

20.已知多项式(1—2x)+(l+x+x2)3="o+αιχ+α2X2H---Faex6,则