人教A版（2019）选择性必修第一册 空间向量的应用 同步练习（含解析）

人教A版(2019)选择性必修第一册1.4空间向量的应用

同步练习

一、单选题

1.平面ɑ的一个法向量是〃=(；,T,；),平面夕的一个法向量是加=(-3,6,-2),则平

面α与平面夕的关系是()

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

2.在空间直角坐标系中，若直线/的方向向量为a=(l,-2,l),平面α的法向量为

”=(2,3,4),则()

A.IHaB.ILaC.IUa或IHaD./与α斜交

3.在空间直角坐标系内，平面α经过三点A(l,0,2),8(0,l,0),C(-2,l,l),向量

”=(1,/1,〃)是平面&的一个法向量，则2+〃=()

A.-7B.-5C.5D.7

4.设“?、”是空间中两条不同的直线，夕是两个不同的平面，则下列说法正确的

是()

A.若TnJ_a,"，β,m±n,则a，

B.若机ua,nuβ,allβ,则〃“/“

C.若m〃a,n//β,aLβ,则

D.若，"ua,nuB,mllβ,n∕∕a,则

5.在正方体ABCO-AGq中，E,F,G分别是A%CR,AR的中点，贝∣J

()

A.AC〃平面EFGB.AC〃平面EFG

C.B,C±5pgEFGD.BD15FffiEFG

6.若在正方体ABCD-A&C'。'中，点E是88'的中点，则二面角E-AD-O的平面

角的正切值为().

A.√2B.2C.√5D.2√2

7.直角梯形ABa)中，48〃£>。,48=4,。£>=2,4。=2夜,8。1.48,后是边48的中

点，将三角形ADE沿OE折叠到AQE位置，使得二面角A-OE-B的大小为120,

则异面直线A。与CE所成角的余弦值为（）

A.-B.巫C.—D.-

4444

8.已知四棱锥P-ABCR底面是边长为2的正方形，△皿）是以AZ）为斜边的等腰直

角三角形，AB，平面融。，点E是线段PD上的动点（不含端点），若线A8段上存在

点尸（不含端点），使得异面直线PA与“'成30。的角，则线段PE长的取值范围是

（）

9.已知直线/过定点A（2,3,l）,且方向向量为S=（（U,1）,则点P（4,3,2）至（H的距离为

（）

A.在B.立C.叵DY

222

10.已知动点尸在正方体ABCO-ABCA的对角线BR（不含端点）上.设您=2,若

NAPC为钝角，则实数4的取值范围为（）

A.词B.（o,；）C.朗D.朋

11.如图，已知正方体ABCo-44G2的棱长为2,M,N分别为BB-8的中

点.有下列结论:

□三棱锥A-MNq在平面。。CC上的正投影图为等腰三角形;

□直线MN〃平面A

口在棱8C上存在一点E,使得平面AE4，平面MN8；

口若/为棱”8的中点，且三棱锥NHS的各顶点均在同一求面上，则该球的体积

为>∕6π.

其中正确结论的个数是()

A.OB.C.2D.3

12.如图，在圆锥SO中,AB,CO为底面圆的两条直径，ABCD=O,且

ab^d'So=OB=3,SE=∖SB,异面直线Se与。E所成角的正切值为(

)

二、填空题

13.已知α=(0,l,l),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分别是平面α,β,y的法向量,则α,β,γ≡

个平面中互相垂直的有对.

14.如图所示，点A、B、C分别在空间直角坐标系。-盯Z的三条坐标轴上，

OC=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为"=(2,1,2),平面ABC与平面43。的夹角为

θ,则CoSθ=.

15.在空间直角坐标系中，点A(l,2,0),W0,l,0),P(2,2,2),则P到直线AB的距离为

16.如图，在棱长为4的正方体48CD-AEGA中，E为BC的中点，点P在线段

RE上，点尸到直线CG的距离的最小值为1

17.如图，在正四棱柱43CO-ABep中，底面边长为2,直线CG与平面AC"所成

三、解答题

18.如图，四边形ABCz）中，满足AB〃CD,ZABC=90°,AB=I,BC=√3,

CD=2,将.84C沿AC翻折至aPAC,使得叩=2.

(□)求直线C。与平面24。所成角的正弦值.

19.如图，在长方体ABCf>-AAGR中，点E,F分别在棱。R,3B∣上，且2。E=EA,

(1)证明：点G在平面A£尸内；

(2)若AB=2,AD=I,AA=3,求二面角A-E尸-4的正弦值.

20.如图所示，在三棱柱4BC-AB∣G中，ABlAC,AB=AC,四边形8CC∣片为菱

TT

形，BC=2,ABCC,=-,。为BC的中点.

(1)证明：Aa，平面AOB：

(2)若AG=2,求二面角G-A与-C的余弦值.

21.已知直三棱柱ABC-ASC中，侧面44蜴8为正方形，AB=BC=2,E,尸分别

为AC和Ca的中点，。为棱ABl上的点∙BF±AiB,

(1)证明：BFLDE；

(2)当印。为何值时，面BBCC与面JDEe所成的二面角的正弦值最小?

参考答案：

1.C由题设知机=Y”,根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面夕的位置关系.

【详解】平面α的一个法向量是平面夕的一个法向量是“=(-3,6,-2),

.*∙m=-6〃，

•••平面α与平面尸的关系是平行或重合.

故选：C.

2.C由a.〃=o可得al”，所以∕ue或〃∕α,即可得正确选项.

【详解】直线/的方向向量为α=(L-2,1),平面α的法向量为〃=(2,3,4),

因为“∙”=(2,3,4)∙(1,-2,1)=2-6+4=0,

所以a_L〃，

所以/Ua或IHa,

故选：C.

3.D求出AB=(-l,l,-2),BC=(-2,0,1),利用与〃=(LZM数量积为0,求解即可.

【详解】AB=(-1,1,-2),BC=(-2,0,1)

n∙AB=—1+4—2〃=0

n∙BC=-2+//=0

可得〃=2,2=5,λ+μ=1

故选：D

4.A利用空间向量法可判断A选项；根据已知条件判断线线、面面位置关系，可判断

BCD选项的正误.

【详解】对于A选项，设直线机、〃的方向向量分别为：、V，

因为m,α,Cβ,则平面ɑ的一个法向量为；，平面口的一个法向量为v，

因为m_L〃，则“_Lv,故A对；

对于B选项，若〃zuɑ,nuβ,a!∕β,则用、〃平行或异面，B错；

对于C选项，若〃〃夕，Sβ,则小、”的位置关系不确定，C错；

对于D选项，若机uα,nuβ,mllβ,nila,则a、4平行或相交，D错.

故选：A.

答案第1页，共26页

5.A取CC、BC、AB的中点分别记为H、I、J,画出图形根据线面平行的判定定理及

空间向量法证明即可；

【详解】解：取CC、BC、AB的中点分别记为“、/、J,连接厂”、HI,IJ、EJ,

根据正方体的性质可得面EFG即为平面EGFHIJ,

对于A：如图1,ACIIIJ,ACN平面EFG,〃u平面EFG,所以AC//平面瓦G,故A

正确;

图2

对于B：如图2,在平面AQCB中，ACGl=K,则AC平面EFG=K,所以B错

误；

答案第2页，共26页

∕∣

D∖

5

对于C、D：如图3,B卢工平面EGFHL/,因为过平面EG"/〃外一点作坊(。)仅能作

一条垂线垂直该平面，故C、D错误；

其中8。_L平面EGFHIJ可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，

设正方体的棱长为2,则。(0,2,0),4(2,0,2),£(0,0,1),G((M,2),F(L2,2),

所以=(2,-2,2),EG=(0,l,l),EF=(1,2,1),

所以E>4∙EG=0,DB,∙EF=2×l+2×(-2)÷2×l=0,即Dg_LEG,DBi±EF,

又EGEF=E,EG,EFu平面瓦6,所以BQL平面EFG；

故选：A

6.B建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值，进而求出正切值.

【详解】以/为坐标原点，/8所在直线为X轴，ZO所在直线为V轴，AA'所在直线为Z轴

建立空间直角坐标系，设正方体棱长为。，则A'(0,0,a),Zy(O,α,a),

答案第3页，共26页

m∙A!E=ax——Z=O,

I)(0,6Z,0),设平面E4'θ'的法向量为加=(x,y,z),贝∣J,2,解得：y=。，

in∙A,D,=ay=O

令x=l,则z=2,所以"z=(l,0,2),平面AfXO的法向量为〃=(1,0,0),设二面角

同”|∣(1,0,2)QO,0)L际

石一AD-O的平面角为6,可以看出为锐角，则COs。=

丽—一忑一^τ,m

=2.

7.D建立空间直角坐标系求解即可

【详解】建如图所示空间直角坐标系，得4便，-1，0)，D(0,0,2),E(0,0,0),C(0,2,2),所

以AO=卜K,L2),EC=(0,2,2),所以COSAaEC=^il=篇=|.

答案第4页，共26页

故选：D

8.B先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E,F,注意范围，利用异面直线上4与

E尸成角构建关系，解出范围即可.

【详解】由△以£)是以AO为斜边的等腰直角三角形，ABL平面R4E>,取AD中点G,

建立如图空间直角坐标系，

依题意G(0,0,0),A(l,0,0),Q(T,0,0),8(1,2,0),P(0,0,1),设F(l,y,O),,设

£)E=XZ)P=X(I,O,l)=(x,O,x),O<x<l,故E(x-l,O,x),EF-(2-x,y,-x)

又以=(1,0,-1),异面直线E4与EF成30°的角,故••司=网.同cos30。,

即2=0xJ(2-xy+y2+χ2χ3,SP∕=-2(X-1)2+∣,0<X<1,故0,∣L又

23Lɔ/

0<y<2,故yeO,".

故选：B.

9.A本题首先可根据题意得出AP,然后求出IAPl与APX百，最后根据空间点到直线的距

离公式即可得出结果.

【详解】因为A(2,3,l),P(4,3,2),所以”=(2,0,1),

则kH=石，4尸?4当，

由点到直线的距离公式得∣AP∣l"?代=N1,

V1M2

故选：A.

10.C建立空间直角坐标系,

答案第5页，共26页

【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。-小，用坐标法计算，利用NAPC不

是平角，可得ZAPC为钝角等价于CoSNAPC<0,即尸A∙PC<0,即可求出实数2的取值

范围.

设正方体ABCO-AMGA的棱长为1,

则有A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),£>(0,0,1)

□D1B=(1,1,-1),□设RP=(ZX,-2),

□B4=PD1+DlA=(-Λ-ΛΛ)+(l,0,-l)=(l-Λ-Λ,Λ-l),

PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,2)+(0,1,-1)=(-2,1-Λ,Λ-1),

由图知ZAPC不是平角，匚ZAPC为钝角等价于8SZAPC<0,

∏PAPC<O,

(1—Λ)(-+(―Λ)(l—A)+(A-1)=—1)(3Λ—1)<O,

解得(<∕l<l

□4的取值范围是d

故选：C.

H.D对于口,根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于□,以点

。为原点，分别以D4,3C,3R所在直线为χ∕,z轴建立空间直角坐标系，求平面AOG的

法向量，得出法向量与MN不垂直，进而得到结论错误；对于□,运用向量的坐标表示证

明线面垂直，进而得出面面垂直；对于口,根据三棱锥M中的几何特征，找出外接球

答案第6页，共26页

球心。，进而求出外接球半径，得出外接球体积.

【详解】对于「，设CG的中点为M∣,连接/%,DlMl,NM1,

M为8月的中点，.∙.A卬/4G〃"陷，

又ARJ•平面qocc∣,∙∙.平面AoCG,

.・•点A,M在平面OQCG上的正投影分别为Q,M∣,

且点R,N在平面。QCG上的正投影分别为其本身，

••・三棱锥A-MNq在平面2。Ca上的正投影图为QMN,

又DlN=DM=H^=瓜

即∙AMA为等腰三角形，口正确；

对于□,以点。为原点，分别以D4,QC,Q。所在直线为χ,y,z轴,

则。(0,0,0),A(2,0,2),G(0,2,2),B(2,2,0),A(0,0,2),M(2,2,1),N(OJO),

.∙.MN=(-2,-l,-I),DAi=(2,0,2),DC1=(0,2,2),D1B=(2,2,-2),

答案第7页，共26页

=2x2+0χ2+2χ(-2)=0,.∖DβLD∖,βpD1B±DAl,

D1BDC1=0×2+2×2+2×(-2)=0,ΛD1BIDC1,即

又DAICDCl=D,D41u平面ADcDGU平面ADC∣,

.•.»出_1平面4℃|,

即AB=(2,2,-2)是平面A1DC1的一个法向量，

而A8∙MN=(-2)x2+(-l)x2+(-l)x(-2)=-4w0,

；.£)力与MN不垂直，，MN不与平面A。G平行，□错误；

设BC的中点为E,连接AE,由□知，E(l,2,0),AE=(-1,2,0),

BN=(-2,-1,0),MN=(-2,-LT),

AEBN=(T)X(-2)+2x(T)+0=0,..AELBN,即AE_LBN,

AEMN=(-l)×(-2)+2×(-l)+0=0,.∙,AElMN^即AELMZV,

又BNCMN=N,BNU平面MNB,MNU平面MNB,

.∙.AE，平面MM3,又AEU平面AEB∣,.∙.平面AEBj平面MNB,□正确;

对于□,如图，

答案第8页，共26页

若F为棱的中点，又N为梭CD的中点、，：.NFVBC,

8。_1平面448与，，板_1平面448用，

MRU平面AABSN尸，MF,

又MBYBN,:.RtNFM和RtAMBN有公共的斜边MN,

设MN的中点为O,则点。到M,N,B,F的距离相等，

为三棱锥M-M右外接球的球心，MN为该球的直径，

.∙.2R≈BC2+CN2+BM2=√4+l+4≈√6-R=誓

44Γ√6?L

该球的体积为V=—兀R'=—X—π=√6π,□正确.

33[2)

综上所述，正确的结论为□□□.

故选：D.

12.D以OD,。民OS为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角

的余弦值，再得正弦值.

【详解】由题意以0Q，OB,OS为x,y,Z轴建立空间直角坐标系，如图，

A(0,-3,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE=N,

4

1139

OE=05+SE=OS+-SB=(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-),

4444

SC=(-3,0,-3),

_Z7

0e5c3√5

贝∣Jcos<OE,SC>=ii'ii=-——⅛一

。耶C3√iθ×3√2^7o^

4

设异面直线SC与OE所成角为。，则COSe=gs<OE,SC>∣=*,，为锐角,

答案第9页，共26页

√55

J55Sineι∩√11

sin^=—,所以tanα=--=⅛=-.

10cos6>3√53

ɪ

故选：D.

13.0计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.

【详解】因为“∙A=(0,1,1)∙(1,1,0)=1≠0,

α-c=(04,l)∙(l,0,l)=l≠0,

b`e=(LLO),(1,0,1)=1≠O.

所以a,b,C中任意两个向量都不垂直，即α,β,y中任意两个平面都不垂直.

故答案为：0.

14.；分析可知平面AB。的一个法向量为OC,利用空间向量法可求得COSe的值.

【详解】由题意可知，平面A3。的一个法向量为OC=(0,0,2),所以，

|。。〃|42

CoSg=7——j-Λ=------=-.

∣OC∣∙τ∣Λ∣2x33

故答案为：-.

15.迈利用点到直线距离的向量公式即可求解.

2

【详解】依题意得"=(T,T0),”=(1,0,2)

答案第10页，共26页

/∖2___________

则P到直线A8的距离为d=AP2-华华=Q=逑

ʌlU^lP22

故答案为：—

2

16.生叵##金石建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点尸到直线CG距离的函数关

系，再求其最小值作答.

【详解】在正方体A8CO-A4G2中，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(0,4,0),D1(0,0,4),E(2,4,0),C1(0,4,4),CE=(2,0,0),CC1=(0,0,4),ED1=(-2,-4,4)-

因点P在线段。E上，则/le[0,l],EP=ZEA=(-2ZYZ44),

CP=CE+EP=(2-2λ,-4λ,4Λ),向量CP在向量CG上投影长为d=∣笠：：/=4Λ,

ICCll

而ICPl=J(2-2/1)2+(Tziy+(42)2,则点P到直线CG的距离

h=JICPI2-/=2√5Λ2-22+l=2^5(Λ-∣)2+^>竽，当且仅当2=ɪ时取“=”，

所以点P到直线CG的距离的最小值为逑.

5

故答案为：拽

5

17.4以。为坐标原点，D4,OC,。R所在直线分别为X轴，V轴，Z轴建立空间直角坐标

系，设。〃=“，求出平面ACA的一个法向量”，则cos<〃,CG>=g,则可以得到答案.

【详解】解：以。为坐标原点，D4，。。，。。所在直线分别为X轴，V轴，Z轴建立如图所

示的空间直角坐标系，

设Z>2=",则A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,a),故AC=(-2,2,0),Aq=(-2,0,4),

答案第11页，共26页

CC1=(0,0,a)f

设平面A。的一个法向量为〃=("z),则;MTX2;11可取〃=卜』5

n∙CCi22

.,cos<n,CC.>=-----------=「——=’•一一

故∣“"CCJ〃J.+2j2"+4，

又直线CG与平面ACR所成角的正弦值为ɪ,

21

'诟τ7Γ3'解得"4∙

故答案为：4.

本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.

18.(□)证明见解析；(□)—.(□)过B作BOIAC,垂足为0,连PO,DO,作

5

DElAC,垂足为E,易得POLAC,通过勾股定理可得POj_OD,即可得PO_L平面

ACD,进而可得结果；

(□)建立如图所示的空间直角坐标系，平面小。的法向量，利用向量法即可得结果.

【详解】(□)过8作B0J_AC,垂足为0,连P。，D0,则尸OLAC,

作Z)EJ_AC,垂足为E,贝IJf)E=,OE=—,DO—^ɪɪ

22

所以PO?+。。?=pf)2,即PO_LO£)

又ACCDO=O,所以PO_L平面ACD,

又POU平面PAC,

所以平面PACj•平面ACD；

答案第12页，共26页

(□)以o为坐标原点，oc,BO所在的直线为X,y轴建立空间直角坐标系

则A,；,0,0）,C[1,0,0茶,6,θ],H0,0,E

（2）[2J

1万

AP∙n=-a+-c=0

设平面PAD的法向量为n=(。也C),则22

AD∙n=a+ʌ/ɜ/?=0

取法向量;（后-1,7）,CD=（-l,√3,θ）

设直线C。与平面A4O所成角为，,

则Sinθ=∣cos<CD,n>∣=-ɔʃ-.

19.(1)证明见解析；(2)亚1.(1)方法一:连接C∣E、C1F,证明出四边形4EC7为平

7

行四边形，进而可证得点G在平面AEF内;

(2)方法一：以点G为坐标原点，Ca、C即CC所在直线分别为X、y、Z轴建立空

间直角坐标系G-Λ>7,利用空间向量法可计算出二面角A-E尸-A的余弦值，进而可求得

二面角A-EF-A的正弦值.

答案第13页，共26页

【详解】（I）［方法一］【最优解】：利用平面基本事实的推论

在棱CG上取点G,使得GG=；CG,连接。G、FG、C∣E、C1F,如图1所示.

图1

在长方体ABCD-ABC。中，BFIICG,BF=CG,所以四边形BCGP为平行四边形，则

BC/1FG,BC=FG,而BC=40,BC〃AD,所以A£>〃FGAo=FG,所以四边形D4FG

为平行四边形，即有AΛ7ΛDG,同理可证四边形OECQ为平行四边形，.∙.CE〃OG,

.■.C.EIIAF,因此点Cl在平面AEF内.

［方法二］:空间向量共线定理

图2

以GR,GA,GC分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示.

答案第14页，共26页

设ClDι=a,C［B］=b,C］C=3c,则C∣((),(),0),E(4,0,2c),F(0,6,c),A(4,6,3c).

所以C∣E=(4,0,2c),E4=3,0,2c).故GE=E4.所以A尸〃C∣E,点G在平面AEF内.

［方法三］：平面向量基本定理

同方法二建系，并得G(0，°，°)，E(a，0,2c),F(0,b,c),A(a,b,3c),

所以GE=(α,0,2c),G尸=(O,b,c),GA=(α,6,3c).

故GA=CE+C∕.所以点G在平面AEF内.

［方法四］：

根据题意，如图3,设AR=4,A片=2∕J,AA=3C.

AFU平面AEF,

ABlU平面A再GP.

GeAF,GeAlBl,

所以Ge平面AE尸,Ge平面AB∣CQ∣口.

延长AE交4。于，，同理He平面AEF,H∈平面AiBtClDl□.

由□□得，平面4E尸平面ABCQ=GH.

答案第15页，共26页

连接GH,GG,"G，根据相似三角形知识可得Gq=b,DtH=2a.

在町GB0中，GG=Ja2+从.

同理，在RfGR”中，QH=2y∣a2+b2.

图4

如图4,在用AGH中，GW≈3√4Z2+⅛2-

所以G"=C∣G+C∣H,即G,C1,〃三点共线.

因为G"u平面A£F,所以GU平面AEF,得证.

［方法五］：

如图5,连接。尸上综。片，则四边形DEB/为平行四边形，设。片与E尸相交于点。，则

。为EF,。Bl的中点.联结AC∣,由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，

即AcJBA=。，则AG经过点。，故点Cl在平面AEF内.

答案第16页，共26页

B

(2)［方法一］【最优解】：坐标法

以点C为坐标原点，CR、QB∣、GC所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空

间直角坐标系G-孙Z,如图2.

则A(2,l,3)∖A(24,0),E(Zo,2)、F(OJl),

AE=(0,7,-1),AF=(-2,0,-2),AE=(O,T,2),Λ1F=(-2,0,l),

设平面AEF的一个法向量为m=(Xl,,z∣),

tn`AE=0-z∣=0

,得取Zl=-I,得Xl=X=I,则m=(l,l,-1),

m`AF=0-2x1-2z1=0

设平面AEF的一个法向量为“=(々42*2)，

=-

n∙A,E0[y?+2z,=0,x

由ʌ八，得ɔ八，取Z2=2,得％=1，%=4,则〃=(1,4,2,

7

〃∙A∕=0[-2Λ2+z2=0'，

inn35/7

cos<m,n>=1---1=—7=—7=------

∕ni∣∙in∣√3×√217,

2

设二面角A-EF-Ai的平面角为夕，贝∣J∣coSq=sin。=ʌ/l-eosθɪʒɪ.

因此，二面角A-EF-A的正弦值为叵.

7

［方法二］：定义法

答案第17页，共26页

B

图6

在,.AE尸中，AE=y∣2,AF=2^2,EF=√5+T=√6,SPAE2+EF2=AF2>所以

AElEF.在AEF中，AE=AF=石，如图6,设EEAF的中点分别为Λ/,N,连接

AlM,MN,AtN,则4W，EF,MNlEF,所以NAMN为二面角A-EF-A的平面角.

22

在，AMN中，MN=^-,AiM=y∣AlF-MFA1N=√5.

1+7_5

所以cosNAMN=3京拒=-y-,则SinZA1MN==年.

2X—X---

22

［方法三］:向量法

答案第18页，共26页

R

图7

由题意得AE=JlAF=JAF=AE=石,M=#，

由于+£尸=A尸，所以4E_LEF.

如图7,在平面AE尸内作A1GJ.E尸，垂足为G,

则以与GA的夹角即为二面角A-EF-A的大小.

22O2

由∕½=A£+EG+G41,^AAt'=AE'+EG'+GA,^+2AEEG+2EGGA,+2AEGA,.

其中，EG=W∙,AG=半，解得AE∙GA=Lcos(AE,GΛl)=-^.

所以二面角A-EF-A的正弦值叵.

7

［方法四］:三面角公式

由题易得，E4=√2,M=2√2,re=√6,E41=√5,E4l=√5.

EA1+E^-AA^(√2)2+(√5)2-32-JlO

所以COSNAE4=

l2E4∙E4,—-2√2∙^10

fi⅜2+EF。-A尸(夜)2+(卡)2一(2夜)2

cosZAEF==0,SinNAE'F=I

2EAEF2√2∙√6

设夕为二面角A-E尸-A的平面角，由二面角的三个面角公式，得

答案第19页，共26页

_cosZAEA.-cosZAEF∙cosNAEF=普*所以Sine二年

cosθ=--------------------------------------------

sinZΛEF∙sinZΛ1EF

【整体点评】（1）方法一：通过证明直线GE//AF,根据平面的基本事实二的推论即可证

出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证

明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线

说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对

角线互相平分即可证出.

（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求

出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的

两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可

求出.

20.（1）证明见解析；（2）叵.（1）证明ADLBG,8。，4G，则gG_L平面ADB

即得证；

（2）取8C中点为E,连结AE,C1E,证明AEjL平面B8∣CC,以E为坐标原点，C1E,

BE,AE分别为X,外Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）EtJAB=AC,则有A4=AG,又。为AG的中点，所以AO∙LB∣G,

由BC=2,则有BQ=1,BBI=2,

TT

又"BR=/BCG=M

所以BD=QBlB°+BQ?-2B∣B∙BQcosg=6,

则可知BOLBG,

又有AQCBD=D,A。,BDU平面AQ8,所以，平面AQ8；

(2)取BC中点为E,连结AE,C1E,

由A3_LAC,则有AE=：8C=1,

又易知C∖E=BD=g,

则有Al+£炉=4=AC；,所以4E_LGE,

答案第20页，共26页

又可知AELBC,AECClE=E,AE,C∣EU平面88CiC,则4七，平面BBC∣C,

如图，以E为坐标原点，C1E,BE,AE分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系,

有C(O,T,0),4(6,2,0),^(√3,1,1),8(0,1,0),D(√3,l,0),

由AxDHAE,则有A1D±平面BB1C1C,

所以A3,80,

又BZ)J.B∣C∣,AiDB1C1=D,

所以8。，平面ABCI,

所以平面的法向量为(，

AB1C1BD=6,0,0)

设平面ABG的法向量为;;=(χ,y,z),

CJ"∙CB∣=OCnla+3y=0

则有i八，即厂，

［小C4l=O∣^√3x÷2y+z=O

可取；=(-3,G,√5),

记二面角G-AB「C为凡

->→I---

,Cn-BD√15

贝πIJCoSe=—~—=—.

1∏I∣BD∣5

故二面角G-A4-C的余弦值为巫.

21.(1)证明见解析；(2)B1D=I(1)方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直

线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；

答案第21页，共26页

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进

而可以确定出答案；

【详解】（1）［方法一］：几何法

因为所以

又因为AB,BB∣,BFCBBI=B,所以AB，平面8CG5.又因为AB=3C=2,构造正方

体ABCG-AAGa,如图所示，

A1Dn

过E作48的平行线分别与4G,8C交于其中点M,N,连接AM,B∣N,

因为E,尸分别为AC和CG的中点，所以N是BC的中点，

易证RtBCF=RtB1BN,则NCBF=ZBBiN.

又因为NBBlN+ZB∣NB=90。，所以NCBF+NB∣NB=90°,BFlBtN.

又因为BF±4B∣,B∣NABI=BI,所以BFL平面AMN用.

又因为Er）U平面AMNBI,所以BFLDE.

I方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱ABC-AqG是直三棱柱，二8片，底面ABC,.∙∙B41A3

AtB1//AB,BFIA1B1,.-.BFlAB,又BqCBF=BABj_平面BCe内.所以

BA,BC,BBl两两垂直.

以B为坐标原点，分别以BABC,B与所在直线为X,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

答案第22页，共26页

.∙.B(0,0,0),Λ(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A(2,0,2),C1(0,2,2),E(l,l,0),F(0,2,l).

由题设O(4,0,2)(0≤α≤2).

因为5F=(0,2,l),OE=(I-a,—2),

所以8F∙OE=Oχ(l-a)+2χl+lx(-2)=0,所以3尸_LE)E.

I方法三因为AIBWAB,所以BEJ_A8,故3尸44=°，BFAB=O,所

以BF∙ED=BF(EB+BB[+BQ)=BF-B∣D+BF(EB+BB)=BF,EB+BF∙BB、

=BF∖--BA--BC∖+BF-BB.=--BF-BA--BF-BC+BF-BB=--BF-BC+BF-BB

I22)122'12'1

]121

=-^∣BF∣-∣BC∣cosZFBC+∣BF∣∙∣Bβl∣cosZFBBl=--×√5×2×-^+√5×2×-^=0,所以

BF±ED.

(2)I方法一]【最优解】：向量法

设平面OFE的法向量为M=(X,y,z),

因为所=(一1,1,1),Z)E=(I一2),

.∖m-EF=0hX+y+z=O

头jw∙OE=θ'F`In∣(l-α)x+y-2z=0'

令z=2-α,则〃z=(3,l+a,2-")

因为平面BCC14的法向量为54=(2,0,0),

设平面BCGq与平面DEF的二面角的平面角为巴

答案第23页，共