湖南省百校大联考2023-2024学年高一年级上册12月考数学试题

湖南省百校大联考2023-2024学年高一上学期12月考数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.满足{1}=M={L2,3}的集合M的个数为（）

A.2B.3C.4D.6

2.命题“*eR,无2-2彳+3<0”的否定是()

A.不存在xeR,尤2一2尤+320B.HxeR,尤2一2尤+320

C.VxeR,x2-2x+3>0D.VxeR,-2^+3<0

3.若aeR,贝『％=3”是“(a+l)(a-3)=。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.己知函数=则/（/⑴）的值为（）

IX十4%,X<乙,

A.7B.3C.9D.8

5.函数/(x)=log°.5(4x-3)的定义域为()

6.若a=203,b=（0.3）2,c=log3（）.2,则。力，。的大小关系是

A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.c<a<b

7.根据表中数据，可以判定函数〃x）=91nx+2'的零点所在的区间为（）

j_3

X1

4~24

91nx-12.48-6.24-2.590

2X1.191.411.682

8.已知圆。与直线/相切于点A,点P,。同时从点A出发，尸沿直线/匀速向右、。

沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点。运动到如图所示的位置时，点尸也停

止运动，连接。0,0P,则阴影部分的面积S-邑的大小关系是（）

A.SX>S2B.SX<S2

C.S、=S。D.先Si』再Sf,最后，AS?

二、多选题

9.下列图象表示的函数中有两个零点的有（）

10.下列说法正确的是（）

A.两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等

B.tan（-225）=-1

C.若cosa>0,则a为第一或第四象限角

D.扇形的圆心角为3rad,周长为10,则扇形面积为6

11.若〃、b、CGR,则下列命题正确的是（）

A.若,则ac2Vbe2

B.fz2+4Z?2>2«+4Z?-2

C.若正数a、b满足a+6=l,则但+与1的最小值是8

ab

D.a2+b2-ab=l,贝1J/+/<2

12.已知定义在R上的奇函数满足：①〃x）=〃2-x）；②当xe[2,3]时,

f（x）=2-x.下列说法正确的有（）

试卷第2页，共4页

/(x+2)=/(x)

当xe[—3,—1]时，y(x)=—x—2

D.方程7/(x)=x+2有7个实数根

13.cos840=.

14.已知事函数/■(*)=(26+°卜。的图象经过原点，则。=

15.函数〃0=1。82仔-14尸15)的单调递减区间为.

，九<L

16.已知函数〃x)=<2、，若关于X的方程/(X)=0只有一个实数根,

则机的取值范围为

四、计算题

17.化简或求值:

21

⑵lg5?lg20(lg2)-Ig5--lg8.

五、问答题

18.已知集合A={x[l<2"<8},集合3={x[2a<尤<1一〃}.

⑴若a=-l,求AcB；

(2)命题P：xeA,命题Q；xeB,若尸是Q的必要条件，求实数。的取值范围.

19.已矢口函数/(x)=loga(6+尤)一log/6—尤)，其中a>0且awl.

⑴若〃尤)的图象恒过点A,写出点A的坐标；

(2)设函数g(x)=^(x),试判断g(x)的奇偶性，并证明.

20.定义在R上的奇函数〃力满足:当x>0时,/(x)=3v+1-3.

⑴求的解析式；

⑵求不等式I/(X)|26的解集.

21.已知函数〃x)=loga(a*-2r)(a>0且分1).

⑴若。<a<l,且7=1,求“X)的定义域；

(2)若0>1,函数〃尤)的定义域为O,存在使得/⑺在[加,可上的值域为

[2私2〃],求实数f的取值范围.

六、应用题

22.长沙市地铁8号线项目正在进行中，通车后将给市民带来便利.该线路通车后，列

车的发车时间间隔T单位：分钟)满足2<区20,经市场调研测算，列车载客量与发

车时间间隔/相关，当104<20时，列车处于满载状态，载客量为600人，当2型<10

时，载客量会减少，减少的人数与(IO—),成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客

量为280人，记列车载客量为P。).

(1)求P。)的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量.

(2)若该线路每分钟的净收益。⑺/尸⑺J'。。+1000(元)，问当发车时间间隔为多少

时，该线路每分钟的净收益最大？并求出最大值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】根据子集的概念可得集合M的个数.

【详解】因为{1}="={1,2,3},所以集合M可能为：{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}共4种情

况.

故选：C

2.C

【分析】根据存在量词命题的否定，直接得出结果.

【详解】由题意知,命题“aceR,尤-2尤+3<0”的否定为

ttVxeR,x2-2x+3>0,'.

故选：C

3.A

【分析】由（。+1）（。-3）=0得。=-1或。=3,结合充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】由（。+1）（。-3）=0,得a=—1或。=3,

所以“。=3”是“a=-l或a=3”的充分不必要条件，

即“a=3”是“（a+1）（"3）=0”的充分不必要条件

故选：A

4.D

【分析】由里到外逐步代入即可求解.

【详解】/（1）=-1+4=3,/（/（1））=/（3）=3X3-1=8,

故选：D

5.B

【分析】利用对数的真数大于零可求得函数"%）的定义域.

【详解】对于函数〃x）=logo，（4x—3）,有4尤一3>0,解得x>j

故函数/（x）=log05（4x-3）的定义域为1,+j.

故选：B.

6.C

答案第1页，共10页

2

【详解】：。=2°3>2°=1,0<Z>=(0.3)<1,C=log30.2<log31=0,

c<b<a.故选C.

点晴：本题考查的是指数式，对数式的大小比较.解决本题的关键是利用指、对数函数的单

调性比较大小，当指、对函数的底数大于0小于1时，函数单调递减，当底数大于1时，函

数单调递增；另外由于指数函数过点(0,1),对数函数过点(1,0),所以还经常借助特殊

值0,1比较大小

7.D

【分析】由函数零点的判定定理可知，使函数值一正一负即可.

【详解】由题意可得/(；|=-12.48+：1.19=-11.29,《£|=-6.24+1.41=-4.83,

/^=-2.59+1.68=-0.91,/(1)=0+2=2

由于函数〃x)=91nx+2*为增函数，则函数有一个零点所在的区间为

故选：D.

8.C

【分析】根据给定条件求出扇形AOQ与一O”面积，再由面积的关系即可判断作答.

【详解】因圆。与直线/相切，则。4LAP,于是得AO尸面积S°针=；O4AP，

令弧AQ的弧长为/,扇形AOQ面积S=gb=g/-OA,

依题意/=AP,即S=S°”，令扇形A02面积为S',则有S，+S[=V+S2，gp5,=S2,

所以阴影部分的面积反，》的大小关系是岳=邑.

故选：C

9.AC

【分析】根据函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系，结合图形依次判断即可.

【详解】A：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故A符

合题意；

B：由零点的定义知，该图象与龙轴有3个交点，所以该函数有3个零点，故B不符合题意；

C：由零点的定义知，该图象与x轴有两个交点，所以该函数有两个零点，故C符合题意;

D：由零点的定义知，该图象与x轴有1个交点，所以该函数有1个零点，故D不符合题意；

故选：AC

答案第2页，共10页

10.ABD

【分析】利用终边相同的角的定义可判断A选项；利用诱导公式可判断B选项；利用三角

函数值符号与角的终边的位置关系可判断C选项；利用扇形的弧长和面积公式可判断D选

项.

【详解】对于A选项，两个角的终边相同，则它们的大小可能不相等，A对；

对于B选项，tan(-225)=-tan(180+45)=-tan45=-1,B对；

对于C选项，若cosa>0,则a为第一或第四象限角或终边落在x轴正半轴上，C错；

对于D,设扇形的半径为「，弧长为/,则/+2r=10,-=3,联立解得/=6,r=2,

r

所以该扇形的面积为1”=!><6x2=6,D对.

22

故选：ABD.

11.BD

【分析】取c=0可判断A选项；利用作差法可判断B选项；由已知可得出

-+^=-+7+7,结合基本不等式可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.

abab

【详解】对于A选项，当c=0时，ac2=bc2,故A错误;

对于B选项，+4Z?2-（2o+4fo-2）=（a-l）2+（2Z?-1）2>0,

Ct—

当且仅当，1时，等号成立，故B正确;

b=—

I2

对于C选项，因为正数a、满足a+b=l,

匚二r、i〃+14b+1a+a+ba+b+Ab厂A

所以——+-----------+=—bI--a--1-7>2,匹@+7=9,

aba--------babab

ab

ba

当且仅当卜+6=1时,即当。=匕=；时，等号成立,

«>0,/?>0

所以，匚十二六的最小值为9,故C错误；

ab

对于D选项，因为4+人222ab,当且仅当〃=〃时，等号成立，

由/+=1知/+/=1+«1+"+"，可得a?+/«2,

2

[a=b

当且仅当《27217时，即当a=b=l或4=人=-1时，等号成立，故D正确.

\a+b=\+ab

答案第3页，共10页

故选：BD.

12.ACD

【分析】推导出函数/(x)的周期为4,结合周期性可判断AB选项；利用周期性和对称性

求出函数/(X)在[-3,T]上的解析式，可判断C选项；数形结合可判断D选项.

【详解】对AB,因为函数/(X)在R上为奇函数，故〃x)=-〃r),

因为/(x)=/(2—x),即〃2r)=-〃r),贝ij〃2+x)=—〃力，

故/(x+4)=-〃x+2)"(x),故的周期为4,故/(一1)=/(3)=-1,故A正确,B

错误；

对C,因为/(x)是奇函数，所以当xe[-3,—2]时，-xe[2,3],

故/(-x)=2+x=-/(%),则/'(x)=-x-2,

当xe[-2,—l]时，x+4e[2,3],/(x)=/(x+4)=2-(x+4)=-x-2,

故当xe[—3,—l]时，/(x)=-x-2,故C正确；

对D,7/(x)=x+2,即〃x)=1+m，如下图所示：

Y9

由图可知，直线y=与函数/(X)的图象共有7个交点，故D正确.

故选：ACD.

13.—/—0.5

2

【分析】利用诱导公式可得出所求代数的值.

【详解】cos840=cos(840-2x360)=cosl20=cos(180-60)=-cos60=一；.

故答案为：

14.—/0.5

2

答案第4页，共10页

【分析】利用幕函数定义及图象特征求解即得.

【详解】幕函数/（无）=（2/+冷靖，得2a2+a=i,解得a=g或.=—1,

11一

当4=5时，〃力=/，其图象经过原点；

当a=-l时，f（x）=xl,其图象经不过原点

故答案为：g

15.

【分析】先求出函数定义域，然后根据复合函数单调性的规则来确定单调递减区间.

【详解】令尤2—14%—15>0,得无<一1或x>15.

因为函数y=YT4x-15=（尤-7f-64在（-oo,T）上单调递减，

在（15,转）上单调递增，且函数y=log2x在（0,+8）上单调递增，

所以根据复合函数的单调性可得/（x）的单调递减区间为

故答案为：（­0，-1）.

16.（-8,0）31}

【分析】根据函数图象即可根据图象交点求解.

【详解】画出“X）的大致图象，如图所示.关于X的方程/（X）-〃2=。只有一个实数根，结

合图象可得加的取值范围为（-8,0）={1}.

故答案为：（T,0）U{1}

1

17.⑴户

(2)0

答案第5页，共10页

【分析】(1)由指数塞的运算得到；

(2)由对数的运算得到.

51

a〃(-4'7'7

［详解］⑴原式二丁口二UF"?a°

辟加/4

(2)原式

=lg5?(lg4Ig5)+(lg2)2-lg5-lg2=(lg5)2+21g5?Ig2(lg2)2-(Ig5+lg2)=(lg5+lg2)2-(Ig5+lg2)=12-1=1

18.⑴AcB={x[0<x<2}

(2)[0,+oo).

【分析】(1)根据指数函数的单调性，化简集合A,即可由交运算求解,

(2)根据集合间的包含关系即可求解.

【详解】(1)由人=卜[1<2，<8}可得4={引0<无<3},

当a=-l时，B={尤卜2cx<2},所以AcB={尤|0<尤<2}.

(2)因为尸是。的必要条件，所以

当3=0时，2a21-a,解得

2a<1-a,

当3x0时，2a>0,,解得

1—〃W3,

综上，实数。的取值范围为[。,+8).

19.(1)(0,0)

⑵g(x)为偶函数，证明见解析

6+Y

【分析】(1)令卢=1,解出X,进而可得定点；

o-x

(2)先确定g(x)的定义域，然后通过证明g(-x)=g⑺可得答案.

【详解】(1)由题意得f(x)=log〃y,

6-x

答案第6页，共10页

令*=1，得x=0,log.1=0,

o-x

则点A的坐标为(0,0)；

(2)g(x)为偶函数,证明如下：

f6+x>0/、,,、

由6T>0'得dvxvG,即8(力的定义域为(z-6,6),关于原点对称.

因为g(-尤)=一无log”f—=龙log。=g(无)，

6+x6-x

所以g(x)为偶函数.

31+3,工<0

20.⑴〃x)=<0,x=0

3x+1-3,x>0

【分析】(1)根据题意，由函数的奇偶性，代入计算，即可得到结果；

(2)根据题意，分x<0,x=0以及x>0讨论，结合指数函数的单调性求解，即可得到结

果.

【详解】£1)因为当x>0时，/(x)=3x+1-3,

设x<0,贝U-x>。，则〃一了)=3-前一3,

又/(x)是定义在R上的奇函数，/(0)=0,

且-/(x)=/(-%)=3-同一3,则/(司=—3—+3,

-3-x+1+3,x<0

所以〃x)=0，x=0

3"+1-3,x>0

<3三+3,尤<0

(2)由(1)可知，/(%)="Q,x=0,

3x+1-3,x>0

当x<0时，由|/(x)|26可得，卜3TM+3t6,

即一3一工+1+326或一3.+34-6,解得xe0或xV—1,

答案第7页，共10页

又x<0时，所以解集为（-s,T］；

当x=0时，/（%）=0,0>6,显然不成立;

当x>0时，由|/（x）|26可得，|3加一3,6,

即3工+1—326或3耕1一34—6,解得或xe0,

又x>0,所以解集为0，+（»）；

综上所述，不等式1/（切26的解集为

21.（l）（-oo,loga2）

⑵心

【分析】（1）当。<。<1且t=l时，可得出〃x）=log“（优-2）,利用对数的真数大于零以及

指数函数的单调性可求得函数/（X）的定义域；

（2）分析可知，关于x的方程log”（优-2/）=2x有两个不同的解，令/=〃，可得出方程

I一〃+2，=0有两个不同的正根，分％«0、%>0两种情况讨论，结合二次函数零点分布可求

得才的取值范围.

A

【详解】（1）解：当0<°<1且f=l时，/（%）=loga（a-2）,

由题知，一2>0,即a，>2,解得尤<log“2,

故当—1=1时,函数/（无）的定义域为（y,log。2）.

（2）解：因为因为内层函数p=a'-2/在定义域内为增函数，

外层函数y=log.P在定义域内为增函数，所以，函数/（X）在定义域内单调递增，

因为函数“X）的定义域为O,存在在","］=£）,使得/'（x）在卜小川上的值域为［2机2可，

故ifU，所以，关于x的方程l°g〃（优一2/）=2%有两个不同的解，故/-2/=j，

即油-/+2/=0有两个不同的解.

令优=〃，若方40,则Z）=R,〃：>0,

答案第8页，共10页

即方程储+2t=0可转化为“2一"+2/=0有两个不同的正数根，

令g（"）="2-"+2r,则A=1-8f>0,

设函数g（"）="2-a+2r的两个零点分别为对、“2，则4%=2tW0,不合乎题意；

若f>0,J^D=（loga（2f）,+oo）,u>2t,

即方程编-/+2/=0可转化为I_〃+2r=0