2014-2023年天津高考真题与模拟试题：数列（解析版）

大数据之十年高考真题(2014-2023)与优质模拟题(天津卷)

专题08数列

真题汇总

1.【2023年天津卷06]已知｛册｝为等比数列，Sn为数列｛时｝的前n项和,an+1=2Sn+2,则a4的值为()

A.3B.18C.54D.152

【答案】C

【详解】由题意可得：当n=l时，a2—2ax+2,即由勺=2。1+2,①

当n=2时，=2(%+a2)+2,即a[q2=2(%+c^q)+2,②

3

联立①②可得%=2,q=3,则&4=arq=54.

故选：C.

2.【2016年天津理科05]设｛〃”｝是首项为正数的等比数列，公比为q,则“夕<0”是“对任意的正整数〃，,⑵

-1+42“<0"的()

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】解：｛“"｝是首项为正数的等比数列，公比为q,

若"q<0”是"对任意的正整数n,42小|+。2"<0"不一定成立，

例如：当首项为2,q=—当时,各项为2,-1,-,—寺，…，此时2+(-1)1>0>—+(—^)>0；

而“对任意的正整数"，"2"一|+"2"<0”,前提是

则“qVO”是“对任意的正整数“，42“」+。2〃<0''的必要而不充分条件，

故选：C.

3.【2014年天津文科05】设｛“”｝的首项为ai,公差为-1的等差数列，S”为其前〃项和，若Si,S2,S4成

等比数列，贝Uai=()

11

A.2B.-2C.-D.-4

22

【答案】解：•••｛“”｝是首项为m，公差为-I的等差数列，S”为其前〃项和，

・・Si=〃1,Si~~2。।-1,S4=4〃]-6,

2

由Si,S2,S4成等比数列，得：S2=Si-S4,

2

即(2%—l)=%(4。1—6),解得：at=

故选：D.

4.【2014年天津理科11】设｛〃〃｝是首项为m,公差为-1的等差数列，S〃为其前〃项和，若Si,S2,S4成

等比数列，则m的值为.

【答案】解：由题意可得，如=切+(«-1)(-1)=幻+1-〃，&=幽产=吟1产2

2

再根据若Si,S2,S4成等比数列，可得S2=SrS4,即(2%-1)2=〃]•(4f/i-6),

解得〃1=一±,

故答案为：

5.【2023年天津卷19]已知｛即｝是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4.

⑴求的通项公式和£玄3at.

(2)已知｛%｝为等比数列，对于任意k€N*,若2kTwnW2k-l,则尻<即<与+1，

(I)当k22时，求证：2女—1<尻<2女+1；

(II)求｛%｝的通项公式及其前n项和.

【答案】⑴斯=2n+1,葭A七=3・4”T；

nn

(2)(I)证明见解析；(U)bn=2,前n项和为2+i—2.

【详解】(1)由题意可得俨2+=符+廿=16,解得优1=3,

(a5—a3=za=4Id=2

则数列｛%｝的通项公式为4=Qi+(九一l)d=2n+1,

n

求和得瑞3a£=£匿，⑵+1)=2£葭Li+(2-1+2吁1+1)

=2[2时1+(2"T+1)+(2n-1+2)+…+(2n-1)]+2"T

=2(2"-1+2"-1>2"-1+2吁1=3.4nT.

2,

k

(2)(I)由题意可知，当2"1<n<2-1时，bk<an,

k

取n=2f则氏<a2k-i=2x+1=2"+1,即玩<2+1,

当2kT<n<-1时，a”<bk,

取n=2fc-1-1,此时即==2(2k-1-1)+1=2k-1,

据此可得2k-l<bk,

kk

综上可得：2-l<bk<2+l.

(11)由(I)可知:1cbi<3,3<与<5,7<b3<9,15<b4<17,

据此猜测勾=2%

n

否则，若数列的公比q>2,则bn=瓦q"T>瓦x2-i>2“T,

注意到2皿-1-(2n-1)=1-2nt,则2*1-(2n-1)>0不恒成立,即271T>2n-1不恒成立，

71

此时无法保证2-1<bn,

1

若数列的公比q<2,则bn=biqn-i<瓦x2"-<3x2f

注意到3x2时1-(2n+1)=2时1-1,则2时1-1<0不恒成立，即3x2时1<2n+1不恒成立,

此时无法保证+

综上，数列的公比为2,则数列的通项公式为b=2%

n+1

其前n项和为：Sn=必巴=2-2.

6.[2022年天津卷18]设｛5｝是等差数列,｛b｝是等比数列，且%=瓦=a2-尻=。3-坛=1.

(1)求｛4｝与｛匕｝的通项公式;

(2)设｛即｝的前n项和为国，求证：(Sn+i+an+1)bn=Sn+1bn+1-Snbn；

(3)求E占E+i-(-1)%小%.

【答案】(1)即=2n—1,%=2nt

(2)证明见解析

门、(671-2)4计1+8

1J9

【详解】(1)设｛Qn｝公差为d,｛bn｝公比为q,则6=1+(加一l)d4=砂一1,

由a2-b=a-b=1可得(黑-2:]=>d=q=2

233q(d=q=0舍去),

n-1

所以册=2n-l,bn=2；

(2)证明：因为bn+i=2bnH0,所以要证(Sn+i+an+1)bn=Sn+i^n+i-Snbn,

a

即证(S7i+1+n+l)^n=Sn+1•2bn一S"n，即证Sn+1+Qn+1=2sH+1—Sn,

即证Qn+1=Sn+1—Sn,

而Qn+1=Sn+i-S九显然成立，所以(Sn+i+dn+1)bn—Sn+「bn+±Sn,bn;

(3)因为一(一1)献一%2乂-1仍2*_1+[。2上+1一(-1)2“口2上仍2k

=(4々-1+4k—3)x22"-2+[4k+1—(4fc-1)]x22k^=2k•小，

所以E建15+1-(-1)"以]以=£2=1[(Q2k—(-1)2"一"2k-1)力2九-1+(。2加+1一(-1)2"。2上)82上]

=£2=i2k•小，

设〃=2k•小

所以7；=2x4+4x42+6x43+…+2nx4n,

贝=2X42+4X43+6X44+■■■+2nx4n+1,

作差得-37；=2(4+42+43+44+•••+4n)-2n-4n+1=一2nx4n+1

1—4

(2-6n)4n+1-8

，

=-----------3-----------

所以"=Q-2)：E+8,

所以第—(一1)"以"=3户•

7.【2021年天津19]已知｛an｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.｛匕｝是公比大于0的等比数列,

b]=4,b3—b2=48.

(I)求｛an｝和｛匕｝的通项公式;

(II)记d=b2n+2，n6N*,

°n

(i)证明｛W—C2"｝是等比数列；

【答案】(I)斯=2"-1,〃6%*,%=44,neN*；(II)(i)证明见解析；(ii)证明见解析.

【解析】

(I)因为｛an｝是公差为2的等差数列，其前8项和为64.

Oy7

所以%+a2+…+他=8al+X2=64,所以%=1,

所以册=+2(H-1)=2n-1,71GN*：

设等比数列｛%｝的公比为q,(q>0),

22

所以％—b2=brq—瓦q=4(q—q)=48,解得q=4(负值舍去)，

n

所以bn=b]qhT=4,九€N*；

2n

(II)(i)由题意，cn=b2n+^-=4+^,

°n,

所以W_C2n=(42"+,)2—(4=+专)=2•乎，

所以W_C2n#0,.目%f+2=雾1=4,

11"若-C2n2-4n

所以数列｛W-C2n｝是等比数列；

(ii)由题意知，4=四三臀+D=告〈抵，

Cn-C2n//•/

卜曲+1<I4n2_2?i_J____n_

2nn71

y]c^-c2n\22-yf2-2—近2T

设7=»1备=看+5+5+…+号，

则品=*+9+竟+…+京

两式相减得/=1+[+蠢+…+念•一卷=1；_『一巧=2-等,

2

所以〃=4—需，

n

席.母=剑—黔<2r

Zk=l

8.【2020年天津卷19]已知｛即｝为等差数列,｛b｝为等比数列,%=瓦=1,%=5(a4-a3),b5=4(b4-b3).

(I)求｛a7和｛%｝的通项公式;

nGN，

(II)记｛%3的前？1项和为Sn，求证:SnSn+2<5n+l()'

Gai)/n为奇数

a(』‘"'求数列&｝的前2rl项和.

自，口为偶数.

(t>n+l

【答案】(I)an=7l，%=2时1；(II)证明见解析；(U1)三一霁一!

“112n+l9x4n9

【解析】

(1)设等差数列的公差为d,等比数列｛g｝的公比为小

—

由%=1,as=5(a4«3)1可得4L

从而｛即｝的通项公式为即=n.

由仄=l,b5=4(b4-b3),

又呼0,可得q2—4q+4=0,解得q=2,

从而｛为｝的通项公式为%=2n-\

(H)证明：由(I)可得SnuKf2，

故S71sh+2=；n(n+l)(n+2)(n+3),S£+i=[(九+1)2(〃+2尸,

从而S71s九+2—S/+i=—|(n4-l)(n+2)V0,

所以S71szi+2<S/+i.

(3即-2)如_(3n2)2nT_2汽+1_2n一］

(HI)当，为奇数时,

anan+2n(n+2)n+2n

当〃为偶数时，。=产=展，

Dn+1N

对任意的正整数小有£忆】C2J=W-W)=嘉一1，

和盘需=：+号+捺+…+辞+工①

由①得［£E=1C2k=*+,+捺+“,+告止+意1②

1.2,22n-l_京-前1

2n-l

由①②得：EblC2k—十---十...十--------------------«------

4424n4n+11-144n+1

4

由于泊-前12n-l=22>112k1.=56n+5

1-i44n+1334n44n4123x4n+1

4

从而得：££=1c2k=；-翳・

6?l+5_4

因此，^ck=^=1c2k_1+^=1c2k=^

9x4n9

所以，数列｛7｝的前2〃项和为蓝G-翳^一，.

9.12019年天津文科18］设｛即｝是等差数列，｛加｝是等比数列,公比大于0.已知ai=bi=3,历=〃3,。3

=4。2+3.

(I)求［〃｝和｛岳｝的通项公式;

、，，(1,八为奇数,、*

(II)设数列｛Cn｝满足Cn=J人n为偶数求…(〃仁N).

【答案】解：(I)｛〃〃｝是等差数列，｛加｝是等比数列，公比大于0・

设等差数列｛S,｝的公差为止等比数列｛加｝的公比为/q>0.

由题意可得：3夕=3+2J©；37=15+44②

解得：d=3,q=3,

故的=3+3(M-1)=3〃，0=3x3"1=3"

(1,。为奇数,

(H)数列｛5｝满足2卜n为球.

a\C\+6Z2C2+...+a2nC2n(〃eN》)

=(m+〃3+。5+...+。2〃-I)+(alb1+。4历+〃6。3+...+42彷〃)

=［3〃+9丁)X6J+(6x3+12X32+18x33+...+6nx3,')

=3n2+6(lx3+2x32+...+nx3")

令Tn=(lx3+2x32+...+nx3M)①，

则37^=1X32+2X33+...+n3,,+1@,

②-①得：2T"=-3-32-33...-3nW+1

=-3Xy^+/?3,,+l

(2n-l)3n+1+3

=2；

故dici+a2C2+...+a2nC2n—3n2+6Tn=~?+6n(n£N,)

10.[2019年天津理科19]设｛“”｝是等差数列，｛尻｝是等比数列.已知ai=4,bi=6,bi—laz-2,加=2。3+4.

(I)求他"｝和仍”｝的通项公式；

12%<f2fc+1

»'其中MN*.

｛k

bk,n=2,

(f)求数列｛a2n(。2“—1)｝的通项公式；

(ii)求£着aid(〃GN*).

【答案】解：(I)设等差数列｛而｝的公差为d,等比数列｛加｝的公比为q,

依题意有：

仅解得心,

(6q/=124-4d(q=2

/.an=4+(n-1)x3=3〃+l,

为=6x2"1=3x2”.

12k<n<C2k+1

'_k'其中ZCN*.

｛bkf71=2f

：.a2n(c2n-1)=a2n(尻-1)=(3x2〃+l)(3x2〃-1)=9x4〃-1,

・・・数列伍2n(C2"T)｝的通项公式为：

a2n(c2九-1)=9x4〃-1.

ici-

(ii)Zf=ia©=[ai+ai(ci-1)]=Sf=iq+Sf=ia2(2D

=(2nx4+2n(2^~1：>x3)+%i

(9x型-1)

=(3x221+5x21)

=27x22n+l+5x2,rl-n-12.(nGN*).

11.【2018年天津理科18】设｛“"｝是等比数列，公比大于0,其前〃项和为S“(〃CN*),出｝是等差数列.已

知41=1,43=42+2，<24=加+加，45=/>4+2/>6.

(I)求伍”｝和｛阮｝的通项公式；

(II)设数列｛%｝的前〃项和为T”(〃GN*),

(«)求Tn;

⑴证监片温^鬻=备-2"CN*).

【答案】(I)解：设等比数列｛a,,｝的公比为如由"1=1,“3=42+2,可得『-4-2=0.

：q>0,可得4=2.

故a”=2nt.

设等差数列｛加｝的公差为d,由〃4=加+/>5,得〃i+3d=4,

由。5=64+2匕6,得3bi+134=16,

••b\=d=\.

故bn=n；

(n)(i)解：由(I),可得Sn==2n-l,

故〃=£2=i(2k-1)=n=i2k—n=2x；［")_n=2"】一n-2；

fc+1k+1k+1

....皿R..(Tk+bk+2)bk(2-fc-2+/c+2)fck-22k+22

\ll)lit明：♦--------------=----------------------=--------------=-------------.

(k+l)(/c+2)(/c+l)(fc+2)(k+l)(/c+2)/c+2Zc+1

.严(几+%+2)玩一汽32224232"+22升12n+2

•>k=T(q_2)+(彳―至)+…+(布_布)_诉_2・

12.【2018年天津文科18］设｛斯｝是等差数列,其前〃项和为S("CN*)；｛为｝是等比数列，公比大于0,

其前，7项和为刀？(〃£N*).已知。1=1,加=历+2,〃4=。3+。5，力5=44+2。6.

(I)求S〃和Tn；

(II)若S?+(71+72+......+/〃)=〃〃+4M求正整数〃的值.

【答案】解：(I)设等比数列｛尻｝的公比为夕，由加=1,左=m+2,可得夕2-q一2=0.

V(/>0,可得夕=2.

n

1_2n

故%=2九-LTn=^=2-1；

设等差数列｛〃〃｝的公差为d,由〃4=田+45,得m+3d=4,

由加=。4+2〃6,得3〃i+13d=16,

Mr_°n(n+l)

故dn——〃，Sn=-----；

(II)由(I),可得T1+72+……+。=(21+22+-+2n)-n=_=2,,+|-n-2.

1-Zn

由S〃+(T1+乃+...+Tn)=an+4bnf

可得M71)+2-1-n-2=n4-2n+1,

整理得：n2-3n-4=0,解得〃=-1(舍)或〃=4.

•"的值为4.

13.【2017年天津理科18】已知｛〃〃｝为等差数列,前〃项和为S〃(〃£N+),｛加｝是首项为2的等比数列,

且公比大于O历+加=12,加=。4-2。1,511=比加.

(I)求｛的｝和｛加｝的通项公式；

(II)求数列｛。2〃历〃-1｝的前〃项和(n^N+).

【答案】解：(/)设等差数列｛〃”｝的公差为d,等比数列｛氏｝的公比为g.

由已知历+例=12,得bi(夕+/)=12,而6=2,所以夕+/-6=0.

又因为g>0,解得q=2.所以，加=2〃.

由b3=a4-2ai,可得3d-m=8①.

由Sii=ll04,可得m+5d=16②,

联立①②，解得ai=l,d=3,由此可得〃〃=3〃-2.

所以，数列｛4〃｝的通项公式为西=为-2,数列｛为｝的通项公式为公=2〃.

(//)设数列｛。2疝2〃J｝的前〃项和为Tn,

由。2"=6"-2,b2n-｝=2X4".有a2nb2n-1=(3«-1)4n,

23

7；I=2X4+5X4+8X4+...4-(3n-1)4",

47；,=2X42+5X43+8X44+...+(3/J-1)4n+l,

上述两式相减，得-3及=2x4+3x4?+3x43+…+3*4"-(3/1-1)4,,+1

=12X£[4")-4-(3n-l)4n+1=-(3n-2)4,,+1-8

得Tn=电吴x4n+1+f.

所以，数歹|J｛"2必2"一1｝的前n项和为312X4n+1+

14.【2017年天津文科18]已知｛〃”｝为等差数列，前”项和为S〃(〃GN*),｛加｝是首项为2的等比数列,

且公比大于O历+加=12,历=44-241，Sll=ll/?4.

(I)求｛〃”｝和｛加｝的通项公式；

(II)求数列｛〃2,而"｝的前n项和(nSN*).

【答案】(I)解:设等差数列｛〃”｝的公差为d,等比数列｛加｝的公比为<7.由已知历+。3=12,得瓦(q+q2)=12,

n

而从=2,所以/+q-6=0.又因为4>0,解得q=2.所以，bn=2.

由。3=。4-2。1,可得3d-41=8.

由5“=11匕4,可得m+5d=16,联立①②，解得m=l,d—3,

由此可得“"=3"-2.

所以，｛丽)的通项公式为,=3〃-2,｛加｝的通项公式为。=2%

(H)解：设数列｛〃2疝"｝的前”项和为右，由。2“=6"-2,有7；=4x2+10x22+16x23+…+(6n-

2)x2n,27；=4x22+10x23+16x24+-+(6n-8)x2n+(6n-2)x2n+1,

23nn+1

上述两式相减，得-及=4x2+6x2+6x2+-+6x2-(6n-2)x2=.然1；｝)_4_(6n_

2)x2n+1=-(3n-4)2n+2-16.

得彩=(3n-4)2n+2+16.

所以,数列｛。2疝”｝的前〃项和为(3n-4)2"+2+16.

15.【2016年天津理科18］已知｛劭｝是各项均为正数的等差数列，公差为4,对任意的“WN+,氏是劭和

an+\的等比中项.

(1)设Cn=m+J-瓦2,〃0N+,求证：数列｛Cn｝是等差数列;

(2)设m=d,Tn=Sk=i(-1)W,“GN*,求证：%i

1i2d

【答案】证明：(1)・・・｛〃〃｝是各项均为正数的等差数列，公差为d,对任意的〃£N+,。〃是〃〃和外+1的等

比中项.

/.Cn=&n+l-踊=an+\an+2-如。〃+1=2而〃+|,

••Cn+\"Cti=2d(dn+2+1)=2d为定值;

・・・数列｛5｝是等差数列;

(2)Tn=Sfc=i(-1)%?=(-加2+历2)+(-加2+从2)+…+(-历〃.J+历“2)=2d(42+44+…+。2〃)=

2d九(。2产九)

=2(〃+1),

二%］齐・洗1(T+A4+…+：亳"枭(一击)v奈

即不等式讯六奈成立.

112

16.【2016年天津文科18】已知他”｝是等比数列，前〃项和为&("6N*),且一一一=一,56=63.

03

(1)求｛〃”｝的通项公式；

(2)若对任意的"GN*,办是log24"和log24"+l的等差中项，求数列｛(-1)"好｝的前2〃项和.

【答案】解：⑴设｛斯｝的公比为q,则三一二-=」3，即1一=刍，

22

O1arqa^Qq

解得q=2或4=-1.

若q=-1,则S6=0,与S6=63矛盾，不符合题意.・・・q=2,

.„_.(1_26)

••§6-]2—63,••ci\1.

a"=2"।.

(2),:从是logian和log2—+1的等差中项,

111

bn=2(Iog2〃〃+log2〃"+i)=2(log22",+Iog22n)=n-2-

bn+1-bn=1•

.••｛W｝是以工为首项，以1为公差的等差数列.

设｛(-1)%/｝的前2〃项和为Tn,贝U

2222

Tn=(-加2+历2)+(-^3+&4)+…+(-62n-l+fon)

=bI+历+加+/74...+历“-1+历〃

_瓦+b2nr」+2n—1

=-x2"•2n=-一~~~•2n

=2/?2.

17.[2015年天津理科18]已知数列｛即｝满足板+2=夕。〃(4为实数，且疗1),m=l,及=2,且。2+。3,

。3+。4,Cl4+a5成等差数列

(1)求q的值和｛〃〃｝的通项公式；

(2)设5尸誓迎，〃6N*,求数列｛为｝的前〃项和.

a2n-l

【答案】解:(1)Cln+2=qcin(q为实数，且夕丹)，—£N»41=1,〃2=2,

1・43=夕,。5=qI,a4=2q,

又•.•。2+。3,43+44,。4+。5成等差数列，

**•2x3q=2+3[+才,

即才-3q+2=0,

解得q=2或4=1（舍）,

M-1

2~,n为奇数

n；

(22,n为偶数

(2)由(1)知bn=吁2%=@辔_=三,“GN*,

a2n-l2n12n1

记数列(仇｝的前〃项和为Tn,

11111

则刀产1+2•二-I-3*—4-4*—+…+(n-1)•+〃・51，

222232n~22rlT

11111

,2右=2+2+3]+4--+5--+.-•+(n-1)•—+〃•行，

两式相减，得33+/+土+或+…+/一〃・于二

11

=3+1一严一”•布

n+2

=4-

2^'

18.【2015年天津文科18］已知｛斯｝是各项均为正数的等比数列，｛加｝是等差数列,且的=加=,b2+b3=

2。3,“5-3历=7.

(I)求｛斯｝和｛为｝的通项公式;

(II)设Cn=""8","GN*,求数列｛Cn｝的前"项和.

【答案】解：(I)设数列｛“〃｝的公比为g,数列｛加｝的公差为"，由题意，q>0,

由已知有光2二产消去d整理得：422-8=0.

：q>0,解得q=2,：,d=2,

二数列｛小｝的通项公式为On=2nT,“CN*;

数列｛为｝的通项公式为从=2〃-1,"GN*.

(II)由(I)有Cn=(2n-l”2nT,

设｛Cn)的前"项和为S,则

12n2n-1

Sn=1x20+3x2+5x2+-+(2n-3)x2-+(2n-1)x2,

123n1n

2Sn=1x2+3x2+5x2+-+(2n-3)x2-+(2n-1)x2,

23nnn+l

两式作差得：-Sn=l+2+2+-+2-(2n-1)X2=2-3-(2»-1)x2"=-(2n-x2〃-3.

：.Sn=(2九一3)•2八+3,nGN\

19.【2014年天津文科20】已知q和〃均为给定的大于1的自然数，设集合M={0,1,2,q-\]9集

合4={4¥=刘+^24+…+%Ix£M,i=\,2,

(I)当4=2,相=3时，用列举法表示集合4；

(II)设s,段A,5=〃1+。2夕+…t=ln+b2q+…+b〃q〃',其中即bgM,i=l,2,...»n.证明：

若a?Vb〃，则s<7.

【答案】(I)解：当g=2,〃=3时，

M={0,1},A={x|x=.ri+x2e2+x3e22,xi^M,i=l,2,3}.

可得A={0，1,2,3,4,5,6,7).

(H)证明:由设s,s=m+〃2/夕"Iz=bi+02q+…+力的”।,其中〃/，bKM,z=L2,...,n.an

V加，.'.5-t=(671-b\)+(12-。2)4+...+(-I-bn-1)qn2+(即-加)cfx1

<(q-1)+(q-1)q+…+(.q-\)c/12-cfl1

=(<y-1)(l+q+…+夕'厂2)-qn]

_(q-l)(l—qX).1

-—0------q

=-l<0.

，sV九

膜把好题

1.【天津市南开中学2021届高三下学期三模】“a,b,c成等比数列”是“a2,b2,02成等比数列”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】解：若a，b,c成等比数列，则炉=ac,

此时a2c2=(ac)2=b3则a?,b2,c2成等比数列，即充分性成立，

反之当a=l,h=l,c=-l时满足a?,b2,c2成等比数列，但a,b,c不成等比数列，即必要性不成立，

即“a,b,c成等比数列”是七2,炉，c2成等比数列”的充分不必要条件,

故选：A.

2.【天津市部分区2022届高三下学期高考前质检】正项等比数列{每},若。5=1-则“公比q=1”是忆3+a7

的最小值为2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】因为正项等比数列｛/»｝,a5=l,

22

则公比q=1时，a3+a7=^+a5q=q+=2,

若。3+。7=叁+。5(/2=/+今？2,当且仅当q2=/且4>0,即夕=1时取等号，

故as=1，则“公比q=1"是'小+。7的最小值为2”的充要条件.

故选：C.

3.【天津市新华中学2023届高三下学期统练5】已知等比数列｛斯｝的公比为q,a3>0,其前n项和为上,

则“q>1”是“Si。+S12>2Sii"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】•.•数列Sn｝为正项等比数列，且公比为q，前n项和为％,

.g=Q「q”%an=(sn_S…„22；

8

a3>0,故由1=a3q>0,

_

"•>510+S、2—2sli=(S12—Su)—(Su—Si。)=a12-=%i(q1)>

①当q>1时，Si。+S”-2sli>0,即：“Si。+S12>

,具有充分性；

②当“Si。+S[2>2SJ时，即q>1,

,具有必要性.

故选：C.

4.12023届天津市普通高考数学模拟卷(三)】等比数列｛an｝的公比为外前〃项和为右，设甲：Q>0,乙:

｛S.｝是递增数列，则()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

【答案】B

【详解】由题，当数列为一2,-4,-8,…时，满足q>0,

但是｛SJ不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.

若｛SJ是递增数列，则必有即>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成

立，所以甲是乙的必要条件.

故选：B.

5.【天津市实验中学2022届高三下学期第三次阶段检测】等比数列｛斯｝中，的=3,a4=81,则数列

｝的前2022项和为()

llog3anIog3an+1J

20202021020222021

・4044・2022'2023*4046

【答案】C

【详解】解：设等比数列｛斯｝的公比为q,因为等比数列｛%｝中，%=3,%=81,

所以=ai,Q3=3q3=81,解得q=3,

nn

所以an=QiqT=3,log3an=n,

所以-----------=---=--—,

log3anlog3an+in(n+l)nn+1

所以数列L----r----1的前2022项和为工一工+2_工+…+二------=—

Uog3anlog3an+1J12232022202320232023

故选：C

6.【天津市咸水沽第一中学2023届高考押题卷(一)】在数列｛an｝中，“数列｛a”｝是等比数歹『’是"谖=。逆3”

的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】数列｛an｝是等比数列，得於=的。3,

若数列｛a“｝中道=%。3，则数列｛即｝不一定是等比数列，如数列1,2,4,6,8,10,12,14,…，

所以反之不成立，贝『‘数列｛斯｝是等比数列''是"说=%&3''的充分不必要条件.

故选：A.

7.【天津市滨海新区2020届高三居家专题讲座学习反馈检测】已知｛aj为等差数列，Sn为其前n项和.nGN*.

若=11，520=—80.则S10的值为.

【答案】60

【详解】设数列5｝的公差为d,则举d=-8。'解得｛建¥

所以Si。=10%+等d=10xl5+5x9x(-2)=60.

故答案为：60.

8.【2020届天津市津南区咸水沽第二中学高三一模】设a>0,b>0,若a与肝的等差中项是2,则log2。+

210g2b的最大值是.

【答案】2

【详解】因为。与炉的等差中项是2,

所以b2+a=4,又a>0,6>0,

2

则log2a+210g2b=log2(ah)<log2(美日)=2,

当且仅当a=b2,即a=2涉=近时，等号成立.

故答案为：2.

9.【天津市滨海新区四校2019・2020学年高三联考】已知等差数列｛。九｝的前几项为治,若54=3,$5=4,则

a9-•

【答案】I

S4=4〃i+d=4al+6d=3

【详解】由题知:

S5=5。1+券d=5al+10d=4,

解得：ax=d=裔.

7

@9=Qi+8d=

故答案为：!

10.【天津市红桥区2020届高考二模】已知实数a,b满足条件：ab<0,且1是a?与川的等比中项，又是工与

a

3的等差中项，则居=

baz+b2

【答案】

【详解】根据题意：a2b2—1,ab<0f故ab=—1,工+J=~~=2,故Q+b=—2.

abab

a+b_a+b_-2_1

a2+b2(a+b)2-2ab4+23'

故答案为:一最

11.【天津市河东区2023届高三一模】设｛斯｝是等差数列，｛%｝是各项均为正数的等比数列，b1=-a.=a3-

b2=a4-b3=1.

(1)求数列｛时｝与｛友｝的通项公式;

(2)｛5｝的前n项和为％,求证：2*=bn_i；

(3)求£F=id/bn-i+l.

【答案】(l)an=2n—3,%=2-1

(2)证明见解析

(3)2n-2n-1

【详解】(1)设。„=%+(n—l)d,bn=&qnT,q>0,neN*

由已知小=—1,b]=1,

(2d-q=2_,_„

jj2r，解为q—d—2»

(Q3d-q/=2

n-1

an=2n-3,bn=2.

(2)由已知S”=生部兀=71(>1—2)

左式2黑=2"-2,右式匕-1=2吁1=2吁2,

(3)由已知〃=S-Lja(bn_i+1=a-ibn+a2bn^+a3bn^2+…+心瓦，

n-1n1

Tn=(-1)x2+1x2V+“.+(2n-5)x2+(2n-3)x2°①

n2

2Tn=(-1)x2+1x2"T+…+(2n-5)x2+(2n-3)x21②

②-①为7；=(-1)x2n+2n+2nt+-+22-(2n-3)x2°,

Tn=4x矢--(2n-3)x20=2"-2n-1.

12.【天津市南开区2023届高三一模】已知等差数列｛册｝的首项为1,前几项和为又，单调递增的等比数列｛%｝

的首项为2,且满足必+S2=7,b3+S3=14.

(1)求｛斯｝和协〃｝的通项公式；

(2)证明:3Sn=anSn+1-(an-l)Sn(nGN*)；

(3)记｛%｝的前7i项和为q,证明：£之1詈<|n(n+l)(n+2).

【答案】(1)%=",bn=271

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【详解】(1)由题意,设等差数列｛即｝的公差为乙等比数列也｝的公比为q(qKl),

因为坊+S2=7,b3+S3=14,

所以("2/7'14叫/二二；

(2q+3d+3=14,I2q+3d=11.

_q=2

或(

解得｛，二;’(舍去),<=

(d1

所以斯=n,bn=2n.

(2)由(1)知S.=笠殳，

—

所以ClnSn+l—(即—l)Sjj=时0九+On+i)(Gnl)5n

=sn+anan+1=Sn+n(n+1)=3Sn.

(3)由(1)知7；=笞*=2n+1-1.

所以g=(2*T)•空=(2i+J)*i+i)2i)

=1[i(i+l)(i+2)-(i-l)i(t+l)]

所以ENi^<|[1-(1+D(1+2)-(l-l)-l-(l+l)]+i[2-(2+1)(2+2)-(2-1)•2-(2+1)]

1、r

H---F-[(n-l)n(n+1)—(n—2)(1—l)n]+-[n(n+l)(n4-2)—(n—l)n(n+1)]

<|n(n+l)(n+2).

即£%专<3n(n+l)(n+2)

13.【天津市河北区2023届高三一模】设等比数列｛斯｝的前n项和为Sn,n€N*,若由=—2,且%+2、Sn.

Sn+i成等差数列.

(1)求数列｛Qn｝的通项公式；

(2)设垢=[亨],neN*,其中[制表示不超过x的最大整数，求数列｛an%｝的前10项的和；

(3)设Cn=(2n—l)a2n，nGN*,求数列｛7｝的前n项和

【答案】(1)斯=(―2V

(2)3186

(6n-5)x4n+i+20

⑶〃=9

【详解】(1)解：因为Sn+2、Sn、Sn+1成等差数列，则%+1+S九+2=2S",

=

即(S?i+2—S〃