旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第二章函数与基本初等函数第6讲指数与指数函数

第6讲对数与对数函数

下础知识整不I

□知识梳理

1.对数的定义

如果H=A{a>0,且a≠l),那么数X叫做以a为底”的对数，记作BJx=Iog/,其中a

叫做对数的底数，"叫做真数.

2.对数的运算性质

如果a>0,且aWl,a0,Λ>0,那么：

(1)loge("∙/V)=画1og,J∕÷1og.jV；

(2)Iog彳,=mIogJf-IOg,/V；

⑶log/=HogiMn∈R).

3.对数函数的图象与性质

a>lO<a<l

1

\1=，尸3Ir

图象N<1∙0)

4/1,0)X

I：产ICg(A

定义域(δ∏-OO)

值域R

定点过点画(1,0)

单调性在(0,+8)上是十单调递增的在(O,+o0)上是园单调递减的

当尤>1时，y>0；当x>l时，yVO；

函数值正负

当O<x<l时，y<0当OVXVl时，y>0

4.反函数

指数函数尸a'(a>O,且a#l)与对数函数K=Enog“x(a>O,且aWl)互为反函数，它

们的图象关于直线阐r=x对称.

知识拓展

1.对数的性质(a>0,且aWl)

ota,

(1)log.,l=0;(2)1Ogaa=1；(3)a'=N.

2.换底公式及其推论

⑴】。但式热，均大于。且不等于I，。>。)；

⑵log,6∙log.a=l,即log,"七(a>0且aWl,"0且好1)；

⑶log./=翼。g∕(M且aW1,6>0,∕≠0)；

(4)loga⅛∙logðe∙1ogc<≠=loga<7(a,b,C均大于O且不等于1,α>0).

3.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线尸1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.

故0<c<d<l<a<4由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

□双基自测

1.函数f(x)=λ∕l-ln通定义域是()

A.(0,e)B.(0,e]

C.[e,+∞)D.(e,+∞)

答案B

,-----------[1-Inx20,

解析要使函数F(X)=^l-InX有意义，则I.解得0<Λ≤e,则函数F(*)

的定义域为(0,e].故选B.

2.(2021•“超级全能生”联考)已知2'=3'=6,C=Iog力,则a,b,C的大小关系为()

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.CVaVb

答案C

==

解析3log26=^z>blog36~^~9:0Vlog62Vlogs3<1,.*.^;z≥7τ≥1,

logfi2log63log62log63

BPa>b>1,/.c=1OgHb<1og&a=1,.∖c<b<a故选C.

3.己知a>0,且d≠l,则函数尸H与y=loga(-x)的图象可能是()

BI)

答案B

解析若a〉l,则y=a'是增函数，y=log]—x)是减函数；若0<a<l,则y=a'是减函

数，尸log.(—x)是增函数，故选B.

4.(2021•浙江金丽衢十二校联考)函数y=Igx∣()

A.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递增

B.是偶函数，在区间(一8,0)上单调递减

C.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递减

D.是奇函数，在区间(0,+8)上单调递增

答案B

解析显然尸Ig|*|是偶函数，又χ>。时，y=lgX是单调递增函数，所以尸IgIʃl

在(一8,0)上单调递减，故选B.

5.函数F(x)=ln(f—2%—8)的单调递增区间是()

A.(—8,—2)B.(―∞,1)

C.(1,+o°)I).(4,+∞)

答案D

解析由V—2x—8>0,得x>4或水-2.设£=/—2x—8,•.，=Int为增函数，二要

求函数F(X)的单调递增区间，即求函数十=/一2》-8(水一2或/4)的单调递增区间..；函

数2x—8在(4,+8)上单调递增，.∙.函数f(χ)的单调递增区间为(4,+8).故选D.

6.(2022•广西柳州入学考试)计算：log%=

,；21og23+logι3=

答案V3√3

解析

-y3+13

Iog2ɪ=Iog22——ɪ.2'°8Z°^—

√2N

olog23+⅜log23_olog2(3×√3)_o/5"

—I—■-2-、_~~«一-,

——I,__

-,一]41

考向一对数的化简与求值

例1⑴化简另*EIgm+lg√245=-

1

答λλλ案2

1324L/----1431

解析oɪs右一鼻Igm+lg∖245=9×(51≡2—21g7)—∑×τlg2+-(lg5+21g7)

=∣lg2—Ig7—21g2+∣lg5+lg7=∣lg2+∣lg5=∣lg(2×5)=∣.

乙乙乙乙乙乙

X

⑵若Igx+lgy=21g(2x—3y),则log1的值为

2

答案2

2

解析依题意，可得Ig(Xy)=Ig(2χ-3y)I即Xy=4f—12盯+97,整理得，4$

(χ∖Xɪ9XəX

13©+9=0,解得］=1或7=示因为x>0,y>0,2^-3y>0,所以所以log?1=2.

2

(3)若IogM7=a,14"=5,则用a,b表不IOg3528为

2-a

答案

a+b

解析Ya=Iog/,b=logι45,Λa+b=logιι35.又IOgM28=1Oglry"=Z-IogW=Z-

・1opIogn282—a

a,∙∙1°g3528-⅛35=Σ+⅛∙

对数运算的一般思路

(1)拆：首先利用累的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数

最简，然后利用对数运算性质化简合并.

(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化

为同底对数真数的积、商、幕的运算.

对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数有意义的前提下才成立的，不能

出现log212=log2[(-3)X(-4)]=IOg2(-3)+log2(—4)的错误.

1.Ig52+∣lg8+lg5×lg20+(1g2/的值为.

答案3

2

解析原式=21g5+21g2+lg5(l+lg2)+(lg2)=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg

2+lg5)=2+lg5+lg2=3.

2.(2021•四川自贡联考)若2"=3,b=log32,则a6=；34+3^4=.

答案1E

解析因为2'=3,所以a=log23,所以ab=1og23×1oga2=τ-^^7×τ^^^τ=1；因为b=

15

log32,所以T+3i=2+5=5

3.计算：(Iog32+log92)×(Iogι3+log83)=.

答案I

解析原式=(Iog32+Jlog32)X以og23+Jlog23)=£log32><Wlog23=弓.

考向二对数函数的图象及其应用

例2（1）已知函数y=loga（x+c）（&。为常数，其中a>0,aτ≡l）的图象如图所示，则

下列结论成立的是（）

A.a>l,c>lB.a>l,O<c<l

C.0<5<l,c>lD.O<a<l,O<c<l

答案D

解析由对数函数的性质及题图，得（K水1,易知。>0,所以函数厅Ioga（X+c）的图象

是由函数y=Iog^的图象向左平移C个单位长度得到的，所以根据题中图象可知（Ke<1.故

选D.

（2）（2021•四川棠湖中学模拟）设方程10*=IgDI的两个根分别为小，如则（）

A.汨才2<0B.XiX2=O

C.XIX2>1D.(KxIX2〈1

答案D

解析作出y=10"与尸IIg(一力I的大致图象，如图.显然水0,也<0.不妨令水及,

x

则E<-1<X2<0,所以10*1=Ig(-ɪɔ,102=-lg(-χ2)9由图象知IOklOZ即Ig(-

^ι)<-Ig(一%)，由此得Ig(xiX2)<0,所以(KRX2<1,故选D.

触类旁通利用对数函数的图象可求解的两类热点问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其对数型函数的图象,在求解其单调性(单调区间)、

值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

即时训练4.函数f(x)=IogJxI+l(O<a<l)的图象大致是()

答案A

解析由于函数f(*)=log∕x∣+l(0<a<l)是偶函数，故其图象关于y轴对称.当x>0

时,F(X)=IogjXl+1(0〈水1)是减函数；当X〈0时，f(x)=logjx∣+1(0<a<l)是增函数.再

由图象过点(1,1),(-1,1),可知应选A.

5.当x∈(l,2)时，不等式(x-1尸Vlog“X恒成立，求a的取值范围.

解设f(*)=(X—1)、E(X)=Iog.X,要使当Xe(1,2)时，不等式(x—1)"Vloga恒

成立，只需£(x)=(*—1)2在(1,2)上的图象在笠(X)=Iog.x的下方即可,如图所示.

当O<a<l时，显然不成立.

当a>l时，如图，要使在(1,2)上，f(x)=(*-l)2的图象在E(x)=log/的下方，只

需£(2)W£(2),即(2-1)WIog2

所以l<aW2,即a的取值范围为(1,2].

精准设计考向，多角度探究突破

考向三对数函数的性质及其应用

角度比较对数值的大小

例3(1)(2021•天津高考)设a=log".3,6=log]0.4,c-O.40∖则a,b,C的大小

2

关系为()

A.水伙CB.c<a<b

C.b<c<aD.a<c<b

答案D

5

解析VIogO.3<logl=z0,Λa<0,Vlog0.4=—log0.4=log27>log22=l,：.垃1,

2212/

2

V0<0.4O'3<O,40=l,Λ0<C<1,.,.a<c<b.il⅛½D.

（2）若实数a,b,C满足log23og42<log,2,则下列关系中不可能成立的是（）

A.a<b<cB.ZKa<c

C.。<从aD.a<c<b

答案A

解析由IOga2<log⅛2<logc2的大小关系,可知a,b,C有如下四种可能：①1<。<伙a；

②（K水1<水6；③（K灰水kc；④（Ke<庆水1.作出函数的图象（如图所示）.

由图象可知选项A不可能成立.

触类旁通.比较对数值的大小的方法

利用对数函数的单调性

比较

利用图象法或转化为同

底数对数的倒数比较

底数、真数引入中间量

均不同（如一1,0,1等）

即时训练6.（2022•郑州模拟）己知a=log29-logɜ^/ɜ,6=l÷log2√7>c=^÷

log2√l3,贝M）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

答案B

解析a=log29—log2√3=log23√3,b=1+Iog2V7=log22√7,c=∣+Iog2V^=

log2Λ∕26,因为函数y=l0g2x是增函数，且2Λ∕7>3∙∖∕5>Λ∕诟，所以6>a>c.

7.已知Jr=Inπ,y=log52,Z=C,贝!]()

A.JKJKZB.z<Ky

C.z<y<xD.y<z<x

答案D

2=},∣<^<L所以j<z<x.

解析π>bl°gs2=55'z=e

e乙γ∣e

角度解简单的对数不等式

——7χ<0,

例4⑴已知函数/Q)=仔

JOg2(x+l),XN0,

若F(a)<l,则实数a的取值范围是()

A.(-8,-3)U[0,1)

B.(-3,0)

C.(-3,1)

D.(-∞,-3)U(1,+∞)

答案C

(a<0,

a⅛0,

解析因为Aa)G,所以<解得一3〈水0或0≤aG.所以实

Iog2(a÷l)<1,

数a的取值范围是(一3,1).故选C

(2)(2021•甘肃武威模拟)已知F(X)是定义在R上的偶函数,且在［0,+8)上为增函数,

£)=0,则不等式f(logx)>0的解集为.

答案((

0,2Ju⑵+o0)

解析∙.∙∕∙(χ)是R上的偶函数，・・・它的图象关于y轴对称・・・・f(x)在［0,+8)上为增

函数，.∙.F(x)在(一8,0]上为减函数，由/Qj=O,得j一；)=0..∙.F(log]X)>0=log]水

88

一；或IOgX>J=x>2或(KxJ.∙.x∈(θ,∣∣U(2,+o0).

01ə乙\乙)

8

触类旁通］解对数不等式的类型及方法

(1)形如IogM>log∕的不等式，借助y=log/的单调性求解，如果a的取值不确定，需

分a>l与0<水1两种情况讨论.

(2)形如IogM>6的不等式，需先将6化为以a为底的对数式的形式.

2'r,x≤l,

即时训练8.设函数f(x)=

1—l0g2%,x>l,

则满足F(X)≤2的X的取值范围是()

A.[-1,2]B.[0,2]

C.[1,+∞)D.[O,+∞)

答案D

解析当ɪ≤1H寸,由2'-"W2得1—xWl,0<x≤l.当x>∖时,由1—log2∙v≤2得ɪ≥-,

.∙.x>L综上，X的取值范围为［0,+8).故选D.

9.(2021•南京模拟)设函数f(x)=

log2X,x>0,

(一x)，KO,若f(a)>F(-a),则实数W的取值范围是

答案(一LO)U(1,+00)

解析由∕∙(a)>F(-a)得

>>0,Γa<O,

√loga>log3或〈log

2(-a)>log2(―d),

、2I2

a>0fa<O,

9或｛

Iog2办一log2dI-l0g2(-a)>l0g2(—3).

解得a>l或一k水O.

考向四与对数有关的复合函数问题

例5已知函数f(x)=loga(x+2)+loga(4-x)(H>O,且a≠l).

(1)求函数F(X)的定义域；

(2)若函数F(X)在区间[0,3]上的最小值为一2,求实数d的值.

[x+2>0,

解(1)依题意得解得一2CK4,

〔4一才>0,

・・・函数F(X)的定义域为(-2,4).

(2)F(X)=IogXx+2)+loga(4-ʃ)

=IOga[(x+2)(4—>)],

令t=(x+2)(4—x),

则可变形得Z=-(χ-l)2+9,

V0≤%≤3,Λ5≤f≤9.

若w>1,贝IJlog.5≤Iog/WIOg9

Λʃ(ɪ)-i∏=1oga5=—2,则#=∣<1(舍去),

若0<水1,则Ioga9≤lθg"≤lθga5,

.∙.F(X)IIin=IogH9=—2,则，=9，

又0<水1,Λa=-

O

综上，a=∣.

O

侬痢埼利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调

性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数

与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解

题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

'即时训练10.己知a>0,且a≠l,函数f(x)=IogJa/-x∣在［3,4］上是增函数，

则a的取值范围是()

111

A.τ≤水;或a>lB.a>l

64

cD.!≤d≤∣或ci>l

∙Iaq54

答案A

解析令t—Ia^~x∖,y=log∕.当a>l时，外函数为递增函数，所以内函数t—∖

一x∣,x∈［3,4］,要为递增函数，所以%或4W白，解得易或aW!，所以a〉l.当0<水1

a2a38

时，外函数为递减函数，所以内函数t^∖a^-x∖,Λ∈［3,4］,要为递减函数，⅛3<4<i,*B.

2aa

解得∖wa<J.综上所述，:<己4■或a>l,故选A.

6464

11.(2021•陕西渭南模拟)已知函数已X)=Ioga(8-*(a>0,且a≠l),若f(x)>l在

区间［1,2］上恒成立，则实数a的取值范围是.

答案(1，t)

解析当a>lB寸，f(x)=log,(8-ax)在［1,2］上是减函数，由F(X)>1在区间［1,2］上

O

恒成立，得F(X)Inin=IogH(8—2a)>l,解得1<水§.当O<a<l时，F(X)在［1,2］上是增函数，

由F(X)>1在区间［L2］上恒成立,得f(x)min=loga(8-a)>l,解得a>4,与0<水1矛盾,综

上可知，实数a的取值范围是(1，外.

1.21g2—Ig]的值为()

A.1B.2C.3D.4

答案B

解析21g2-lgɪɪlg(2?析却=Ig100=2,故选B.

2.函数F(X)=∖S∆±?)的定义域是()

√l-2x

A.(一3»0)

B.(-3,0]

C.(-8,-3)U(0,+∞)

D.(-8,-3)U(-3,0)

答案A

In(x+3)(x+3>0,

解析因为f(x)=∙_,所以要使函数f(x)有意义，需使,、即一3〈水0.

√Ll-2=v[l-2x>0,

3.已知函数f(x)=logj,Xeɪ制，则F(X)的值域是()

2

1

A.2,2B.^2-2

ɪ

C.[O,2]D.0,

2

答案A

解析函数F(X)=IOgɪ,

是减函数,所以函数F（X）的最小值为=Iog]

12

22

乎=看函数的最大值为

Z=IOgA=2.所以函数f（x）的值域为2

G).故选A.

2

4.（2021•广西桂林十八中模拟）当（KXWg时，4'<log“x,则a的取值范围是（

)

A.B.1

C.(1,√2)D.(√2,2)

答案B

解析

1

12

易知O〈水1,函数尸4"与y=log∕的大致图象如图，则由题意可知只需满足Iog友〉4,

解得1,故选B.

5.(2021•天津高考)若高=1=10,则泊=()

A.一1B.Ig7C.1D.Iog7IO

答案C

ΛΛ-

解析V2=5=10,/.S=Iog2IO,A=Iog5IO,ɪ1∩÷i~=J=Ig2+lg5

ablog2lθlog5lθ

=Ig10=1.故选C.

6.(2021•河北保定模拟)己知a=log23+log2Λ∕5,∆=log29-log2∖∕3,c=log32,则a,

b,C的大小关系是（）

ʌ.a=b<cB.a=b>c

C.a<b<.cD.a>b>c

答案B

z

解析a—log23÷log2√3=log23∙∖∕3,b—log29—Iog2^—logiɜ^/ɜ,因此，a—b,而

log23^∖∕3>log22=l,log32<log33=l,所以a=6>c,故选B.

[2',x24,

7.(2022•北京东城区综合练习)已知函数f(x)=,、则f(2+logz3)的

f(x+ιl),x<4,

值为()

A.24B.16C.12D.8

答案A

3+0303

解析因为3<2+1。&3〈4,所以/(2+log23)=Λ3+log23)=2'⅛≈8×2'¾-24.故选

8.函数尸IogJX+31的单调递增区间为（）

3

A.（一8,3）

B.（-8,-3）

C.（-3,+∞）

D.（-∞,-3）U（-3,+∞）

答案B

解析因为函数y=logj为减函数，y=∣x+3∣在（-8,—3）上是减函数，所以函数y

3

=IOgJX+31的单调递增区间为（一8,-3）.

3

9.在锐角三角形［比'中，下列式子成立的是（）

sinAcosJ

A.IogeosC------i>0B.IogC------i>0

cosBsillcosD

sinAcosJ

C10g'inςi7^°D.1。驹“

答案D

解析解法一：由是锐角三角形，可得（KSinC<l,0<A<-^-f0<β<-^-t从而力

π∏(πʌcosAcos

+B<n,J,O<τ-A<β<-,Λsin∕J>sin^y-jJ=cos≡ΛO<-<1,ʌɪog^

故选D.

SɪnACOSA

解法二考虑特殊值，当△胸为正三角形时，1*,R<O,1-,赤=。，logsi,,

喘=°'即可知A,B，C错误•故选D∙

10.(2021•河南洛阳模拟)已知y=10g“(8—3ax)在［1,2］上是减函数，则实数a的取

值范围是()

A.(0,1)B.(1,T)

C.4)D.(1,+∞)

答案B

解析因为a〉0,所以£=8—3ax为减函数，而当a>l时，y=log*t是增函数，所以当

a>l时，y=log.(8—3ax)是减函数.由8—3ax>0,得在［1,2］上恒成立，所以a<［~∣.

oxvʃ/min

ɪɪ=!故实数a的取值范围是(VA

OAZO∖oj

11.(2020•全国I卷)若2a+IOgZa=4"+21og而，则()

ʌ.a>2bB.a<2b

C.a>l)D.a<b'

答案B

解析设f(x)=2*+log2%则f［x｝为增函数.因为2"+log2a=4"+21ogg=2"+logz8,

,,

所以f(a)—/(26)=2"+Iog28—(2"+logz26)=2÷log2⅛-(2"'+Iog?26)=Iogl=­1<0,

rt22

所以f(a)<∕(2⅛),所以a<2b,所以A错误，B正确；f(a)—外犬)=2+log2a-(2⅛+log2⅛)

2i22242

=2+log2⅛-(2⅛+Iog2A)=2-2⅛-log2Z>,当Z)=I时,f(a)-f(∕)=2>0,此时f(a)

>∕(⅛2)，有a>l),当b=2时，/(a)-Λ⅛2)=-l<0,止匕时f(a)<∕(⅛2),有a<∕j,所以C,

D错误.故选B.

12.函数F(X)的定义域为〃，若满足：①f(x)在〃内是单调函数；②存在［a,3U〃使

-Qb

得f(x)在［a,6］上的值域为,则称函数f(x)为“成功函数”.若函数/W=IogXw

+2/)(其中於0,且炳勺)是“成功函数”，则实数f的取值范围为()

A.(0,+∞)

Γ

C.

8

答案D

解析无论®>1还是。〈欣1,f(x)=log.(4+2/)都是定义域内的增函数，故应有

f(a)=∙∣,

XV2

则问题可转化为求ʃ(ɪ)=5,即f(x)=log∕/+2力=-,即πi+2t=m在定义

22

域内有两个不相等的实数根的问题，令人=m(4>0),则/+2f=/可化为21=4一炉

2

=一(4一0+",结合图象可得f∈(θ,J.故选D.

13.计算：Ig5(lg8+lg1000)+(Ig2√)2+lg∣+lg0.06=.

答案1

解析原式=lg5(31g2+3)+3(lg2)?+lg&X0.06)=31g5∙Ig2+31g5+3(lg2产

-2=31g2+31g5-2=1.

14.(2021•安徽淮南摸底)已知/U)=Ig(2x—4),则方程F(X)=I的解是,

不等式f(x)〈0的解集是.

答案7(2,2.5)

解析因为f(x)=l,所以Ig(2x—4)=1,所以2L4=10,所以X=7；因为f(x)〈0,

所以0<2χ-4<l,所以2<K2.5,所以不等式/Xx)<O的解集是(2,2.5).

15.已知不等式Iog*(2f+l)<log,(3x)<0成立，则实数X的取值范围是.

答案fl-白

0<Xl,

解析原不等式

2∕+l>3x>l

②，解不等式组①得兴水；，不等式组②无解，所以实数X的取值范围

logx,x>0,

16.已知函数f(x)2=.一且关于X的方程f(x)+χ-a=0有且只有一个实根,

∣3*,A<0,

则实数a的取值范围是.

答案(1,+∞)

解析如图，在同一直角坐标系中作出y=f(x)与尸一x+a的图象，其中a表示直线y

=-x+a在y轴上的截距，由图可知，当a>l时，直线尸一x+a与函数F(X)的图象只有一

个交点.

17.计算：

3________________

(Digψ+lg70-lg3-√(lg3)2-lg9+1；

og1Y

(2)Iog3gɪ×Iog54^)*2°—(3Λ∕3^)—

γlog72~]β

3

-×70___________________

解(1)原式=Ig--——yj(lg3)2-21g3+1