新教材同步系列2024春高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.2排列数课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第六章6.26.2.2A级——基础过关练1．如果Aeq\o\al(m,n)＝15×14×13×12×11×10，那么n，m分别为()A．15，10 B．15，9C．15，6 D．16，10【答案】C【解析】因为Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)…(n－m＋1)＝15×14×13×12×11×10，所以n＝15，m＝6.故选C．2．4·5·6·…·(n－1)·n等于()A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n-4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n-3,n)【答案】D【解析】因为Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，所以Aeq\o\al(n-3,n)＝n(n－1)(n－2)…[n－(n－3)＋1]＝n(n－1)(n－2)·…·6·5·4.3．(2023年天津期末)从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为A，B，C，D的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在B盒中的不同的方法数是()A．24 B．48C．54 D．96【答案】D【解析】先在编号为1，3，4，5的4个球中任取1个放在B盒中，再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为A，C，D的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求．故符合题给要求的不同的方法数为Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,4)＝96.故选D．4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!【答案】C【解析】利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为Aeq\o\al(3,3)·(Aeq\o\al(3,3))3＝(3！)4.故选C．5．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的结果有()A．6个 B．10个C．12个 D．16个【答案】C【解析】符合题意的商有Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12(个).6．已知Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7【答案】B【解析】Aeq\o\al(2,n＋1)－Aeq\o\al(2,n)＝n(n＋1)－n(n－1)＝10，化简得2n＝10，所以n＝5.故选B．7．(多选)停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．Aeq\o\al(9,9)种 B．Aeq\o\al(9,9)Aeq\o\al(4,4)种C．8Aeq\o\al(8,8)种 D．9Aeq\o\al(8,8)种【答案】AD【解析】将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)种．8．不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n＜7的解集为________．【答案】{3，4}【解析】由不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n＜7，得(n－1)(n－2)－n＜7，整理得n2－4n－5＜0，解得－1＜n＜5.又因为n－1≥2且n∈N*，即n≥3且n∈N*，所以n＝3或n＝4，故不等式Aeq\o\al(2,n－1)－n＜7的解集为{3，4}．9．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数相邻，这样的五位数共有________个．【答案】48【解析】根据题意，分两步进行分析：①将2，4看成一个整体，考虑其顺序，有Aeq\o\al(2,2)＝2(种)情况；②将这个整体与其他3个数字全排列，有Aeq\o\al(4,4)＝24(种)情况．故偶数相邻的五位数有2×24＝48(个).10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前4个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？【答案】解：(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Aeq\o\al(2,5)种排法，再将剩余的3个演唱节目、3个舞蹈节目排在中间6个位置上有Aeq\o\al(6,6)种排法，故共有不同的排法Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(6,6)＝14400(种).(2)先不考虑排列要求，有Aeq\o\al(8,8)种排列，其中前4个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余4个节目排列在后四个位置，有Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)种排法，所以前4个节目要有舞蹈节目的排法有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(4,5)Aeq\o\al(4,4)＝37440(种).B级——能力提升练11．(2023年杭州模拟)某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是()A．1190秒 B．1195秒C．1200秒 D．1205秒【答案】B【解析】由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为Aeq\o\al(5,5)个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5Aeq\o\al(5,5)＋(Aeq\o\al(5,5)－1)×5＝1195(秒).12．(多选)下列等式成立的有()A．Aeq\o\al(3,n)＝(n－2)Aeq\o\al(2,n) B．eq\f(1,n)Aeq\o\al(n,n＋1)＝Aeq\o\al(n-1,n＋1)C．nAeq\o\al(n-2,n－1)＝Aeq\o\al(n,n) D．eq\f(n,n－m)Aeq\o\al(m,n－1)＝Aeq\o\al(m,n)【答案】ACD【解析】A中右边＝(n－2)(n－1)n＝Aeq\o\al(3,n)；C中左边＝n(n－1)(n－2)×…×2＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝Aeq\o\al(n,n)；D中左边＝eq\f(n,n－m)×eq\f((n－1)！,(n－m－1)！)＝eq\f(n！,(n－m)！)＝Aeq\o\al(m,n).只有B不正确．13．(2023年广州模拟)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为________(用数字作答).【答案】480【解析】先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，故排出的摊位规划总个数为Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480.14．已知0！＋Aeq\o\al(2,n)＝133，则n＝________，计算Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝________．【答案】12726【解析】0！＋Aeq\o\al(2,n)＝1＋n(n－1)＝133(n≥2)，即n2－n－132＝(n－12)(n＋11)＝0，所以n＝12(负值舍去).由题意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋3≤2n，,n≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n≥3，,n≤3，))所以n＝3，所以Aeq\o\al(n+3,2n)＋Aeq\o\al(n,3)＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(3,3)＝6×5×4×3×2×1＋3×2×1＝726.15．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解：(1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有Aeq\o\al(3,5)种排法；第二步再排偶数位置，有4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法有Aeq\o\al(2,6)种．由分步乘法计数原理知，排法共