新教材同步系列2024春高中数学第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第2课时球的表面积和体积课件新人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.3简单几何体的表面积与体积第2课时球的表面积和体积学习目标素养要求1．知道球的表面积和体积的计算公式，会计算球的表面积和体积数学运算2．能用公式解决简单的实际问题数学建模、直观想象|自学导引|

球的表面积和体积1．球的表面积设球的半径为R，则球的表面积S＝________，即球的表面积等于它的大圆面积的______倍．2．球的体积设球的半径为R，则球的体积V＝________．4πR2

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特别提醒对球的体积和表面积的几点认识(1)从公式看，球的表面积和体积的大小，只与球的半径相关，给定R都有唯一确定的S和V与之对应，故表面积和体积是关于R的函数．(2)由于球的表面不能展开成平面，所以，球的表面积公式的推导与前面所学的多面体与旋转体的表面积公式的推导方法是不一样的．(3)球的表面积恰好是球的大圆(过球心的平面截球面所得的圆)面积的4倍．【预习自测】判断下列命题是否正确．(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)球的体积之比等于半径比的平方． (

)(2)长方体既有外接球又有内切球． (

)(3)球面展开一定是平面的圆面． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【解析】(1)体积比应为半径比的立方，故(1)错误．(2)长方体不一定有内切球，故(2)错误．(3)球面展不成平面，故(3)错误．|课堂互动|题型1球的表面积与体积

(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为__________．【答案】4∶9【解析】根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积之比为4∶9．【答案】B球截面两个关注点，一个注意点(1)有关球的截面问题，关注两点：①截面是圆面；②过截面圆的圆心与球心的连线垂直于截面．(2)注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于__________．【答案】16π题型3与球有关的切、接问题方向1球的外切正方体问题将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为 (

)【答案】A

方向2球的内接长方体问题

一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．【答案】14π方向3球的内接正四面体问题

若棱长为a的正四面体的各个顶点都在半径为R的球面上，求球的表面积．方向4球的内接圆锥问题

球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为__________．方向5球的内接直棱柱问题设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为

(

)【答案】B常见的几何体与球的切、接问题的解决策略(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．3．一个高为16的圆锥内接于一个体积为972π的球，在圆锥里又有一个内切球．求：(1)圆锥的侧面积；(2)圆锥里内切球的体积．易错警示问题考虑不全面致误

已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为__________．错解：2易错防范：错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．易错防范：错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．正解：设球的大圆为圆O，C，D为两截面圆的圆心，AB为经过点C，O，D的直径，由题中条件可得两截面圆的半径分别为6和8．|素养达成|1．球的表面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形以及球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．(体现逻辑推理、直观想象和数学运算核心素养)1．(题型1)直径为6的球的表面积和体积分别是 (

)A．144π，144π

B．144π，36πC．36π，144π

D．36π，36π【答案】D【答案】D3．(题型3)(多选)(2023年重庆模拟)下列说法正确的有 (

)A．棱柱所有的面都是平行四边形B．正方体的外接球与内切球的表面积之比为3∶1D．以等腰梯形的一条腰所在的直线为旋转轴旋转一周，形成的几何体是圆台【答案】BC4．(题型3)(2023年西安期中)若各顶点都在一个球面上的正