高一数学寒假（人教B版 第三册）第07讲 任意角的概念与弧度制（学生卷）

第07讲任意角的概念与弧度制【学习目标】1.了解用“旋转”定义角的概念，能区分各类角的概念，发展数学抽象核心素养．2．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角，重点提升直观想象核心素养．3．理解终边相同角的含义及表示，并能简单应用，重点提升数学运算核心素养．4.理解弧度制的概念，掌握弧度与角度的互化，重点培养数学抽象等核心素养．5．掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用．重点提升数学运算核心素养．【知识导航】角的概念推广1．回忆初中学过的角的定义(从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形)再结合角的旋转定义，思考下列问题．(1)将一条射线OA绕其端点O按逆时针旋转α角到OB位置，结合图形完成下列填空．①角α的顶点为________，始边为________，终边为________．②角α是________(填“正角”“负角”或“零角”)．(2)若将该射线OA绕其端点O按顺时针旋转α角到OB位置，则α是正角还是负角？若射线OA不旋转所形成的角又是什么呢？2．将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？1．角的概念：一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．射线的旋转有两个相反的方向：__________方向和__________方向．2．按旋转方向不同角的分类：(1)按照__________方向旋转而成的角称为正角；(2)按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；(3)当射线__________时，我们也把它看成一个角，称为零角．这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角．象限角1．角的顶点与在平面直角坐标系的原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？2．若“角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的正半轴上”．(1)60°与－300°，780°的终边位置有什么关系？能否用含60°的式子表示－300°和780°？(2)当角的终边位置确定了，这个角唯一吗？1．通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上．这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角．如果终边在__________上，就认为这个角不属于任何象限．2．终边相同角的表示任意两个终边相同的角，它们的差一定是__________的整数倍．因此，所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．知识点三弧度制与角度制1．在初中学过的角度制中，1度的角是如何规定的？提示：周角的eq\f(1,360)等于1°.2．如图，三圆为同心圆，eq\o(ED,\s\up8(︵))，eq\o(FG,\s\up8(︵))，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长都等于相应圆的半径，它们所对应的圆心角与半径有没有关系？提示：没有关系．1．角度制和弧度制角度制用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于周角的eq\f(1,360).弧度制长度等于__________的圆弧所对的__________叫作1弧度的角，弧度用符号rad表示．以弧度为单位来度量角的制度叫作弧度制．“弧度”二字可以略去不写.2.角的弧度数的计算在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，则α＝eq\f(l,r)．【知识预习】考点一：角的推广1．与60角终边相同的角是（

）A．390 B．420 C．330 D．4802．下列说法正确的个数是（

）①大于等于，小于等于的角是锐角；②钝角一定大于第一象限的角；③第二象限的角一定大于第一象限的角；④始边与终边重合的角的度数为．A． B． C． D．3．将射线绕端点按逆时针方向旋转所得的角为（

）A． B． C． D．4．下列角的终边与角的终边在同一直线上的是A． B． C． D．5．下列说法中正确的是A．第一象限的角是锐角B．锐角是第一象限的角C．小于90°的角是锐角D．第二象限的角必大于第一象限的角考点二：角度制与弧度制6．已知角的角度数是50°，则角的弧度数是（

）A． B． C． D．7．已知扇形的圆心角为，周长为，则扇形的面积为（

）A． B． C． D．8．一个扇形的半径为，弧长是半径的倍，则扇形的面积等于A． B． C． D．9．下列结论不正确的是()A．rad＝60° B．10°＝radC．36°＝rad D．rad＝115°10．小明出国旅游，当地时间比中国时间晚一个小时，他需要将表的时针旋转，则转过的角的弧度数是()A． B． C．- D．-【对点训练】一、单选题1．与终边相同的角是（

）A． B． C． D．2．的角化为弧度制的结果为（

）A． B． C． D．3．一个扇形的半径为3，圆心角为，且周长为8，则（

）A． B． C． D．4．4弧度的角的终边所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°,k∈Z}中的角α的终边在单位圆中的位置(阴影部分)是（

）A． B． C． D．6．所有与角的终边相同的角可以表示为，其中角（

）A．一定是小于90°的角 B．一定是第一象限的角C．一定是正角 D．可以是任意角7．已知角的终边与的终边重合，则的终边不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．终边落在直线上的角的集合为（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列给出的各角中，与的终边相同的角有（

）A． B． C． D．10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（参考数据：）（

）A．B．若，扇形的半径，则C．若扇面为“美观扇面”，则D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为三、填空题11．周长为9，圆心角为的扇形面积为________.12．若角的终边在函数的图象上，试写出角的集合为_________．四、解答题13．将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度14．已知弧长为60cm的扇形面积是，求：(1)扇形的半径；(2)扇形圆心角的弧度数．15．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合.(1)(2)【提升作业】一、单选题1．若是第一象限角，则下列各角中属于第三象限角的是（

）A． B． C． D．2．下列命题：第四象限的角可表示为第二象限角大于第一象限角将表的分针拨快分钟，则分针转过的角为若是第二象限角，则的终边在第一象限．其中真命题的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个3．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm，内弧线的长为20cm，连接外弧与内弧的两端的线段均为16cm，则该扇形的中心角的弧度数为（

）．A．2.3 B．2.5 C．2.4 D．2.64．如图，圆内切于圆心角为，半径为3的扇形OAB，则图中阴影部分面积为（

）A． B． C． D．5．若是第二象限的角，则是（

）A．第一或第三象限角 B．第一或第四象限角C．第二或第三象限角 D．第二或第四象限角二、填空题6．如图所示，终边落在阴影部分包括边界的角的集合是__________.7．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则______.三、解答题8．把下列角化成的形式