高一数学寒假（人教B版 第三册）第09讲 同角三角函数基本式与诱导公式（教师卷）

第09讲同角三角函数基本式与诱导公式【学习目标】1.理解并掌握同角三角函数的基本关系、重点提升数学抽象核心素养．2．会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．重点提升数学运算逻辑推理核心素养．3.了解三角函数诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程，重点培养直观想象、数学抽象核心素养．4.能运用诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题，重点提升数学运算、逻辑推理核心素养．【知识导航】知识点一同角三角函数的基本关系式已知角α终边上一点P(－3，－4)．(1)求sinα，cosα，tanα的值；(2)计算sin2α＋cos2α，eq\f(sinα,cosα)的值；(3)是否对任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，eq\f(sinα,cosα)＝tanαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z))成立？若成立，试证明．提示：(1)sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，tanα＝eq\f(4,3).(2)1，eq\f(4,3).(3)是．利用三角函数定义证明(略)．1．同角三角函数的基本关系式成立的条件：当α∈R时，sin2α＋cos2α＝1成立；当α≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z时，eq\f(sinα,cosα)＝tan_α成立．2．基本关系式的变形公式sin2α＋cos2α＝1⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sin2α＝1－cos2α，,cos2α＝1－sin2α，,sinα＝±\r(1－cos2α)，,（sinα±cosα）2＝1±2sinαcosα.))tanα＝eq\f(sinα,cosα)⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝tanαcosα，,cosα＝\f(sinα,tanα).))知识点二角α与α＋2kπ(k∈Z)的三角函数值之间的关系已知角β＝2kπ＋α，k∈Z.(1)角α与β的终边有什么关系？(2)作出β的三角函数线，通过作图，你会发现α，β的三角函数值有何关系？提示：(1)终边相同．(2)(作图略)．sinβ＝sinα，cosβ＝cosα，tanβ＝tanα.1．诱导公式①sin(α＋k·2π)＝sin_α，cos(α＋k·2π)＝cos_α，tan(α＋k·2π)＝tan_α．2．诱导公式①的作用：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0～2π角的同名三角函数值问题．知识点三角的旋转、对称如图，已知角α的终边为OA，将射线OA逆时针旋转θ到OB，顺时针旋转θ到OC；那么①指出角α＋θ的终边，②指出角α－θ的终边．③角α＋θ的终边与角α－θ的终边有怎样的对称关系．提示：①射线OB②射线OC③关于直线OA对称一般地，角α的终边和角β的终边关于角eq\f(α＋β,2)的终边所在的直线对称．知识点四角α与角－α的三角函数值之间的关系1．角α与角－α的终边有怎样的对称关系？提示：关于x轴对称．2．结合三角函数线，角α与角－α的三角函数值之间的关系如何？提示：(作图略)利用三角函数线和两角的对称关系得sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα.1．诱导公式②：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan(－α)＝－tan_α．2．诱导公式②的作用：用正角的三角函数值表示负角的三角函数值．知识点五角α与π±α的三角函数值之间的关系1．任意角α与π－α的终边有何位置关系？它们与单位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证α与π－α的各三角函数值的关系．提示：α与π－α的终边关于y轴对称，如图所示，设P1(x，y)是α的终边与单位圆的交点，则π－α与单位圆的交点为P2(－x，y)，P1，P2关于y轴对称，由三角函数定义知，sin(π－α)＝y＝sinα，cos(π－α)＝－x＝－cosα，tan(π－α)＝eq\f(y,－x)＝－tanα.2．你能利用诱导公式②③探究角α与π＋α的各三角函数值的关系吗？提示：如cos(π＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－cosα.1．诱导公式③：sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α，tan(π－α)＝－tan_α．2．诱导公式④：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan_α．知识点六角α与eq\f(π,2)－α的三角函数值之间的关系如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.(1)P2点的坐标是什么？提示：P2(y，x)．(2)eq\f(π,2)－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.诱导公式⑤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sin_α．知识点七角α与eq\f(π,2)＋α，eq\f(3π,2)±α的三角函数值之间的关系1．利用诱导公式②⑤探究α与eq\f(π,2)＋α的三角函数值的关系？提示：如coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,2)＋α))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－sinα.2．利用前面学习的诱导公式，你能发现eq\f(3π,2)＋α与α、eq\f(3π,2)－α与α间的三角函数值的关系吗？提示：如sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)＋α))＝－sin(eq\f(π,2)－α)＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,2)－α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sinα.诱导公式⑥⑦⑧⑥sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α．⑦coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sin_α，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cos_α．⑧coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sin_α，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cos_α．[点拨]诱导公式①～⑧可以统一概括为“k·eq\f(π,2)±α，(k∈Z)”的形式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇、偶”是指k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)中k的奇偶性，当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变．“符号”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号．【知识预习】考点一：同角三角函数基本关系式1．若，且为第四象限角，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】为第四象限角，且.故选：D.2．已知α为第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由可得，又α为第二象限角，所以.所以.故选：C.3．若，且是第二象限角，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由,且是第二象限角,得.故选:．4．已知,是第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】,故选：.5．已知,则的值为A．2 B． C．-2 D．【答案】B【详解】由题意可知，，故选：B.考点二：诱导公式6．已知，且为第三象限角，则A． B．- C． D．【答案】B【详解】∵，∴.∵，∴，即，又∵为第三象限角，∴.故选B.7．已知sin＝，则cos(π＋α)的值为()A． B．－ C． D．－【答案】D【详解】因为sin＝cos＝，所以cos(π＋α)＝－cos＝－．故选D．8．已知，则的值为

（）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题得.故选D9．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，故选C.10．已知，则（

）A． B．3 C． D．0【答案】A【详解】解：因为，所以，即．故选：A．【对点训练】一、单选题1．已知，且为第二象限角，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意得，所以.故选：A.2．已知角终边上一点，则（

）A．2 B．-2 C．0 D．【答案】B【详解】解：由题意，角终边上一点，∴∴，故选：B.3．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，且，所以，．故选：C．4．若，且为第四象限角，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由于，且为第四象限角，所以，.故选：D5．已知角终边在第一象限，，那么的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，在第一象限，则，所以.故选：C.6．已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：因为，所以，又，即，解得，所以，故选：B.7．若且，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【详解】，所以，又，所以，故是第三象限角.故选：C8．已知，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：∵，∴，∴.故选：D．二、多选题9．已知，，那么的可能值为（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】因为①，又sin2α+cos2α=1②，联立①②，解得或，因为，所以或．故选：BD10．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】AD【详解】解:因为，所以，．所以．故选:AD三、填空题11．已知A为三角形内角且，则________.【答案】##0.6【详解】根据，且A为三角形内角，所以为锐角，由题意得：，解得：，故答案为：.12．已知，则______．【答案】##0.75【详解】解：由题意得：∵，∴．故答案为：四、解答题化简．13．（1）;14．（2）【答案】(1)(2)(1)；(2).15．已知，，求的值.【答案】【详解】解：因为，所以，即，又，联立可得，解得，因为，所以，，所以.16．已知为第三象限角，且．(1)化简；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)（1）（2）∵，∴又为第三象限角，∴【提升作业】一、单选题1．（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，故选：A.2．已知为第四象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为为第四象限角且，所以，也即，将两边同时平方可得：，所以，则，故选：.3．已知（

）.A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【详解】因为，由题意可知:,将分式的分子和分母分别除以，可得:,解得:.故选：.4．已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由已知，，平方得：，∴∴∵，∴，，∴，∴.故选：C.5．已知，则的值为（

）A． B．18 C． D．15【答案】A【详解】，代入可算得原式的值为.故选：A二、填空题6．已知关于x的方程的两根为和（），则m的值为_______.【答案】【详解】根据题意可得①，，①式平方可得，所以.故答案为：.7．__________.【答案】【